Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Движение тела, брошенного под углом к горизонту. 10 класс, готовимся к олимпиадам.

[latexpage]

Предлагаю задачи, связанные с движением тела, брошенного под углом к горизонту. Также  при решении часто нужно иметь понятие об относительности движения, ведь, если оба тела падают, то почему не перейти в падающую систему отсчета?

Задача 1. Игрушечная пушка установлена на краю стола. Из нее можно стрелять с одинаковой начальной скоростью маленькими шариками в любом направлении. Шарики взрываются в воздухе через время $T=1$ с после выстрела. На расстоянии $H=5$ м от пушки, под углом $\beta=60^\circ$ к горизонту, висит воздушный шар. Под каким углом к горизонту надо стрелять, чтобы шарики разрывались как можно ближе к шару? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^{2}.$ В ответе выразить тангенс искомого угла, округлив до десятых.

К задаче 1

Решение.

Перейдем в систему отсчета, которая в момент выстрела начинает двигаться вниз с ускорением $g$ без начальной скорости. В этой системе отсчета снаряд летит по прямой с постоянной скоростью $\upsilon_0,$ шар поднимается вверх без начальной скорости с ускорением $g,$ а время до взрыва, расстояние от точки взрыва до шара и угол между начальной скоростью снаряда и горизонтом такие же, как в системе отсчета, связанной с Землей.

Точка взрыва снаряда ввиду произвольности выбора направления выстрела находится на окружности с центром в точке $C,$ где изначально находилась пушка, и радиусом $\upsilon_0\cdot T$ (на рисунке она показана красным цветом). Ближайшая к конечному положению шара $B$ точка этой окружности лежит на отрезке $BC,$ то есть стреляющие должны целиться в точку, находящуюся на высоте $\frac{g\cdot T^2}{2}$ над начальным положением шара.

Пояснение к решению

Тангенс угла $\alpha$, под которым следует стрелять, легко определить из рисунка:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{g\cdot T^2}{2}+H\cdot\sin\beta}{H\cdot\cos\beta}=\operatorname{tg}{\beta}+\frac{g\cdot T^2}{2H\cdot\cos\beta}\approx3,7.$$

Ответ: 3,7.

 

Задача 2. Небольшой мяч, брошенный с поверхности земли, через $t_1=1,2$ с упруго ударился о вертикальную стену дома и через $t_2=1$ с упал на землю. На какой высоте находится место удара? Ответ дать в метрах, округлив до целых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^{2}.$

Решение.

В момент удара вертикальная скорость не изменяется. Воспользуемся принципом обратимости движения. Рассмотрим полет с высоты точки удара $h$ двух тел с одинаковыми вертикальными начальными скоростями. Одно тело за меньшее время летит на землю вниз, а другое с начальной скоростью вверх. Уравнения изменения вертикальной координаты тел будут выглядеть как $h=-\upsilon t_1+\frac{gt_1^2}{2}$ и $h=\upsilon t_2+\frac{gt_2^2}{2},$ где $\upsilon$ — вертикальная составляющая начальной скорости.

Сложим уравнения, предварительно разделив на время. Получим $h=\frac{gt_1t_2}{2}=6.$

Ответ: 6 м.

 

Задача 3. С самолета, летящего на высоте $H=600$ м со скоростью $\upsilon_0=180$ км/ч, выпал груз. На какой высоте скорость груза будет направлена под углом 60$^\circ$ к горизонту? Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^{2}.$ Ответ дать в метрах, округлив до целых.

Решение.

Найдем время, через которое скорость будет направлена по углом 60$^\circ.$ Воспользуемся векторным треугольником скоростей, из которого следует

$$\frac{gt}{\upsilon_0}=\operatorname{tg}{\alpha}.$$

Тогда высота, на которой окажется груз, равна

$$h=H-\frac{gt^2}{2}.$$

Подставляя время из первого уравнения во второе, получим $h=225$ м.

Ответ: 225 м.

Задача 4. Два камня расположены на одной горизонтали на расстоянии $L=20$ м друг от друга. Один камень бросают вертикально вверх со скоростью $\upsilon_1=9$ м/с, а второй одновременно бросают горизонтально по направлению к первому камню со скоростью $\upsilon_2=12$ м/с. Чему равно наименьшее расстояние между камнями в процессе движения? Ответ дать в метрах, округлив до целых.

Решение.

Задачу на совместное движение двух свободно падающих тел удобно решать в падающей с ускорением $g$ системе отсчета одного из камней. Например, пересядем в систему отсчета камня, летящего вверх. Тогда второй камень будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью $\upsilon=\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}=15$ м/с. Наименьшее расстояние между камнями равно длине перпендикуляра, опущенного из точки, где находится «неподвижный» камень, на линию движения «подвижного». Следовательно, $$s=L\frac{\upsilon_1}{\upsilon}=12$$

Ответ: 12 м.

Задача 5. Из двух точек, находящихся на расстоянии $L=10$ м друг от друга, одновременно бросили навстречу друг другу под углом к горизонту $\alpha_1=30^\circ$ и $\alpha_2=60^\circ$ два тела. При падении тела меняются местами. Чему равна относительная скорость одного тела относительно другого в момент, когда они находятся на одной вертикальной прямой? Ответ дать в м/с, округлив до целых. Считать, что $g=10$ м/с$^{2}.$ Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Так как дальности полетов тел равны, а углы, под которыми они брошены к горизонту, дополняют друг друга до 90$^\circ,$ то начальные скорости также равны по величине. Это можно доказать, используя формулу для дальности полета:

$$L=\frac{\upsilon_{10}^2\cdot\sin(2\alpha_1)}{g}=\frac{\upsilon_{20}^2\cdot\sin(2\alpha_2)}{g}.$$

Так как $\alpha_2=90^\circ-\alpha_1,$ то из предыдущего соотношения в силу того, что $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ получим, что

$$\upsilon_{10}=\upsilon_{20}.$$

Значение начальной скорости также можно получить из уравнения для дальности полёта

$$L=\frac{\upsilon_0^2\cdot\sin(2\alpha_1)}{g}.$$

Получаем, что $\upsilon_0=\sqrt{\frac{L\cdot g}{\sin(2\alpha_1)}}.$ Зависимости скоростей обоих тел от времени имеют вид

$$\vec\upsilon_1(t)=\vec\upsilon_{10}+\vec g\cdot t$$

$$\vec\upsilon_2(t)=\vec\upsilon_{20}+\vec g\cdot t$$

Для определенности перейдем в систему отсчета, связанную с первым телом. Тогда из закона сложения скоростей получим, что скорость второго тела относительно первого равна $\vec\upsilon_{_{otn}}=\vec\upsilon_{20}-\vec\upsilon_{10}.$ Она, очевидно, не зависит от времени. Нарисовав рисунок, перенеся в одну точку вектора начальных скоростей и вычтя их, получим, что относительная скорость равна

$$\upsilon_{_{otn}}=\upsilon_0\cdot \sqrt{2}=\sqrt{\frac{2L\cdot g}{\sin(2\alpha_1)}}\approx15.$$

Замечание: неважно, в какой системе отсчёта (первого или второго тела) вычислять относительную скорость — ее величина всё равно будет одной и той же. Можете убедиться в этом сами, сделав расчет еще раз в системе отсчёта второго тела.

Ответ: 15 м/с.

 

Один комментарий

  • Александр
    |

    Поправьте ошибочку в тексте решения задачи 5. Там в конце решения перед ответом опечатка: ” слелав расчет”. На ответ не влияет конечно …)

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *