Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Движение тела, брошенного под углом к горизонту. 10 класс, готовимся к олимпиадам.

Предлагаю задачи, связанные с движением тела, брошенного под углом к горизонту. Также  при решении часто нужно иметь понятие об относительности движения, ведь, если оба тела падают, то почему не перейти в падающую систему отсчета?

Задача 1. Игрушечная пушка установлена на краю стола. Из нее можно стрелять с одинаковой начальной скоростью маленькими шариками в любом направлении. Шарики взрываются в воздухе через время T=1 с после выстрела. На расстоянии H=5 м от пушки, под углом \beta=60^\circ к горизонту, висит воздушный шар. Под каким углом к горизонту надо стрелять, чтобы шарики разрывались как можно ближе к шару? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g=10 м/с^{2}. В ответе выразить тангенс искомого угла, округлив до десятых.

К задаче 1

Решение.

Перейдем в систему отсчета, которая в момент выстрела начинает двигаться вниз с ускорением g без начальной скорости. В этой системе отсчета снаряд летит по прямой с постоянной скоростью \upsilon_0, шар поднимается вверх без начальной скорости с ускорением g, а время до взрыва, расстояние от точки взрыва до шара и угол между начальной скоростью снаряда и горизонтом такие же, как в системе отсчета, связанной с Землей.

Точка взрыва снаряда ввиду произвольности выбора направления выстрела находится на окружности с центром в точке C, где изначально находилась пушка, и радиусом \upsilon_0\cdot T (на рисунке она показана красным цветом). Ближайшая к конечному положению шара B точка этой окружности лежит на отрезке BC, то есть стреляющие должны целиться в точку, находящуюся на высоте \frac{g\cdot T^2}{2} над начальным положением шара.

Пояснение к решению

Тангенс угла \alpha, под которым следует стрелять, легко определить из рисунка:

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{g\cdot T^2}{2}+H\cdot\sin\beta}{H\cdot\cos\beta}=\operatorname{tg}{\beta}+\frac{g\cdot T^2}{2H\cdot\cos\beta}\approx3,7.\]

Ответ: 3,7.

 

Задача 2. Небольшой мяч, брошенный с поверхности земли, через t_1=1,2 с упруго ударился о вертикальную стену дома и через t_2=1 с упал на землю. На какой высоте находится место удара? Ответ дать в метрах, округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10 м/с^{2}.

Решение.

В момент удара вертикальная скорость не изменяется. Воспользуемся принципом обратимости движения. Рассмотрим полет с высоты точки удара h двух тел с одинаковыми вертикальными начальными скоростями. Одно тело за меньшее время летит на землю вниз, а другое с начальной скоростью вверх. Уравнения изменения вертикальной координаты тел будут выглядеть как h=-\upsilon t_1+\frac{gt_1^2}{2} и h=\upsilon t_2+\frac{gt_2^2}{2}, где \upsilon — вертикальная составляющая начальной скорости.

Сложим уравнения, предварительно разделив на время. Получим h=\frac{gt_1t_2}{2}=6.

Ответ: 6 м.

 

Задача 3. С самолета, летящего на высоте H=600 м со скоростью \upsilon_0=180 км/ч, выпал груз. На какой высоте скорость груза будет направлена под углом 60^\circ к горизонту? Ускорение свободного падения g=10 м/с^{2}. Ответ дать в метрах, округлив до целых.

Решение.

Найдем время, через которое скорость будет направлена по углом 60^\circ. Воспользуемся векторным треугольником скоростей, из которого следует

    \[\frac{gt}{\upsilon_0}=\operatorname{tg}{\alpha}.\]

Тогда высота, на которой окажется груз, равна

    \[h=H-\frac{gt^2}{2}.\]

Подставляя время из первого уравнения во второе, получим h=225 м.

Ответ: 225 м.

Задача 4. Два камня расположены на одной горизонтали на расстоянии L=20 м друг от друга. Один камень бросают вертикально вверх со скоростью \upsilon_1=9 м/с, а второй одновременно бросают горизонтально по направлению к первому камню со скоростью \upsilon_2=12 м/с. Чему равно наименьшее расстояние между камнями в процессе движения? Ответ дать в метрах, округлив до целых.

Решение.

Задачу на совместное движение двух свободно падающих тел удобно решать в падающей с ускорением g системе отсчета одного из камней. Например, пересядем в систему отсчета камня, летящего вверх. Тогда второй камень будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью \upsilon=\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}=15 м/с. Наименьшее расстояние между камнями равно длине перпендикуляра, опущенного из точки, где находится «неподвижный» камень, на линию движения «подвижного». Следовательно,

    \[s=L\frac{\upsilon_1}{\upsilon}=12\]

Ответ: 12 м.

Задача 5. Из двух точек, находящихся на расстоянии L=10 м друг от друга, одновременно бросили навстречу друг другу под углом к горизонту \alpha_1=30^\circ и \alpha_2=60^\circ два тела. При падении тела меняются местами. Чему равна относительная скорость одного тела относительно другого в момент, когда они находятся на одной вертикальной прямой? Ответ дать в м/с, округлив до целых. Считать, что g=10 м/с^{2}. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Так как дальности полетов тел равны, а углы, под которыми они брошены к горизонту, дополняют друг друга до 90^\circ, то начальные скорости также равны по величине. Это можно доказать, используя формулу для дальности полета:

    \[L=\frac{\upsilon_{10}^2\cdot\sin(2\alpha_1)}{g}=\frac{\upsilon_{20}^2\cdot\sin(2\alpha_2)}{g}.\]

Так как \alpha_2=90^\circ-\alpha_1, то из предыдущего соотношения в силу того, что \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha получим, что

    \[\upsilon_{10}=\upsilon_{20}.\]

Значение начальной скорости также можно получить из уравнения для дальности полёта

    \[L=\frac{\upsilon_0^2\cdot\sin(2\alpha_1)}{g}.\]

Получаем, что \upsilon_0=\sqrt{\frac{L\cdot g}{\sin(2\alpha_1)}}. Зависимости скоростей обоих тел от времени имеют вид

    \[\vec\upsilon_1(t)=\vec\upsilon_{10}+\vec g\cdot t\]

    \[\vec\upsilon_2(t)=\vec\upsilon_{20}+\vec g\cdot t\]

Для определенности перейдем в систему отсчета, связанную с первым телом. Тогда из закона сложения скоростей получим, что скорость второго тела относительно первого равна \vec\upsilon_{_{otn}}=\vec\upsilon_{20}-\vec\upsilon_{10}. Она, очевидно, не зависит от времени. Нарисовав рисунок, перенеся в одну точку вектора начальных скоростей и вычтя их, получим, что относительная скорость равна

    \[\upsilon_{_{otn}}=\upsilon_0\cdot \sqrt{2}=\sqrt{\frac{2L\cdot g}{\sin(2\alpha_1)}}\approx15.\]

Замечание: неважно, в какой системе отсчёта (первого или второго тела) вычислять относительную скорость — ее величина всё равно будет одной и той же. Можете убедиться в этом сами, сделав расчет еще раз в системе отсчёта второго тела.

Ответ: 15 м/с.

 

Один комментарий

  • Александр
    |

    Поправьте ошибочку в тексте решения задачи 5. Там в конце решения перед ответом опечатка: ” слелав расчет”. На ответ не влияет конечно …)

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *