Движение тела, брошенного горизонтально

При решении задач с телом, брошенным горизонтально, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело падает, и движение в вертикальной плоскости является равноускоренным. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.

Задача 1. Горизонтально летящая пуля последовательно пробивает два вертикальных листа бумаги, расположенных на расстоянии 30 м друг от друга. При этом пробоина на втором листе оказывается на мм ниже, чем на первом. С какой скоростью подлетела пуля к первому листу? 1.240

Итак, пуля летела горизонтально с неизменной скоростью. Одновременно пуля падала в вертикальной плоскости и успела «упасть» на 2 мм. Тогда, зная путь, пройденный ею в вертикальной плоскости, можно найти время падения:

Не забываем переводить величины в систему СИ, м:

Получили время падения пули, или время движения между листами. Найти скорость пули можем теперь по хорошо известной нам формуле:

Ответ: м/с

Задача 2. С вертолета, летящего горизонтально со скоростью на высоте , сброшен груз. На какой высоте скорость груза будет направлена под углом к горизонту? Найти радиус кривизны траектории на данной высоте. Чему равно расстояние между грузом и самолетом в момент падения груза на землю?

На последний вопрос задачи отвечаем элементарно: ведь мы помним, что горизонтально направленная составляющая скорости остается постоянной, то есть тело летело сначала в вертолете, а потом его выбросили и оно продолжает лететь с той же самой скоростью, просто оно теперь начинает еще и падать. Да, по вертикали расстояние между телом и самолетом растет, но при этом тело все время находится под брюхом самолета, просто с каждой секундой все ниже и ниже. Так что в момент падения между самолетом и грузом будет расстояние .

Груз падает с вертолета

Так как в процессе падения тело будет набирать вертикальную составляющую скорости под действием ускорения свободного падения, то в какой-то момент времени скорость тела, а это  векторная сумма вертикальной и горизонтальной составляющих, будет образовывать угол с горизонтом. Сделаем чертеж:

Тогда угол

Найдем .  Движение равноускоренное, без начальной скорости, поэтому , где – находим его так же, как и в предыдущей задаче про пулю.

Возведем все в квадрат:

Осталось найти радиус кривизны траектории. Он входит в формулу центростремительного ускорения:

Выражаем радиус:

Скорость тела – векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих:

Можно выразить косинус угла через ускорения:

Или, записывая нормальное ускорение

Ответ: , , .

Задача 3. Тело брошено горизонтально. Через время 5 с после броска угол между скоростью и ускорением стал . Определить скорость тела в этот момент. В какой момент времени после броска скорость тела будет в два раза больше его начальной скорости?

К задаче 3

Нарисуем картинку. Сразу становится понятным, что угол между скоростью и ускорением – это угол между скоростью и вертикальной составляющей скорости, так как она направлена вертикально вниз, как и ускорение . А значит, угол между скоростью и горизонтальной составляющей равен . Тогда составляющие скорости равны, и можно вычислить вертикальную, зная время, а потом найти и скорость тела.

Делаем!

Тело падало в течение 5 с, поэтому м/с. Горизонтальная составляющая м/с. Скорость тела будет равна:

Горизонтальная составляющая скорости неизменна,  и раз нам удалось ее определить – неважно, для какого момента полета тела – значит, она будет иметь такое значение всегда, от начала полета и до его конца. Это и есть начальная скорость тела. По условию, в некоторый момент скорость тела больше его начальной вдвое, поэтому .

Тогда можем найти вертикальную составляющую скорости для этого момента:

Теперь, найдя вертикальную составляющую, найдем и момент времени:

Ответ: м/с, c.

Задача 4. Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол с горизонтом. Чему равна начальная скорость камня, если он упал на склон на расстоянии 50 м от точки бросания?

К задаче 4

Так как склон образует с горизонтом угол , то можно определить, какие расстояния камень пролетел по горизонтали и по вертикали – это будут катеты треугольника, а расстояние 50 м вдоль склона – гипотенуза. Тогда

Это дает нам в руки ключ к решению: ведь по вертикали камень падал, и можно узнать, сколько времени:

Мы выяснили, что время падения камня 2,68 с – но ведь это же время он двигался и по горизонтали, причем с постоянной скоростью, и пролетел м. Тогда его горизонтальная составляющая скорости (она же – начальная скорость) равна м/с.

Ответ: м/с.

Задача 5. Тело брошено горизонтально с горы, высота которой 80 м, с начальной скоростью м/с. Найти перемещение и угол, который составляет перемещение с горизонтом, между двумя точками полета тела, в которых скорости соответственно м/с и м/с.

Определим сначала, в какие моменты времени тело окажется в указанных точках. Для этого найдем вертикальные составляющие его скорости и для первого, и для второго моментов времени:

Тогда моменты времени, в которых у тела были соответствующие скорости, равны:

За начало отсчета и точку старта теперь принимаем время – координаты тела в данный момент времени примем за . Тогда по горизонтали тело пролетит расстояние:

А по вертикали расстояние можно определить как разность расстояний, пройденных телом за время и :

Модуль перемещения будет равен:

Угол, который перемещение составляет с горизонтом, определим как арктангенс отношения: :

Ответ: , .