Движение тела, брошенного горизонтально

При решении задач с телом, брошенным горизонтально, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело падает, и движение в вертикальной плоскости является равноускоренным. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.

[latexpage]

Задача 1. Горизонтально летящая пуля последовательно пробивает два вертикальных листа бумаги, расположенных на расстоянии 30 м друг от друга. При этом пробоина на втором листе оказывается на $h=2$ мм ниже, чем на первом. С какой скоростью подлетела пуля к первому листу? 1.240

Итак, пуля летела горизонтально с неизменной скоростью. Одновременно пуля падала в вертикальной плоскости и успела «упасть» на 2 мм. Тогда, зная путь, пройденный ею в вертикальной плоскости, можно найти время падения:

$$h=\frac{gt^2}{2}$$

$$t^2=\frac{2h}{g}$$

Не забываем переводить величины в систему СИ, $h=0,002$ м:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot0,002}{9,8}}=0,02$$

Получили время падения пули, или время движения между листами. Найти скорость пули можем теперь по хорошо известной нам формуле:

$$\upsilon=\frac{S}{t}=\frac{30}{0,02}=1485$$

Ответ: $\upsilon=1485$ м/с

Задача 2. С вертолета, летящего горизонтально со скоростью $\upsilon_0$ на высоте $H$, сброшен груз. На какой высоте $h$ скорость груза будет направлена под углом $\alpha$ к горизонту? Найти радиус кривизны траектории $R$ на данной высоте. Чему равно расстояние $l$ между грузом и самолетом в момент падения груза на землю?

На последний вопрос задачи отвечаем элементарно: ведь мы помним, что горизонтально направленная составляющая скорости остается постоянной, то есть тело летело сначала в вертолете, а потом его выбросили и оно продолжает лететь с той же самой скоростью, просто оно теперь начинает еще и падать. Да, по вертикали расстояние между телом и самолетом растет, но при этом тело все время находится под брюхом самолета, просто с каждой секундой все ниже и ниже. Так что в момент падения между самолетом и грузом будет расстояние $H$.

Груз падает с вертолета

Так как в процессе падения тело будет набирать вертикальную составляющую скорости под действием ускорения свободного падения, то в какой-то момент времени скорость тела, а это  векторная сумма вертикальной и горизонтальной составляющих, будет образовывать угол $\alpha$ с горизонтом. Сделаем чертеж:

Тогда угол $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{\upsilon_y }{\upsilon_0}$

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\upsilon_y }{\upsilon_0}$$

$$\upsilon_y=\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha$$

Найдем $\upsilon_y$.  Движение равноускоренное, без начальной скорости, поэтому $\upsilon_y=gt$, где $t=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$ – находим его так же, как и в предыдущей задаче про пулю.

$$\upsilon_y=gt=g\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}=\sqrt{2g{H-h}}$$

$$\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{2g{H-h}}$$

Возведем все в квадрат:

$${\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha=2g{H-h}$$

$$H-h=\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}$$

$$h=H-\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}$$

Осталось найти радиус кривизны траектории. Он входит в формулу центростремительного ускорения:

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}$$

Выражаем радиус:

$$R=\frac{\upsilon^2}{a_n}$$

Скорость тела – векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих:

$$\upsilon=\sqrt{{\upsilon_0}^2+{\upsilon_y}^2}$$

$$\upsilon=\sqrt{{\upsilon_0}^2+{\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha }^2}=\upsilon_0\sqrt{1+{\operatorname{tg}\alpha }^2}$$

Можно выразить косинус угла через ускорения:

$$\cos{\alpha}=\frac{a_n}{g}$$

Или, записывая нормальное ускорение $a_n=g \cos{\alpha}$

$$R=\frac{\upsilon^2 }{g \cos{\alpha}}=\frac{{\upsilon_0}^2(1+{\operatorname{tg}\alpha }^2)}{g\cos{\alpha}}$$

Ответ: $h=H-\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}$, $R=\frac{{\upsilon_0}^2(1+{\operatorname{tg}\alpha }^2)}{g\cos{\alpha}}$, $l=H$.

Задача 3. Тело брошено горизонтально. Через время 5 с после броска угол между скоростью и ускорением стал $\alpha=45^{\circ}$. Определить скорость тела $\upsilon$ в этот момент. В какой момент времени $t_1$ после броска скорость тела будет в два раза больше его начальной скорости?

К задаче 3

Нарисуем картинку. Сразу становится понятным, что угол между скоростью и ускорением – это угол между скоростью и вертикальной составляющей скорости, так как она направлена вертикально вниз, как и ускорение $g$. А значит, угол между скоростью и горизонтальной составляющей равен $90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$. Тогда составляющие скорости равны, и можно вычислить вертикальную, зная время, а потом найти и скорость тела.

Делаем!

Тело падало в течение 5 с, поэтому $\upsilon_y=gt=50$ м/с. Горизонтальная составляющая $\upsilon_x=\upsilon_y=50$ м/с. Скорость тела будет равна:

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2}=\sqrt{2500+2500}=70,7$$

Горизонтальная составляющая скорости неизменна,  и раз нам удалось ее определить – неважно, для какого момента полета тела – значит, она будет иметь такое значение всегда, от начала полета и до его конца. Это и есть начальная скорость тела. По условию, в некоторый момент скорость тела больше его начальной вдвое, поэтому $\upsilon_1=100$.

Тогда можем найти вертикальную составляющую скорости для этого момента:

$$\upsilon_{1y}=\sqrt{\upsilon^2-\upsilon_x^2}=\sqrt{100^2-50^2}=\sqrt{7500}=86,6$$

Теперь, найдя вертикальную составляющую, найдем и момент времени:

$$\upsilon_{1y}=gt_1$$

$$t_1=\frac{\upsilon_{1y}}{g}=\frac{86,6}{10}=8,66$$

Ответ: $\upsilon=70,7$ м/с, $t_1=8,66$ c.

Задача 4. Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол $\alpha=45^{\circ}$ с горизонтом. Чему равна начальная скорость $\upsilon_0$ камня, если он упал на склон на расстоянии 50 м от точки бросания?

К задаче 4

Так как склон образует с горизонтом угол $\alpha=45^{\circ}$, то можно определить, какие расстояния камень пролетел по горизонтали и по вертикали – это будут катеты треугольника, а расстояние 50 м вдоль склона – гипотенуза. Тогда

$$a^2+a^2=2500$$

$$a^2=1250$$

$$a=35,4$$

Это дает нам в руки ключ к решению: ведь по вертикали камень падал, и можно узнать, сколько времени:

$$\frac{gt^2}{2}=a$$

$$t^2=\frac{2a}{g}$$

$$t=\sqrt{\frac{2a}{g}}=\sqrt{\frac{70,8}{10}}=\sqrt{7,08}=2,68$$

Мы выяснили, что время падения камня 2,68 с – но ведь это же время он двигался и по горизонтали, причем с постоянной скоростью, и пролетел $a=35,4$ м. Тогда его горизонтальная составляющая скорости (она же – начальная скорость) равна $\upsilon_0=\frac{a}{t}=\frac{35,4}{2,68}=13,2$ м/с.

Ответ: $\upsilon_0=13,2$ м/с.

Задача 5. Тело брошено горизонтально с горы, высота которой 80 м, с начальной скоростью $\upsilon_0=25$ м/с. Найти перемещение и угол, который составляет перемещение с горизонтом, между двумя точками полета тела, в которых скорости соответственно $\upsilon_1=30$ м/с и $\upsilon_2=40$ м/с.

Определим сначала, в какие моменты времени тело окажется в указанных точках. Для этого найдем вертикальные составляющие его скорости и для первого, и для второго моментов времени:

$$\upsilon_{y1}=\sqrt{\upsilon_1^2-\upsilon_0^2}=\sqrt{900-625}=16,6$$

$$\upsilon_{y2}=\sqrt{\upsilon_2^2-\upsilon_0^2}=\sqrt{1600-625}=31,2$$

Тогда моменты времени, в которых у тела были соответствующие скорости, равны:

$$\upsilon_{y1}=gt_1$$

$$t_1=\frac{\upsilon_{y1}}{g}=\frac{16,6}{10}=1,66$$

$$\upsilon_{y2}=gt_2$$

$$t_2=\frac{\upsilon_{y2}}{g}=\frac{31,2}{10}=3,12$$

За начало отсчета и точку старта теперь принимаем время $t_1$ – координаты тела в данный момент времени примем за $(0;0)$. Тогда по горизонтали тело пролетит расстояние:

$$S_{gor}=\upsilon_0 (t_2-t_1)=25(3,12-1,66)=36,6$$

А по вертикали расстояние можно определить как разность расстояний, пройденных телом за время $t_1$ и $t_2$:

$$h_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{10\cdot1,66^2}{2}=13,78$$

$$h_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{10\cdot3,12^2}{2}=48,67$$

$$H=h_2-h_1=34, 9$$

Модуль перемещения будет равен:

$$S=\sqrt{ S_{gor}^2+H^2}=\sqrt{36,6^2+34,9^2}=\sqrt{2557}=50,6$$

Угол, который перемещение составляет с горизонтом, определим как арктангенс отношения: $\frac{H}{ S_{gor}}$:

$$\alpha=\operatormame{arctg}\frac{H}{ S_{gor}}=\operatormame{arctg}\frac{34,9}{36,6}}=43,6^{\circ}$$

Ответ: $S=50,6$, $\alpha=43,6^{\circ}$.