Движение тела, брошенного горизонтально

При решении задач с телом, брошенным горизонтально, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело падает, и движение в вертикальной плоскости является равноускоренным. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.

Задача 1. Горизонтально летящая пуля последовательно пробивает два вертикальных листа бумаги, расположенных на расстоянии 30 м друг от друга. При этом пробоина на втором листе оказывается на $h=2$ мм ниже, чем на первом. С какой скоростью подлетела пуля к первому листу? 1.240

Итак, пуля летела горизонтально с неизменной скоростью. Одновременно пуля падала в вертикальной плоскости и успела «упасть» на 2 мм. Тогда, зная путь, пройденный ею в вертикальной плоскости, можно найти время падения:

$h=\frac{gt^2}{2}$

$t^2=\frac{2h}{g}$

Не забываем переводить величины в систему СИ, $h=0,002$ м:

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot0,002}{9,8}}=0,02$

Получили время падения пули, или время движения между листами. Найти скорость пули можем теперь по хорошо известной нам формуле:

$\upsilon=\frac{S}{t}=\frac{30}{0,02}=1485$

Ответ: $\upsilon=1485$ м/с

Задача 2. С вертолета, летящего горизонтально со скоростью $\upsilon_0$ на высоте $H$ , сброшен груз. На какой высоте $h$ скорость груза будет направлена под углом $\alpha$ к горизонту? Найти радиус кривизны траектории $R$ на данной высоте. Чему равно расстояние $l$ между грузом и самолетом в момент падения груза на землю?

На последний вопрос задачи отвечаем элементарно: ведь мы помним, что горизонтально направленная составляющая скорости остается постоянной, то есть тело летело сначала в вертолете, а потом его выбросили и оно продолжает лететь с той же самой скоростью, просто оно теперь начинает еще и падать. Да, по вертикали расстояние между телом и самолетом растет, но при этом тело все время находится под брюхом самолета, просто с каждой секундой все ниже и ниже. Так что в момент падения между самолетом и грузом будет расстояние $H$ .

Груз падает с вертолета

Так как в процессе падения тело будет набирать вертикальную составляющую скорости под действием ускорения свободного падения, то в какой-то момент времени скорость тела, а это векторная сумма вертикальной и горизонтальной составляющих, будет образовывать угол $\alpha$ с горизонтом. Сделаем чертеж:

Тогда угол $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{\upsilon_y }{\upsilon_0}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\upsilon_y }{\upsilon_0}$

$\upsilon_y=\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha$

Найдем $\upsilon_y$ . Движение равноускоренное, без начальной скорости, поэтому $\upsilon_y=gt$ , где $t=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$ – находим его так же, как и в предыдущей задаче про пулю.

$\upsilon_y=gt=g\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}=\sqrt{2g{H-h}}$

$\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{2g{H-h}}$

Возведем все в квадрат:

${\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha=2g{H-h}$

$H-h=\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}$

$h=H-\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}$

Осталось найти радиус кривизны траектории. Он входит в формулу центростремительного ускорения:

$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}$

Выражаем радиус:

$R=\frac{\upsilon^2}{a_n}$

Скорость тела – векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих:

$\upsilon=\sqrt{{\upsilon_0}^2+{\upsilon_y}^2}$

$\upsilon=\sqrt{{\upsilon_0}^2+{\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha }^2}=\upsilon_0\sqrt{1+{\operatorname{tg}\alpha }^2}$

Можно выразить косинус угла через ускорения:

$\cos{\alpha}=\frac{a_n}{g}$

Или, записывая нормальное ускорение $a_n=g \cos{\alpha}$

$R=\frac{\upsilon^2 }{g \cos{\alpha}}=\frac{{\upsilon_0}^2(1+{\operatorname{tg}\alpha }^2)}{g\cos{\alpha}}$

Ответ: $h=H-\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}$ , $R=\frac{{\upsilon_0}^2(1+{\operatorname{tg}\alpha }^2)}{g\cos{\alpha}}$ , $l=H$ .

Задача 3. Тело брошено горизонтально. Через время 5 с после броска угол между скоростью и ускорением стал $\alpha=45^{\circ}$ . Определить скорость тела $\upsilon$ в этот момент. В какой момент времени $t_1$ после броска скорость тела будет в два раза больше его начальной скорости?

К задаче 3

Нарисуем картинку. Сразу становится понятным, что угол между скоростью и ускорением – это угол между скоростью и вертикальной составляющей скорости, так как она направлена вертикально вниз, как и ускорение $g$ . А значит, угол между скоростью и горизонтальной составляющей равен $90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$ . Тогда составляющие скорости равны, и можно вычислить вертикальную, зная время, а потом найти и скорость тела.

Делаем!

Тело падало в течение 5 с, поэтому $\upsilon_y=gt=50$ м/с. Горизонтальная составляющая $\upsilon_x=\upsilon_y=50$ м/с. Скорость тела будет равна:

$\upsilon=\sqrt{\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2}=\sqrt{2500+2500}=70,7$

Горизонтальная составляющая скорости неизменна, и раз нам удалось ее определить – неважно, для какого момента полета тела – значит, она будет иметь такое значение всегда, от начала полета и до его конца. Это и есть начальная скорость тела. По условию, в некоторый момент скорость тела больше его начальной вдвое, поэтому $\upsilon_1=100$ .

Тогда можем найти вертикальную составляющую скорости для этого момента:

$\upsilon_{1y}=\sqrt{\upsilon^2-\upsilon_x^2}=\sqrt{100^2-50^2}=\sqrt{7500}=86,6$

Теперь, найдя вертикальную составляющую, найдем и момент времени:

$\upsilon_{1y}=gt_1$

$t_1=\frac{\upsilon_{1y}}{g}=\frac{86,6}{10}=8,66$

Ответ: $\upsilon=70,7$ м/с, $t_1=8,66$ c.

Задача 4. Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол $\alpha=45^{\circ}$ с горизонтом. Чему равна начальная скорость $\upsilon_0$ камня, если он упал на склон на расстоянии 50 м от точки бросания?

К задаче 4

Так как склон образует с горизонтом угол $\alpha=45^{\circ}$ , то можно определить, какие расстояния камень пролетел по горизонтали и по вертикали – это будут катеты треугольника, а расстояние 50 м вдоль склона – гипотенуза. Тогда

$a^2+a^2=2500$

$a^2=1250$

$a=35,4$

Это дает нам в руки ключ к решению: ведь по вертикали камень падал, и можно узнать, сколько времени:

$\frac{gt^2}{2}=a$

$t^2=\frac{2a}{g}$

$t=\sqrt{\frac{2a}{g}}=\sqrt{\frac{70,8}{10}}=\sqrt{7,08}=2,68$

Мы выяснили, что время падения камня 2,68 с – но ведь это же время он двигался и по горизонтали, причем с постоянной скоростью, и пролетел $a=35,4$ м. Тогда его горизонтальная составляющая скорости (она же – начальная скорость) равна $\upsilon_0=\frac{a}{t}=\frac{35,4}{2,68}=13,2$ м/с.

Ответ: $\upsilon_0=13,2$ м/с.

Задача 5. Тело брошено горизонтально с горы, высота которой 80 м, с начальной скоростью $\upsilon_0=25$ м/с. Найти перемещение и угол, который составляет перемещение с горизонтом, между двумя точками полета тела, в которых скорости соответственно $\upsilon_1=30$ м/с и $\upsilon_2=40$ м/с.

Определим сначала, в какие моменты времени тело окажется в указанных точках. Для этого найдем вертикальные составляющие его скорости и для первого, и для второго моментов времени:

$\upsilon_{y1}=\sqrt{\upsilon_1^2-\upsilon_0^2}=\sqrt{900-625}=16,6$

$\upsilon_{y2}=\sqrt{\upsilon_2^2-\upsilon_0^2}=\sqrt{1600-625}=31,2$

Тогда моменты времени, в которых у тела были соответствующие скорости, равны:

$\upsilon_{y1}=gt_1$

$t_1=\frac{\upsilon_{y1}}{g}=\frac{16,6}{10}=1,66$

$\upsilon_{y2}=gt_2$

$t_2=\frac{\upsilon_{y2}}{g}=\frac{31,2}{10}=3,12$

За начало отсчета и точку старта теперь принимаем время $t_1$ – координаты тела в данный момент времени примем за $(0;0)$ . Тогда по горизонтали тело пролетит расстояние: