Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Движение тела, брошенного горизонтально

 

При решении задач с телом, брошенным горизонтально, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело падает, и движение в вертикальной плоскости является равноускоренным. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.



Задача 1. Горизонтально летящая пуля последовательно пробивает два вертикальных листа бумаги, расположенных на расстоянии 30 м друг от друга. При этом пробоина на втором листе оказывается на h=2 мм ниже, чем на первом. С какой скоростью подлетела пуля к первому листу? 1.240

Итак, пуля летела горизонтально с неизменной скоростью. Одновременно пуля падала в вертикальной плоскости и успела «упасть» на 2 мм. Тогда, зная путь, пройденный ею в вертикальной плоскости, можно найти время падения:

    \[h=\frac{gt^2}{2}\]

    \[t^2=\frac{2h}{g}\]

Не забываем переводить величины в систему СИ, h=0,002 м:

    \[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot0,002}{9,8}}=0,02\]

Получили время падения пули, или время движения между листами. Найти скорость пули можем теперь по хорошо известной нам формуле:

    \[\upsilon=\frac{S}{t}=\frac{30}{0,02}=1485\]

Ответ: \upsilon=1485 м/с

 

Задача 2. С вертолета, летящего горизонтально со скоростью \upsilon_0 на высоте H, сброшен груз. На какой высоте h скорость груза будет направлена под углом \alpha к горизонту? Найти радиус кривизны траектории R на данной высоте. Чему равно расстояние l между грузом и самолетом в момент падения груза на землю?

На последний вопрос задачи отвечаем элементарно: ведь мы помним, что горизонтально направленная составляющая скорости остается постоянной, то есть тело летело сначала в вертолете, а потом его выбросили и оно продолжает лететь с той же самой скоростью, просто оно теперь начинает еще и падать. Да, по вертикали расстояние между телом и самолетом растет, но при этом тело все время находится под брюхом самолета, просто с каждой секундой все ниже и ниже. Так что в момент падения между самолетом и грузом будет расстояние H.

Груз падает с вертолета

Так как в процессе падения тело будет набирать вертикальную составляющую скорости под действием ускорения свободного падения, то в какой-то момент времени скорость тела, а это  векторная сумма вертикальной и горизонтальной составляющих, будет образовывать угол \alpha с горизонтом. Сделаем чертеж:

Тогда угол \alpha=\operatorname{arctg}\frac{\upsilon_y }{\upsilon_0}

    \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\upsilon_y }{\upsilon_0}\]

    \[\upsilon_y=\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha\]

Найдем \upsilon_y.  Движение равноускоренное, без начальной скорости, поэтому \upsilon_y=gt, где t=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} – находим его так же, как и в предыдущей задаче про пулю.

    \[\upsilon_y=gt=g\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}=\sqrt{2g{H-h}}\]

    \[\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{2g{H-h}}\]

Возведем все в квадрат:

    \[{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha=2g{H-h}\]

    \[H-h=\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}\]

    \[h=H-\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}\]

Осталось найти радиус кривизны траектории. Он входит в формулу центростремительного ускорения:

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}\]

Выражаем радиус:

    \[R=\frac{\upsilon^2}{a_n}\]

 

Скорость тела – векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих:

    \[\upsilon=\sqrt{{\upsilon_0}^2+{\upsilon_y}^2}\]

    \[\upsilon=\sqrt{{\upsilon_0}^2+{\upsilon_0\cdot\operatorname{tg}\alpha }^2}=\upsilon_0\sqrt{1+{\operatorname{tg}\alpha }^2}\]

Можно выразить косинус угла через ускорения:

    \[\cos{\alpha}=\frac{a_n}{g}\]

Или, записывая нормальное ускорение a_n=g \cos{\alpha}

    \[R=\frac{\upsilon^2 }{g \cos{\alpha}}=\frac{{\upsilon_0}^2(1+{\operatorname{tg}\alpha }^2)}{g\cos{\alpha}}\]

Ответ: h=H-\frac{{\upsilon_0}^2\cdot\operatorname{tg^2}\alpha }{2g}, R=\frac{{\upsilon_0}^2(1+{\operatorname{tg}\alpha }^2)}{g\cos{\alpha}}, l=H.

 



Задача 3. Тело брошено горизонтально. Через время 5 с после броска угол между скоростью и ускорением стал \alpha=45^{\circ}. Определить скорость тела \upsilon в этот момент. В какой момент времени t_1 после броска скорость тела будет в два раза больше его начальной скорости?

К задаче 3

Нарисуем картинку. Сразу становится понятным, что угол между скоростью и ускорением – это угол между скоростью и вертикальной составляющей скорости, так как она направлена вертикально вниз, как и ускорение g. А значит, угол между скоростью и горизонтальной составляющей равен 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}. Тогда составляющие скорости равны, и можно вычислить вертикальную, зная время, а потом найти и скорость тела.

Делаем!

Тело падало в течение 5 с, поэтому \upsilon_y=gt=50 м/с. Горизонтальная составляющая \upsilon_x=\upsilon_y=50 м/с. Скорость тела будет равна:

    \[\upsilon=\sqrt{\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2}=\sqrt{2500+2500}=70,7\]

Горизонтальная составляющая скорости неизменна,  и раз нам удалось ее определить – неважно, для какого момента полета тела – значит, она будет иметь такое значение всегда, от начала полета и до его конца. Это и есть начальная скорость тела. По условию, в некоторый момент скорость тела больше его начальной вдвое, поэтому \upsilon_1=100.

Тогда можем найти вертикальную составляющую скорости для этого момента:

    \[\upsilon_{1y}=\sqrt{\upsilon^2-\upsilon_x^2}=\sqrt{100^2-50^2}=\sqrt{7500}=86,6\]

Теперь, найдя вертикальную составляющую, найдем и момент времени:

    \[\upsilon_{1y}=gt_1\]

    \[t_1=\frac{\upsilon_{1y}}{g}=\frac{86,6}{10}=8,66\]

Ответ: \upsilon=70,7 м/с, t_1=8,66 c.

 

Задача 4. Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол \alpha=45^{\circ} с горизонтом. Чему равна начальная скорость \upsilon_0 камня, если он упал на склон на расстоянии 50 м от точки бросания?

К задаче 4

Так как склон образует с горизонтом угол \alpha=45^{\circ}, то можно определить, какие расстояния камень пролетел по горизонтали и по вертикали – это будут катеты треугольника, а расстояние 50 м вдоль склона – гипотенуза. Тогда

    \[a^2+a^2=2500\]

    \[a^2=1250\]

    \[a=35,4\]

Это дает нам в руки ключ к решению: ведь по вертикали камень падал, и можно узнать, сколько времени:

    \[\frac{gt^2}{2}=a\]

    \[t^2=\frac{2a}{g}\]

    \[t=\sqrt{\frac{2a}{g}}=\sqrt{\frac{70,8}{10}}=\sqrt{7,08}=2,68\]

Мы выяснили, что время падения камня 2,68 с – но ведь это же время он двигался и по горизонтали, причем с постоянной скоростью, и пролетел a=35,4 м. Тогда его горизонтальная составляющая скорости (она же – начальная скорость) равна \upsilon_0=\frac{a}{t}=\frac{35,4}{2,68}=13,2 м/с.

Ответ: \upsilon_0=13,2 м/с.

 

Задача 5. Тело брошено горизонтально с горы, высота которой 80 м, с начальной скоростью \upsilon_0=25 м/с. Найти перемещение и угол, который составляет перемещение с горизонтом, между двумя точками полета тела, в которых скорости соответственно \upsilon_1=30 м/с и \upsilon_2=40 м/с.

Определим сначала, в какие моменты времени тело окажется в указанных точках. Для этого найдем вертикальные составляющие его скорости и для первого, и для второго моментов времени:

    \[\upsilon_{y1}=\sqrt{\upsilon_1^2-\upsilon_0^2}=\sqrt{900-625}=16,6\]

    \[\upsilon_{y2}=\sqrt{\upsilon_2^2-\upsilon_0^2}=\sqrt{1600-625}=31,2\]

Тогда моменты времени, в которых у тела были соответствующие скорости, равны:

    \[\upsilon_{y1}=gt_1\]

    \[t_1=\frac{\upsilon_{y1}}{g}=\frac{16,6}{10}=1,66\]

    \[\upsilon_{y2}=gt_2\]

    \[t_2=\frac{\upsilon_{y2}}{g}=\frac{31,2}{10}=3,12\]

За начало отсчета и точку старта теперь принимаем время t_1 – координаты тела в данный момент времени примем за (0;0). Тогда по горизонтали тело пролетит расстояние:

    \[S_{gor}=\upsilon_0 (t_2-t_1)=25(3,12-1,66)=36,6\]

А по вертикали расстояние можно определить как разность расстояний, пройденных телом за время t_1 и t_2:

    \[h_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{10\cdot1,66^2}{2}=13,78\]

    \[h_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{10\cdot3,12^2}{2}=48,67\]

    \[H=h_2-h_1=34, 9\]

Модуль перемещения будет равен:

    \[S=\sqrt{ S_{gor}^2+H^2}=\sqrt{36,6^2+34,9^2}=\sqrt{2557}=50,6\]

Угол, который перемещение составляет с горизонтом, определим как арктангенс отношения: \frac{H}{ S_{gor}}:

    \[\alpha=\operatormame{arctg}\frac{H}{ S_{gor}}=\operatormame{arctg}\frac{34,9}{36,6}}=43,6^{\circ}\]

Ответ: S=50,6, \alpha=43,6^{\circ}.



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *