Движение с постоянной скоростью. 9 класс

[latexpage]

Снова тренируемся решать задачи, готовимся к олимпиадам разного уровня. Задачи, кстати, доступны не только 9-классникам, но и 8 и 7-классникам.

Задача 1. Два корабля плывут навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_1=5 $ м/с и $\upsilon_2=10$ м/с. В момент, когда расстояние между ними равно $L=4500$ м, с одного из кораблей взлетает голубь и летит к другому кораблю. Долетев до него, голубь разворачивается и летит обратно. Вернувшись к первому кораблю, голубь опять разворачивается и летит ко второму и т. д. Какое расстояние пролетит голубь до момента встречи кораблей, если он летает со скоростью $\upsilon=10$ м/с? Ответ дать в километрах.

Решение.

В системе отсчета одного из кораблей другой корабль приближается со скоростью $\upsilon_1+\upsilon_2$. Тогда время сближения кораблей

$$t=\frac{L}{\upsilon_1+\upsilon_2}.$$

За это время голубь успеет пролететь расстояние

$$S=\upsilon t=\frac{L\upsilon}{\upsilon_1+\upsilon_2}=3.$$

Ответ: 3 км.

Задача 2. Теплоход движется по озеру параллельно берегу со скоростью $\upsilon_1=15~$ м/с. От берега отходит катер со скоростью $\upsilon_2=25~$ м/с. Через какое наименьшее время катер сможет догнать теплоход, если в начальный момент теплоход и катер находились на одной нормали к берегу и расстояние между ними было $S=1~$ км? Ответ дать в секундах.

Решение.

В системе отсчета теплохода катер должен двигаться курсом на теплоход. Тогда из закона сложения скоростей, скорость сближения будет равна $u=\sqrt{\upsilon_2^2-\upsilon_1^2}$. Время сближения

$$t=\frac{S}{u}=\frac{S}{\sqrt{\upsilon_2^2-\upsilon_1^2}}=50 c.$$

Ответ: 50 с.

Задача 3. Из точки $B$ бросают камень в горизонтальном направлении $BC$ с начальной скоростью $\upsilon_0=10~$ м/с. Одновременно из точки $A$, лежащей на расстоянии $L=10~$ м выше точки $C$, начинает свободно падать второй камень. Через какое время расстояние между камнями будет минимальным? Расстояние $BC=H=10~$ м. Ответ дать в секундах, округлив до целых.

К задаче 3.

Решение.

Перейдем в систему отсчета камня $A$. В ней он становится неподвижным, а камень $B$ по закону сложения скоростей будет двигаться по прямой со скоростью, равной начальной, так как ускорения обоих камней равны ускорению свободного падения $\vec g$. Минимальное расстояние между камнями в тот момент, когда они окажутся на одной вертикали (это перпендикуляр к траектории камня $B$, опущенный из точки $A$. До этой точки камень $B$ будет двигаться $t_0=\frac{H}{\upsilon_0}=1 $ c.

Ответ: 1 с.

Задача 4. Два велосипедиста, находясь в диаметрально противоположных точках велотрека, одновременно начали гонку преследования. На каком круге один из них нагонит другого, если отношение скоростей велосипедистов $\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{19}{18}$? В ответе указать целый номер круга, на котором произойдет встреча.

Решение.

Если бы второй велосипедист проехал 18 кругов, то первый – 19, то есть на один круг больше. А ему надо проехать лишних только полкруга (начальная разница между ними). Для этого потребуется не 19 кругов, а в два раза меньше, т. е. 9,5 круга. Следовательно, встреча произойдет на десятом круге.

Ответ: на 10-ом круге.

Задача 5. Вагон поезда, движущегося со скоростью $u=72~$ км/ч, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Одно отверстие в стенках вагона оказалось смещено относительно другого на $L=6~$ см. Ширина вагона $H=2,7~$ м. Какова скорость движения пули $\upsilon$? Ответ дать в$~$ м/с, округлив до целых.

Решение.

Время смещения вагона на расстояние $L$ равно времени пролета пули между стенками. Запишем время полета пули между стенами: $t=\frac{H}{\upsilon}$. За это время вагон успел сместиться на $L=u\cdot t$. Подставив время, получим $\upsilon=\frac{H\cdot u}{L}=900.$

Ответ: 900 м/с.