Движение – разные задачи. 9 класс.

[latexpage]

В статье собраны разные задачи: и на равноускоренное движение, и на движение с постоянной скоростью. Все задачи предназначаются для подготовки к олимпиадам.

Задача 1. Определите минимальное время $t$ движения автобуса от одной остановки до другой, если расстояние между остановками $L=300$ м. При движении автобуса от остановки он может развивать ускорение $a_1=1$ м/c$^2$, а при подходе к остановке тормозить с ускорением $a_2=2$ м/c$^2$. Ответ дать в секундах.

Решение.

Построим график зависимости скорости автобуса от времени.

Задача 1

Из условия минимальности времени следует, что автобус сначала непрерывно разгоняется с максимальным ускорением до максимальной скорости $\upsilon$, а потом тормозит. Следовательно, график представляет собой треугольник с основанием $t$ и высотой $\upsilon$. Откуда можно записать $L=\frac{\upsilon t}{2}$, Вместе с тем, $\upsilon=a_1 t_1$ и $\upsilon=a_2 t_2$, где $t_1+t_2=t$.

Подставляя всё в последнее уравнение, получим

$$\frac{\upsilon}{a_1}+\frac{\upsilon}{a_1}=t~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Но

$$\upsilon=\frac{2L}{t}$$

Или

$$\upsilon t=2L$$

Умножим на $t$ правую и левую части (1):

$$\frac{t\upsilon}{a_1}+\frac{t\upsilon}{a_1}=t^2$$

Заменим $\upsilon t$ на $2L$:

$$\frac{2L}{a_1}+\frac{2L}{a_1}=t^2$$

Тогда

$$t=\sqrt{2L\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right)}=30 c.$$

Ответ: 30 с.

Задача 2. Автомобили следуют друг за другом со скоростью $\upsilon_0=36$ км/ч. Внезапно первый начинает экстренно тормозить. Время реакции второго водителя примерно $t_0=0,6$ секунды. При каком минимальном расстоянии между автомобилями столкновения не произойдет? Ускорения считать одинаковыми. Ответ выразить в метрах, округлив до целых.

Решение.

Самое простое решение – графическое. Построим на одних осях графики зависимости скорости машин от времени (на рисунке скорость первой машины показана красным, а второй – зеленым). Расстояние между машинами должно быть равно разности площадей под графиками, а это – площадь параллелограмма: $L=\upsilon_0\cdot t_0=6$ м.

Задача 2.

Ответ: 6 м.

Задача 3. Тело движется по оси $x$. По графику зависимости проекции скорости тела $\upsilon _x$ от времени $t$ определите, какой путь прошло тело за время от $t_1=0$ до $t_2=8~$с. Ответ выразите в метрах, округлив до целых.

Задача 3.

Решение. По площади под графиком определим расстояние, пройденное телом до разворота за первые 4 секунды движения и получим, что оно прошло 20 метров. За следующие 4 секунды тело прошло ещё 10 метров, причём из графика видно, что проекция скорости тела на ось $x$ поменяла знак, то есть тело развернулось и поехало в обратную сторону. Так как нас спрашивают путь, а не модуль перемещения, то найденные расстояния надо сложить. Окончательно, пройденный путь за 8 секунд равен 30 м.

Ответ: 30 м.

Задача 4. На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 с, зелёный в течение следующих 30 с. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зеленый свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зеленый свет, и все остальные светофоры. С какой другой большей скоростью могут двигаться автомобили, чтобы проехав один светофор на зеленый свет, далее нигде не останавливаться?

Решение.

Самое простое решение – графическое. Нарисуем график движения автомобиля. По горизонтальной оси будем откладывать время $t$ в секундах, по вертикальной$~$— пройденный путь $S$ в километрах. Изобразим на этом графике запрещающие сигналы каждого из светофоров$~$— красные$~$— в виде тёмных полосок, а разрешающие$~$— зелёные$~$— в виде светлых промежутков между ними. Тогда график движения любого автомобиля, движущегося без остановок, должен проходить только через светлые промежутки.

Задача 4.

Заметим, что расстояние 1 км между соседними светофорами автомобиль, движущийся со скоростью 40 км/ч, проедет за 1/40 часа = 90 секунд. Таким образом, он сможет проехать следующий светофор без остановки, только если разрешающие и запрещающие сигналы светофоров будут гореть в противофазе в каждой следующей цепочке (когда на первом перекрестке зеленый, на втором – красный). Из графика видно, что автомобиль будет двигаться без остановок на светофорах в том случае, если он будет преодолевать 1 км за 30 с, 90 с, 150 с,…, (30 + 60n) с, где n =0,1,2,… Следовательно, скорость автомобиля, требующаяся для движения по шоссе без остановок на светофорах, может быть равна 120 км/ч, 40 км/ч, 24 км/ч и т.д. Но, по условию нам нужно найти скорость большую, чем 40 км/ч. Окончательно, выбираем 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 5. Определите минимальное время движения автобуса от одной остановки до другой, если расстояние между остановками $L=1200$ м. При движении автобуса от остановки он может развивать ускорение $a_1=1$ м/c$^2$, а при подходе к остановке тормозить с ускорением $a_2=2$ м/c$^2$. По правилам дорожного движения скорость автобуса на этом участке не должна превышать $\upsilon=10$ м/с. Ответ дать в секундах, округлив до десятых.

Решение.

Если автобус будет только разгоняться и тормозить, то превысит ли его скорость допустимое значение? Построим график зависимости скорости автобуса от времени. Из условия минимальности времени следует, что надо успеть набрать максимальную скорость $\upsilon$, следовательно, график представляет собой треугольник с основанием $t$ и высотой $\upsilon$. Так как путь, который проходит автобус, численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени, то $L=\frac{\upsilon t}{2}$.

Вместе с тем, $\upsilon=a_1 t_1$ и $\upsilon=a_2 t_2$, где $t_1+t_2=t$.

Решая систему из трех полученных уравнений, получаем

$$t=\sqrt{2L\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right)}=60 c.$$

Ускорение при разгоне меньше ускорения при торможении в два раза. Следовательно, разгон занял 40 с и скорость достигла 20 м/с, что больше допустимой. Это означает, что часть пути автобус двигался с постоянной максимально допустимой скоростью. Все движение можно разбить на три участка: разгон до $\upsilon$, движение с постоянной скоростью и торможение до остановки.

На первом и третьем участке автобус двигался время $t_1=\frac{\upsilon }{a_1}$ и $t_3=\frac{\upsilon }{a_3}$ и прошел расстояние

$$L_1+L_2=\frac{\upsilon^2}{2a_1}+\frac{\upsilon^2}{2a_2}=75$$

за $t_{13}=15$ с.

Оставшееся расстояние автобус шел с максимальной скоростью $\upsilon$ в течение времени

$$t_2=\frac{L-(L_1+L_3)}{\upsilon }=112,5 c.$$

Общее время движения 127,5 с.

Ответ: 127,5 с.