Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Олимпиадная физика, Равнопеременное движение

Движение – разные задачи. 9 класс.

В статье собраны разные задачи: и на равноускоренное движение, и на движение с постоянной скоростью. Все задачи предназначаются для подготовки к олимпиадам.

 

Задача 1. Определите минимальное время t движения автобуса от одной остановки до другой, если расстояние между остановками L=300 м. При движении автобуса от остановки он может развивать ускорение a_1=1 м/c^2, а при подходе к остановке тормозить с ускорением a_2=2 м/c^2. Ответ дать в секундах.

Решение.

Построим график зависимости скорости автобуса от времени.

Задача 1

Из условия минимальности времени следует, что автобус сначала непрерывно разгоняется с максимальным ускорением до максимальной скорости \upsilon, а потом тормозит. Следовательно, график представляет собой треугольник с основанием t и высотой \upsilon. Откуда можно записать L=\frac{\upsilon t}{2}, Вместе с тем, \upsilon=a_1 t_1 и \upsilon=a_2 t_2, где t_1+t_2=t.

Подставляя всё в последнее уравнение, получим

    \[\frac{\upsilon}{a_1}+\frac{\upsilon}{a_1}=t~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Но

    \[\upsilon=\frac{2L}{t}\]

Или

    \[\upsilon t=2L\]

Умножим на t правую и левую части (1):

    \[\frac{t\upsilon}{a_1}+\frac{t\upsilon}{a_1}=t^2\]

Заменим \upsilon t на 2L:

    \[\frac{2L}{a_1}+\frac{2L}{a_1}=t^2\]

Тогда

    \[t=\sqrt{2L\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right)}=30 c.\]

Ответ: 30 с.

Задача 2. Автомобили следуют друг за другом со скоростью \upsilon_0=36 км/ч. Внезапно первый начинает экстренно тормозить. Время реакции второго водителя примерно t_0=0,6 секунды. При каком минимальном расстоянии между автомобилями столкновения не произойдет? Ускорения считать одинаковыми. Ответ выразить в метрах, округлив до целых.

Решение.

Самое простое решение – графическое. Построим на одних осях графики зависимости скорости машин от времени (на рисунке скорость первой машины показана красным, а второй – зеленым). Расстояние между машинами должно быть равно разности площадей под графиками, а это – площадь параллелограмма: L=\upsilon_0\cdot t_0=6 м.

Задача 2.

Ответ: 6 м.

Задача 3. Тело движется по оси x. По графику зависимости проекции скорости тела \upsilon _x от времени t определите, какой путь прошло тело за время от t_1=0 до t_2=8~с. Ответ выразите в метрах, округлив до целых.

Задача 3.

 

Решение. По площади под графиком определим расстояние, пройденное телом до разворота за первые 4 секунды движения и получим, что оно прошло 20 метров. За следующие 4 секунды тело прошло ещё 10 метров, причём из графика видно, что проекция скорости тела на ось x поменяла знак, то есть тело развернулось и поехало в обратную сторону. Так как нас спрашивают путь, а не модуль перемещения, то найденные расстояния надо сложить. Окончательно, пройденный путь за 8 секунд равен 30 м.

Ответ: 30 м.

Задача 4. На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 с, зелёный в течение следующих 30 с. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зеленый свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зеленый свет, и все остальные светофоры. С какой другой большей скоростью могут двигаться автомобили, чтобы проехав один светофор на зеленый свет, далее нигде не останавливаться?

Решение.

Самое простое решение – графическое. Нарисуем график движения автомобиля. По горизонтальной оси будем откладывать время t в секундах, по вертикальной~— пройденный путь S в километрах. Изобразим на этом графике запрещающие сигналы каждого из светофоров~— красные~— в виде тёмных полосок, а разрешающие~— зелёные~— в виде светлых промежутков между ними. Тогда график движения любого автомобиля, движущегося без остановок, должен проходить только через светлые промежутки.

Задача 4.

Заметим, что расстояние 1 км между соседними светофорами автомобиль, движущийся со скоростью 40 км/ч, проедет за 1/40 часа = 90 секунд. Таким образом, он сможет проехать следующий светофор без остановки, только если разрешающие и запрещающие сигналы светофоров будут гореть в противофазе в каждой следующей цепочке (когда на первом перекрестке зеленый, на втором – красный). Из графика видно, что автомобиль будет двигаться без остановок на светофорах в том случае, если он будет преодолевать 1 км за 30 с, 90 с, 150 с,…, (30 + 60n) с, где n =0,1,2,… Следовательно, скорость автомобиля, требующаяся для движения по шоссе без остановок на светофорах, может быть равна 120 км/ч, 40 км/ч, 24 км/ч и т.д. Но, по условию нам нужно найти скорость большую, чем 40 км/ч. Окончательно, выбираем 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 5. Определите минимальное время движения автобуса от одной остановки до другой, если расстояние между остановками L=1200 м. При движении автобуса от остановки он может развивать ускорение a_1=1 м/c^2, а при подходе к остановке тормозить с ускорением a_2=2 м/c^2. По правилам дорожного движения скорость автобуса на этом участке не должна превышать \upsilon=10 м/с. Ответ дать в секундах, округлив до десятых.

Решение.

Если автобус будет только разгоняться и тормозить, то превысит ли его скорость допустимое значение? Построим график зависимости скорости автобуса от времени. Из условия минимальности времени следует, что надо успеть набрать максимальную скорость \upsilon, следовательно, график представляет собой треугольник с основанием t и высотой \upsilon. Так как путь, который проходит автобус, численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени, то L=\frac{\upsilon t}{2}.

Вместе с тем, \upsilon=a_1 t_1 и \upsilon=a_2 t_2, где t_1+t_2=t.

Решая систему из трех полученных уравнений, получаем

    \[t=\sqrt{2L\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right)}=60 c.\]

Ускорение при разгоне меньше ускорения при торможении в два раза. Следовательно, разгон занял 40 с и скорость достигла 20 м/с, что больше допустимой. Это означает, что часть пути автобус двигался с постоянной максимально допустимой скоростью. Все движение можно разбить на три участка: разгон до \upsilon, движение с постоянной скоростью и торможение до остановки.

На первом и третьем участке автобус двигался время t_1=\frac{\upsilon }{a_1} и t_3=\frac{\upsilon }{a_3} и прошел расстояние

    \[L_1+L_2=\frac{\upsilon^2}{2a_1}+\frac{\upsilon^2}{2a_2}=75\]

за t_{13}=15 с.

Оставшееся расстояние автобус шел с максимальной скоростью \upsilon в течение времени

    \[t_2=\frac{L-(L_1+L_3)}{\upsilon }=112,5 c.\]

Общее время движения 127,5 с.

Ответ: 127,5 с.

 

Комментариев - 2

  • Анна
    |

    Здравствуйте меня интересует одна задача из этой темы
    Две Вагонетки С начальной скоростью V идут по рельсам идёт снег. на одном из них спит человек с массой m а на другом такой же челоек с метлой убирает снег с вагонетки кто из них пройдет большее растояние

    Ответить
    • Анна
      |

      Скорость тележки с работающим дворником будет меняться при падении на нее снега следующим образом: при падении порции снега \Delta m скорость изменится в \frac{M}{M+\Delta m} раз. Скорость будет меняться таким образом при падении каждой новой порции массой \Delta m, и если их упадет n штук, скорость изменится в \left(\frac{M}{M+\Delta m}\right)^n раз.
      Скорость тележки, на которой снег накапливается, растет в
      \frac{M}{M+n\Delta m} раз.
      Показательная функция растет быстрее линейной, поэтому скорость тележки с работающим дворником будет быстрее уменьшаться. Дальше проедет тележка со спящим мужичком.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *