Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Движение под углом к горизонту. Олимпиадная подготовка, 9 класс.

[latexpage]

В этой статье задачи на движение под углом к горизонту, ориентированные на подготовку к олимпиадам. Решаем вместе!

Задача 1. В мишень с расстояния $S=50$ м сделано два выстрела в горизонтальном направлении при одинаковой наводке винтовки. Скорость первой пули $\upsilon_1=320$ м/с, второй $\upsilon_2=350$ м/с. Определить расстояние между пробоинами. Дать ответ в см, округлив до целых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/$c^{2}$.

Решение.

Пули пролетают расстояние $S$ за время: $t_1=\frac{S}{\upsilon_1}$ и $t_2=\frac{S}{\upsilon_2}$.

За время полета пули опустятся по вертикали на расстояние:

$$H_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{gS^2}{2\upsilon_1^2}$$

и

$$H_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{gS^2}{2\upsilon_2^2}$$

Скорость первой пули меньше скорости второй пули, а это означает, что первая пуля будет лететь до мишени больше времени и при этом опустится ниже второй пули. Разница между высотами пуль при попадании в мишень и будет искомым расстоянием между пробоинами:

$$\Delta H=H_1-H_2=\frac{gS^2}{2}\left(\frac{1}{\upsilon_1^2}-\frac{1}{\upsilon_2^2}\right)$$

После подстановки значений $\Delta H=0,019$ м $\approx 2$ см.

Ответ: 2 см.

 

Задача 2. Мяч брошен горизонтально со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с. Через какое время нормальное ускорение будет в два раза больше касательного? Ответ выразить в секундах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/$c^{2}$.

Решение.

Тело летит с постоянным ускорением $\vec g$. Пусть в момент времени $t_0$ угол между вектором скорости и горизонтом равен $\alpha$. По условию $\alpha_n=2\alpha_\tau$, откуда

$$g\cdot \cos \alpha=2g\cdot \sin \alpha,$$

$$\Downarrow$$

$$\operatorname{tg{\alpha}}=\frac{1}{2}.$$

С другой стороны,

$$\frac{\upsilon_y}{\upsilon_0}=\frac{gt_0}{\upsilon_0}=\operatorname{tg{\alpha}}=\frac{1}{2},$$

следовательно $2gt_0=\upsilon_0$. Тогда искомое время

$$t_0=\frac{\upsilon_0}{2g}=0,5.$$

Ответ: 0,5 с.

 

Задача 3. Шарик бросают под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту с начальной скоростью $\upsilon_0=14$ м/с. На расстоянии $S=11$ м от точки бросания шарик упруго ударяется о вертикальную стенку. На каком расстоянии $L$ от стенки шарик упадет на землю? Ответ дать в м. Округлить до целых. $g=10$ м/$c^{2}$.

Решение.

Так как при ударе проекция горизонтальной составляющей скорости поменяет знак на противоположный, а вертикальная не изменится, то траекторию после отскока зеркально можно отобразить и рассматривать полет шарика по параболе на расстояние $L$ «за стенку». Для нахождения $L$ достаточно из дальности полета $L_0$ вычесть расстояние до стенки $S$. Горизонтальная дальность $L_0=\frac{\upsilon_0^2 \sin 2 \alpha}{g}$ м, следовательно $L=L_0-S=6$ м.

Ответ: 6 м.

Задача 4. На горизонтальной площадке между двумя гладкими стенками установлена катапульта. Катапульта выстреливает шариками, начальная скорость которых $\upsilon_0=10$ м/с. Какое максимальное число ударов о стены может совершить шарик перед тем, как упадет на площадку? Удары шарика о стенки считать абсолютно упругими. Расстояние между стенками $L_0=1,2$ м. Положение катапульты и угол вылета можно изменять. Ответ должен быть целым числом. Считать, что $g=10$ м/c$ ^{2}$.

К задаче 4

 

Решение.

Так как удар о стенку абсолютно упругий, то угол отражения $\beta$ равен углу падения $\alpha$. Для упрощения расчета мы можем сделать развертку перемещения шарика, тогда траектория будет параболой, а удары — пересечениями изображений стенок с ней. (см. рис.)

К задаче 4 – пояснительная картинка

Максимальное число ударов можно получить, если дальность полета максимальная, то есть бросок выполняется под углом $45^{\circ}$.

Тогда

$$L=L_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{g}.$$

При выполнении этого условия при $L<L_0$ может произойти не более одного столкновения. А при $L_0\leqslant L<2L_0$ не более двух. По аналогии можно показать, что если $(n-1)\cdot L_0\leqslant L<n\cdot L_0$, то может произойти не более n столкновений.

Следовательно, максимальное число столкновений равно целой части отношения $\frac{L}{L_0}$ плюс одно столкновение, то есть

$$N=\left[\frac{\upsilon_0^2}{g\cdot L_0}\right]+1=9.$$

Задача 5. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — вниз под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. Величина начальной скорости обоих тел одинакова и равна $\upsilon_0=25$ м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через $t_0=2$ с. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

В системе отсчета одного из тел другое будет двигаться по прямой с постоянной скоростью. Для определенности перейдём в СО тела, брошенного вверх. Тогда оно становится неподвижным, а второе тело летит под углом вниз со скоростью $U$, которую можно найти из закона сложения скоростей.

$$U=2\upsilon_0\cdot \cos \left(\frac{90-\alpha }{2}\right),$$

тогда за время $t_0$ расстояние между телами станет

$$L=U\cdot t_0=2\upsilon_0\cdot t_0\cdot \cos \left(\frac{90-\alpha }{2}\right)\approx 87.$$

Ответ: 87 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *