Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Движение под углом к горизонту. Олимпиадная подготовка, 9 класс.

В этой статье задачи на движение под углом к горизонту, ориентированные на подготовку к олимпиадам. Решаем вместе!

Задача 1. В мишень с расстояния S=50 м сделано два выстрела в горизонтальном направлении при одинаковой наводке винтовки. Скорость первой пули \upsilon_1=320 м/с, второй \upsilon_2=350 м/с. Определить расстояние между пробоинами. Дать ответ в см, округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

Пули пролетают расстояние S за время: t_1=\frac{S}{\upsilon_1} и t_2=\frac{S}{\upsilon_2}.

За время полета пули опустятся по вертикали на расстояние:

    \[H_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{gS^2}{2\upsilon_1^2}\]

и

    \[H_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{gS^2}{2\upsilon_2^2}\]

Скорость первой пули меньше скорости второй пули, а это означает, что первая пуля будет лететь до мишени больше времени и при этом опустится ниже второй пули. Разница между высотами пуль при попадании в мишень и будет искомым расстоянием между пробоинами:

    \[\Delta H=H_1-H_2=\frac{gS^2}{2}\left(\frac{1}{\upsilon_1^2}-\frac{1}{\upsilon_2^2}\right)\]

После подстановки значений \Delta H=0,019 м \approx 2 см.

Ответ: 2 см.

 

Задача 2. Мяч брошен горизонтально со скоростью \upsilon_0=10 м/с. Через какое время нормальное ускорение будет в два раза больше касательного? Ответ выразить в секундах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

Тело летит с постоянным ускорением \vec g. Пусть в момент времени t_0 угол между вектором скорости и горизонтом равен \alpha. По условию \alpha_n=2\alpha_\tau, откуда

    \[g\cdot \cos \alpha=2g\cdot \sin \alpha,\]

    \[\Downarrow\]

    \[\operatorname{tg{\alpha}}=\frac{1}{2}.\]

С другой стороны,

    \[\frac{\upsilon_y}{\upsilon_0}=\frac{gt_0}{\upsilon_0}=\operatorname{tg{\alpha}}=\frac{1}{2},\]

следовательно 2gt_0=\upsilon_0. Тогда искомое время

    \[t_0=\frac{\upsilon_0}{2g}=0,5.\]

Ответ: 0,5 с.

 

Задача 3. Шарик бросают под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту с начальной скоростью \upsilon_0=14 м/с. На расстоянии S=11 м от точки бросания шарик упруго ударяется о вертикальную стенку. На каком расстоянии L от стенки шарик упадет на землю? Ответ дать в м. Округлить до целых. g=10 м/c^{2}.

Решение.

Так как при ударе проекция горизонтальной составляющей скорости поменяет знак на противоположный, а вертикальная не изменится, то траекторию после отскока зеркально можно отобразить и рассматривать полет шарика по параболе на расстояние L «за стенку». Для нахождения L достаточно из дальности полета L_0 вычесть расстояние до стенки S. Горизонтальная дальность L_0=\frac{\upsilon_0^2 \sin 2 \alpha}{g} м, следовательно L=L_0-S=6 м.

Ответ: 6 м.

Задача 4. На горизонтальной площадке между двумя гладкими стенками установлена катапульта. Катапульта выстреливает шариками, начальная скорость которых \upsilon_0=10 м/с. Какое максимальное число ударов о стены может совершить шарик перед тем, как упадет на площадку? Удары шарика о стенки считать абсолютно упругими. Расстояние между стенками L_0=1,2 м. Положение катапульты и угол вылета можно изменять. Ответ должен быть целым числом. Считать, что g=10 м/c^{2}.

К задаче 4

 

Решение.

Так как удар о стенку абсолютно упругий, то угол отражения \beta равен углу падения \alpha. Для упрощения расчета мы можем сделать развертку перемещения шарика, тогда траектория будет параболой, а удары — пересечениями изображений стенок с ней. (см. рис.)

К задаче 4 – пояснительная картинка

Максимальное число ударов можно получить, если дальность полета максимальная, то есть бросок выполняется под углом 45^{\circ}.

Тогда

    \[L=L_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{g}.\]

При выполнении этого условия при L<L_0 может произойти не более одного столкновения. А при L_0\leqslant L<2L_0 не более двух. По аналогии можно показать, что если (n-1)\cdot L_0\leqslant L<n\cdot L_0, то может произойти не более n столкновений.

Следовательно, максимальное число столкновений равно целой части отношения \frac{L}{L_0} плюс одно столкновение, то есть

    \[N=\left[\frac{\upsilon_0^2}{g\cdot L_0}\right]+1=9.\]

Задача 5. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — вниз под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Величина начальной скорости обоих тел одинакова и равна \upsilon_0=25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t_0=2 с. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

В системе отсчета одного из тел другое будет двигаться по прямой с постоянной скоростью. Для определенности перейдём в СО тела, брошенного вверх. Тогда оно становится неподвижным, а второе тело летит под углом вниз со скоростью U, которую можно найти из закона сложения скоростей.

    \[U=2\upsilon_0\cdot \cos \left(\frac{90-\alpha }{2}\right),\]

тогда за время t_0 расстояние между телами станет

    \[L=U\cdot t_0=2\upsilon_0\cdot t_0\cdot \cos \left(\frac{90-\alpha }{2}\right)\approx 87.\]

Ответ: 87 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *