Движение под углом к горизонту: мячи и мины

В этой статье рассмотрены три задачи. Все они связаны с движением тела под углом к горизонту. Мы научимся отличать закон движения от уравнения траектории, вспомним, что такое средняя скорость по перемещению, а также поймем, как важно правильно ввести систему координат, чтобы максимально облегчить решение и расчеты.

Задача 1. Миномет установлен под углом к горизонту на крыше здания, высота которого м. Начальная скорость мины м/с. Написать закон движения и уравнение траектории. Определить время полета мины, максимальную высоту ее подъема, дальность полета, скорость падения мины на землю. Начало координат поместить на поверхности земли так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости лежал в плоскости .

По оси мина летит с постоянной скоростью , поэтому координата по этой оси будет меняться по закону . Начальная координата по оси равна , и тогда координату по оси от времени можем записать так:

Таким образом, мы записали законы изменения обеих координат, это и есть закон движения.

Теперь напишем уравнение траектории. Для этого надо записать зависимость , то есть избавиться от времени. Время выразим из закона движения по оси :

А теперь подставим в уравнение для координаты :

Теперь определим время полета мины. Это можно сделать из квадратного уравнения , зная, что конечная координата по вертикальной оси – 0, ведь мина упала на землю.

Время полета – 9,5 с.

Тогда дальность полета мины –

Мина улетит на 237,5 м.

Максимальную высоту подъема над местом старта найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости мины :

Тогда над землей мина поднимется на высоту м

Осталось найти скорость мины при падении на землю. Поскольку с данной высоты – 133,75 м  – мина просто падает, можно найти ее конечную скорость так:

Но это – только вертикальная составляющая скорости мины. Полная скорость может быть найдена как

Ответ: закон движения:

Уравнение траектории:

Время полета 9,5 с, дальность 237,5 м,  высота подъема 133,75 м, скорость при падении 67,4 м/с.

Задача 2.  Мячик брошен с высоты м над поверхностью земли с начальной скоростью м/с под углом к горизонту. Найти модуль и направление его средней скорости за все время полета.

Для того, чтобы определить модуль и направление средней скорости, нужно найти перемещение мячика и время полета, и разделить одно на другое.  Воспользуемся формулами предыдущей задачи.

Тогда дальность полета мяча –

Мяч улетит на 41,7 м.

Модуль перемещения найдем по теореме Пифагора:

Модуль средней скорости равен:

Направление средней скорости найдем как

Ответ: м/с, к горизонту.

Задача 3. С вершины горы бросают камень под углом к горизонту. Определить начальную скорость камня, если он упал на расстоянии м от точки бросания. Угол наклона горы к горизонту тоже равен .

Эту задачу очень удобно будет решать, если ввести систему кооординат так, чтобы ось совпадала с линией слона горы, а ось была бы перпендикулярна склону. Тогда по обеим осям движение равноускоренное, и начальную скорость, и ускорение свободного падения надо разложить на проекции.  Это показано на рисунке.

К задаче 3

Тогда для оси запишем:

Здесь – это время полета до наивысшей точки, следовательно, до падения на склон горы камень будет в полете .

Теперь по оси :

Подставим найденное ранее время:

Подставим числа:

Ответ: 10 м/с.