Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Движение под углом к горизонту: мячи и мины

В этой статье рассмотрены три задачи. Все они связаны с движением тела под углом к горизонту. Мы научимся отличать закон движения от уравнения траектории, вспомним, что такое средняя скорость по перемещению, а также поймем, как важно правильно ввести систему координат, чтобы максимально облегчить решение и расчеты.

Задача 1. Миномет установлен под углом 60^{\circ} к горизонту на крыше здания, высота которого h=40 м. Начальная скорость мины \upsilon_0=50 м/с. Написать закон движения и уравнение траектории. Определить время t полета мины, максимальную высоту H ее подъема, дальность l полета, скорость \upsilon падения мины на землю. Начало координат поместить на поверхности земли так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости лежал в плоскости XOY.

По оси x мина летит с постоянной скоростью \upsilon_0 \cos {\alpha}, поэтому координата по этой оси будет меняться по закону x=\upsilon_0 \cos {\alpha}t. Начальная координата по оси y равна h, и тогда координату по оси y от времени можем записать так:

    \[y=h+\upsilon_0 \sin {\alpha}t-\frac{gt^2}{2}\]

Таким образом, мы записали законы изменения обеих координат, это и есть закон движения.

Теперь напишем уравнение траектории. Для этого надо записать зависимость y(x), то есть избавиться от времени. Время выразим из закона движения по оси x:

t=\frac{x}{\upsilon_0 \cos {\alpha}}

А теперь подставим в уравнение для координаты y:

    \[y=h+\upsilon_0 \sin {\alpha}\cdot \frac{x}{\upsilon_0 \cos {\alpha}}-\frac{g}{2} \cdot \frac{x^2}{\upsilon_0^2 \cos^2 {\alpha}}\]

    \[y=h+ x \operatorname{tg} {\alpha}-\frac{gx^2}{2\upsilon_0^2 \cos^2 {\alpha}}\]

Теперь определим время полета мины. Это можно сделать из квадратного уравнения y=h+\upsilon_0 \sin {\alpha}t-\frac{gt^2}{2}, зная, что конечная координата по вертикальной оси – 0, ведь мина упала на землю.

    \[h+\upsilon_0 \sin {\alpha}t-\frac{gt^2}{2}=0\]

    \[D=\upsilon_0^2 \sin^2 {\alpha}+2gh\]

    \[t=\frac{-\upsilon_0 \sin {\alpha}-\sqrt{D}}{-g}=\frac{\upsilon_0 \sin {\alpha}}{g}+\frac{\sqrt{D}}{g}=2,5\sqrt{3}+\frac{1}{10}\sqrt{50^2 \frac{3}{4}+800}=4,33+5,17=9,5\]

Время полета – 9,5 с.

Тогда дальность полета мины –

    \[x=\upsilon_0 \cos {\alpha}t=50 \cdot \frac{1}{2}\cdot 9,5=237,5\]

Мина улетит на 237,5 м.

Максимальную высоту подъема над местом старта найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости мины \upsilon_v:

    \[\upsilon_v^2-\upsilon_0^2\sin^2 {\alpha}=-2gh_1\]

    \[\upsilon_0^2 \sin^2 {\alpha}=2gh_1\]

    \[h_1=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2 {\alpha}}{2g}=\frac{2500\cdot \frac{3}{4}}{20}=93,75\]

Тогда над землей мина поднимется на высоту H=h+h_1=133,75 м

Осталось найти скорость мины при падении на землю. Поскольку с данной высоты – 133,75 м  – мина просто падает, можно найти ее конечную скорость так:

    \[H=\frac{gt_1^2}{2}\]

    \[t_1=\sqrt{\frac{2H}{g}}\]

    \[\upsilon_y=gt_1=\sqrt{2gH}=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 133,75}=51,7\]

Но это – только вертикальная составляющая скорости мины. Полная скорость может быть найдена как

    \[\upsilon_{kon}=\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}=\sqrt{(\upsilon_0 \cos {\alpha})^2+2gH}=\sqrt{(25\sqrt{3})^2+51,7^2}=67,4\]

Ответ: закон движения: x=\upsilon_0 \cos {\alpha}t

y=h+\upsilon_0 \sin {\alpha}t-\frac{gt^2}{2}

Уравнение траектории: y=h+ x \operatorname{tg} {\alpha}-\frac{gx^2}{2\upsilon_0^2 \cos^2 {\alpha}}

Время полета 9,5 с, дальность 237,5 м,  высота подъема 133,75 м, скорость при падении 67,4 м/с.

 

 

Задача 2.  Мячик брошен с высоты h=5 м над поверхностью земли с начальной скоростью \upsilon_0=20 м/с под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Найти модуль и направление его средней скорости за все время полета.

Для того, чтобы определить модуль и направление средней скорости, нужно найти перемещение мячика и время полета, и разделить одно на другое.  Воспользуемся формулами предыдущей задачи.

    \[h+\upsilon_0 \sin {\alpha}t-\frac{gt^2}{2}=0\]

    \[D=\upsilon_0^2 \sin^2 {\alpha}+2gh\]

    \[t=\frac{-\upsilon_0 \sin {\alpha}-\sqrt{D}}{-g}=\frac{\upsilon_0 \sin {\alpha}}{g}+\frac{\sqrt{D}}{g}=1+\frac{1}{10}\sqrt{20^2 \frac{1}{4}+100}=1+1,41=2,41\]

Тогда дальность полета мяча –

    \[x=\upsilon_0 \cos {\alpha}t=20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2,41=41,7\]

Мяч улетит на 41,7 м.

Модуль перемещения найдем по теореме Пифагора:

    \[l^2=h^2+x^2\]

    \[l=\sqrt{ h^2+x^2}=\sqrt{ 25+41,7 ^2}=42\]

Модуль средней скорости равен:

    \[\upsilon=\frac{l}{t}=\frac{42}{2,41}=17,4\]

Направление средней скорости найдем как

    \[\beta=\operatorname{arctg}\frac{h}{x}=\operatorname{arctg}\frac{5}{41,7}=6,8^{\circ}\]

Ответ: \upsilon=17,4 м/с, \beta=6,8^{\circ} к горизонту.

 

Задача 3. С вершины горы бросают камень под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Определить начальную скорость камня, если он упал на расстоянии l=20 м от точки бросания. Угол наклона горы к горизонту тоже равен \alpha=30^{\circ}.

Эту задачу очень удобно будет решать, если ввести систему кооординат так, чтобы ось x совпадала с линией слона горы, а ось y была бы перпендикулярна склону. Тогда по обеим осям движение равноускоренное, и начальную скорость, и ускорение свободного падения надо разложить на проекции.  Это показано на рисунке.

К задаче 3

Тогда для оси y запишем:

    \[\upsilon_0 \cos {\alpha}-g \cos {\alpha} t=0\]

Здесь t – это время полета до наивысшей точки, следовательно, до падения на склон горы камень будет в полете 2t.

    \[t=\frac{\upsilon_0}{g}\]

Теперь по оси x:

    \[\upsilon_0 \sin {\alpha} \cdot 2t+\frac{g \sin {\alpha}}{2} (2t)^2=l\]

Подставим найденное ранее время:

    \[\upsilon_0 \sin {\alpha} \cdot \frac{2\upsilon_0}{g}+\frac{g \sin {\alpha}}{2} \frac{\upsilon_0^2}{g^2}=l\]

    \[\frac{4\upsilon_0^2\sin {\alpha}}{g}=l\]

    \[\upsilon_0=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{gl}{\sin {\alpha}}}\]

Подставим числа:

    \[\upsilon_0=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{200}{\frac{1}{2}}}=10\]

Ответ: 10 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *