Движение по окружности

Задача 1. За промежуток времени $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и модуль средней скорости $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найти геометрическое место всех точек диска, скорость которых 2 м/с. Угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Скорость точек окружности

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с. Линейные скорости показаны для точек $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с.

Определим теперь скорости точек $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

Осталось разобраться с точкой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда в параллелограмме $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а так как

$Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то все углы в треугольнике равны $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и он равносторонний, то есть $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

Пробуксовывание

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если известно, что скорость нижней точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/c, а верхней – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ запишем отношения сходственных сторон:

Тогда

Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

$Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Теперь обратимся к подобным треугольникам $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Для них отношение сходственных сторон равно:

Откуда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ со знаком «минус»:

м/с.

Ответ: 4 м/с.

Проскальзывание

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с, а нижней точки B $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с. Определить скорость концов диаметра $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , перпендикулярного к $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

м/с.

Так как скорость точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и скорости поступательного движения центра колеса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ можно найти как

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Шарик катится по двум линейкам

Задача 5. Шарик радиусом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см, и за время $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с проходит $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ будет

Таким же способом определяем скорость верхней точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

Задача 6. Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м. Закон движения автомобиля имеет вид: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м/с $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найти скорость автомобиля $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , его тангенциальное $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , нормальное $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и полное $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ускорения в момент времени $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с.

Решение.

Путь:

Производная пути – линейная скорость:

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение:

Полное ускорение:

Задача7. Угол поворота диска радиусом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см изменяется со временем по закону $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

Линейная скорость:

Задача 8. Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ рад/ $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найти угол между скоростью и ускорением через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тангенциальное ускорение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . При этом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , или $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Искомый угол:

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Два концентрических колеса

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см вращаются с угловыми скоростями $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ рад/c и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси? Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

Определим линейную скорость точек первого колеса:

Определим линейную скорость точек второго колеса:

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

Ответ: 20 рад/с

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Длина болта $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , резьба составляет угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Скорость вращения гайки по ходу завинчивания на болт

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ). Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .