Движение по окружности

Движение по окружности – задачи

Задача 1. За промежуток времени $\Delta t=10$ с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость $\upsilon$ и модуль средней скорости $\left|\vec{\upsilon_{sred}}\right|$ .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

$\upsilon=\frac{2\pi R}{2t}=\frac{\pi R}{\Delta t }=\frac{3,14}{10}=0,314$

$\left|\vec{\upsilon_{sred}}\right|=\frac{2R}{\Delta t }=\frac{2}{10}=0,2$

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска $A,B, C, D, E$ . Найти геометрическое место всех точек диска, скорость которых 2 м/с. Угол $\alpha=60^{\circ}$ .

Скорость точек окружности

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: $\vec{\upsilon_O}=2$ м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра $\vec{\upsilon}=2$ м/с. Линейные скорости показаны для точек $A, B, C, D$ оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки $A$ скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: $\upsilon_A=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}=0$ . В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: $\upsilon_C=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}=4$ м/с.

Определим теперь скорости точек $B$ и $D$ . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

$\upsilon_B=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}$

$\upsilon_B=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Осталось разобраться с точкой $E$ . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу $OE$ . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол $\angle KEM=120^{\circ}$ . Тогда в параллелограмме $EKNM$ угол $\angle EKN=60^{\circ}$ , а так как

$\upsilon=\upsilon_O$ , то все углы в треугольнике равны $60^{\circ}$ и он равносторонний, то есть $\upsilon_E=2$ м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные $\upsilon_B=2\sqrt{2}$ , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

Пробуксовывание

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса $\upsilon$ , если известно, что скорость нижней точки $\upsilon_1=2$ м/c, а верхней – $\upsilon_2=10$ м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников $ABO$ и $DCO$ запишем отношения сходственных сторон:

$\frac{\upsilon_2}{AO}=\frac{\upsilon_1}{2R-AO}$

Тогда

$\frac{10}{AO}=\frac{2}{2R-AO}$

$2AO=20R-10AO$

$12AO=20R$

$AO=\frac{5}{3}R$

Тогда $OC=2R-AO=2R-\frac{5}{3}R=\frac{1}{3}R$

$OK=R-OC=R-\frac{1}{3}R=\frac{2}{3}R$

Теперь обратимся к подобным треугольникам $DCO$ и $KOL$ . Для них отношение сходственных сторон равно:

$\frac{OK}{OC}=\frac{\upsilon}{\upsilon_1}$

$\frac{\frac{2}{3}R }{\frac{1}{3}R }=\frac{\upsilon}{2}$

$\frac{2}{1}=\frac{\upsilon}{2}$

Откуда $\upsilon=4$ м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость $\upsilon_1$ со знаком «минус»:

$\frac{\vec{\upsilon_2}+\vec{\upsilon_1}}{2}=\frac{10-2}{2}=4$

м/с.

Ответ: 4 м/с.

Проскальзывание

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А $\upsilon_A=6$ м/с, а нижней точки B $\upsilon_В=2$ м/с. Определить скорость концов диаметра $CD$ , перпендикулярного к $AB$ , для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

$\upsilon=\frac{\vec{\upsilon_A}+\vec{\upsilon_B}}{2}=\frac{6+2}{2}=4$

м/с.

Так как скорость точки $A$ есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса $u$ и скорости поступательного движения центра колеса $\upsilon$ , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки $A$ , данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек $C$ и $D$ равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

$\upsilon_C=\upsilon_D=\sqrt{\upsilon^2+u^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=4,47$

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки $C$ можно найти как

$\alpha=\operatorname {arctg}\frac{u}{\upsilon}=\operatorname {arctg}{\frac{2}{4}}=27^{\circ}$

Ответ: $\upsilon_C=\upsilon_D=4,47$ , $\alpha=27^{\circ}$

Шарик катится по двум линейкам

Задача 5. Шарик радиусом $R=5$ см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно $d=6$ см, и за время $t=2$ с проходит $l=120$ см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна $\upsilon=\frac{l}{t}=\frac{1,2}{2}=0,6$ м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка $AO$ . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника $AOB$ . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки $\upsilon_1$ будет

$\frac{\upsilon}{\upsilon_1}=\frac{AO}{R-AO}$

$\upsilon_1=\frac{\upsilon (R-AO)}{AO}=\frac{0,6}{4}=0,15$

Таким же способом определяем скорость верхней точки $\upsilon_2$ :

$\frac{\upsilon}{\upsilon_2}=\frac{AO}{R+AO}$

$\upsilon_2=\frac{\upsilon (R+AO)}{AO}=\frac{0,6\cdot 0,09}{0,04}=1,35$

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

Задача 6. Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны $R=40$ м. Закон движения автомобиля имеет вид: $s=A+Bt+Ct^2$ , где $A=5$ м, $B=12$ м/с, $C=-0,5$ м/с $^2$ . Найти скорость автомобиля $\upsilon$ , его тангенциальное $a_{\tau}$ , нормальное $a_n$ и полное $a$ ускорения в момент времени $t=4$ с.

Решение.

Путь:

$s=5+12t-0,5t^2$

Производная пути – линейная скорость:

$s'=\upsilon=12-0,5 \cdot 2t=12-t=12-4=8$

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

$s''=a_{\tau}=-1$

Нормальное ускорение:

$a_{n}=\frac{\upsilon^2 }{R}=\frac{8^2}{40}=1,6$

Полное ускорение:

$a=\sqrt{ {a_{\tau}}^2+ {a_{n}}^2}=\sqrt{1,6^2+(-1)^2}=\sqrt{3,56}=1,9$

Задача7. Угол поворота диска радиусом $R=10$ см изменяется со временем по закону $\varphi=4+2t-t^3$ . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

$\omega=\varphi'=2-3t^2$

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

$\varepsilon=\varphi''=-6t$

Линейная скорость:

$\upsilon=\omega R=0,2-0,3t^2$

Задача 8. Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением $\varepsilon=1$ рад/ $c^2$ . Найти угол между скоростью и ускорением через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение $a_n=\frac{\omega^2 }{R}$ , тангенциальное ускорение $a_{\tau}=\varepsilon R$ . При этом $\varepsilon=\omega'$ , или $\omega=\varepsilon t$ . Тогда $a_n=\frac{\omega^2 }{R}=\frac{(\varepsilon t )^2}{R}$

Искомый угол:

$\alpha=\operatorname {arctg}{\frac{ a_n }{ a_{\tau}}}=\operatorname {arctg}{\frac{ \frac{\varepsilon^2 t ^2}{R}}{ \varepsilon R }}=\operatorname {arctg}{\varepsilon t^2}=\operatorname {arctg}{1}=45^{\circ}$

Ответ: $45^{\circ}$

Два концентрических колеса

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами $R=50$ см и $r=25$ см вращаются с угловыми скоростями $\omega_1=5$ рад/c и $\omega_2=10$ рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси? Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

$r_3=\frac{R-r}{2}=\frac{0,5-0,25}{2}=0,125$

Определим линейную скорость точек первого колеса:

$\upsilon_1=\omega_1 R=2,5$

Определим линейную скорость точек второго колеса:

$\upsilon_2=\omega_2 r=2,5$

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

$\omega=\frac{\upsilon_2}{ r_3}=\frac{2,5}{0,125}=20$

Ответ: 20 рад/с

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время $\tau$ . Длина болта $l$ , резьба составляет угол $\alpha$ с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен $R$ .

Скорость вращения гайки по ходу завинчивания на болт

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее $\upsilon_l$ ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость ( $\upsilon$ ). Тогда $\omega=\frac{\upsilon }{R}$ .