Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение по окружности

Движение по окружности – задачи


Задача 1. За промежуток времени \Delta t=10 с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость \upsilon и модуль средней скорости \left|\vec{\upsilon_{sred}}\right|.

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

    \[\upsilon=\frac{2\pi R}{2t}=\frac{\pi R}{\Delta t }=\frac{3,14}{10}=0,314\]

    \[\left|\vec{\upsilon_{sred}}\right|=\frac{2R}{\Delta t }=\frac{2}{10}=0,2\]

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

 

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска A,B, C, D, E. Найти геометрическое место всех точек диска,  скорость которых 2 м/с. Угол \alpha=60^{\circ}.

Скорость точек окружности

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: \vec{\upsilon_O}=2 м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра\vec{\upsilon}=2 м/с.  Линейные скорости показаны для  точек A, B, C, D оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки A скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: \upsilon_A=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}=0.  В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: \upsilon_C=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}=4 м/с.

Определим теперь скорости точек B и D. Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

    \[\upsilon_B=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}\]

    \[\upsilon_B=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

Осталось разобраться с точкой E. Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу OE. Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол \angle KEM=120^{\circ}. Тогда в параллелограмме EKNM угол \angle EKN=60^{\circ}, а так как

\upsilon=\upsilon_O, то все углы в треугольнике равны 60^{\circ} и он равносторонний, то есть \upsilon_E=2 м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные \upsilon_B=2\sqrt{2}, точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

 

Пробуксовывание

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса \upsilon, если известно, что скорость нижней точки \upsilon_1=2 м/c, а верхней – \upsilon_2=10 м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников ABO и DCO запишем отношения сходственных сторон:

    \[\frac{\upsilon_2}{AO}=\frac{\upsilon_1}{2R-AO}\]

Тогда

    \[\frac{10}{AO}=\frac{2}{2R-AO}\]

    \[2AO=20R-10AO\]

    \[12AO=20R\]

    \[AO=\frac{5}{3}R\]

Тогда OC=2R-AO=2R-\frac{5}{3}R=\frac{1}{3}R

OK=R-OC=R-\frac{1}{3}R=\frac{2}{3}R

Теперь обратимся к подобным треугольникам DCO и KOL. Для них отношение сходственных сторон равно:

    \[\frac{OK}{OC}=\frac{\upsilon}{\upsilon_1}\]

    \[\frac{\frac{2}{3}R }{\frac{1}{3}R }=\frac{\upsilon}{2}\]

    \[\frac{2}{1}=\frac{\upsilon}{2}\]

Откуда \upsilon=4 м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей \upsilon_1 и \upsilon_2, при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость \upsilon_1 со знаком «минус»:

    \[\frac{\vec{\upsilon_2}+\vec{\upsilon_1}}{2}=\frac{10-2}{2}=4\]

м/с.

Ответ: 4 м/с.

 

Проскальзывание

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А \upsilon_A=6 м/с, а нижней точки  B \upsilon_В=2 м/с. Определить скорость концов диаметра CD, перпендикулярного к AB, для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

    \[\upsilon=\frac{\vec{\upsilon_A}+\vec{\upsilon_B}}{2}=\frac{6+2}{2}=4\]

м/с.

Так как скорость точки A есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса u и скорости поступательного движения центра колеса \upsilon, то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки A, данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек C и D равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

    \[\upsilon_C=\upsilon_D=\sqrt{\upsilon^2+u^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=4,47\]

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки C можно найти как

    \[\alpha=\operatorname {arctg}\frac{u}{\upsilon}=\operatorname {arctg}{\frac{2}{4}}=27^{\circ}\]

Ответ: \upsilon_C=\upsilon_D=4,47, \alpha=27^{\circ}

 

Шарик катится по двум линейкам

Задача 5. Шарик радиусом R=5 см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно d=6 см, и за время t=2 с проходит l=120 см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна \upsilon=\frac{l}{t}=\frac{1,2}{2}=0,6 м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка AO. Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника AOB. Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки \upsilon_1  будет

    \[\frac{\upsilon}{\upsilon_1}=\frac{AO}{R-AO}\]

    \[\upsilon_1=\frac{\upsilon (R-AO)}{AO}=\frac{0,6}{4}=0,15\]

Таким же способом определяем скорость верхней точки \upsilon_2:

    \[\frac{\upsilon}{\upsilon_2}=\frac{AO}{R+AO}\]

    \[\upsilon_2=\frac{\upsilon (R+AO)}{AO}=\frac{0,6\cdot 0,09}{0,04}=1,35\]

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

 

Задача 6.  Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны R=40 м. Закон движения автомобиля имеет вид: s=A+Bt+Ct^2, где A=5 м, B=12 м/с, C=-0,5м/с^2. Найти скорость автомобиля \upsilon, его тангенциальное  a_{\tau}, нормальное a_n и полное a ускорения в момент времени t=4 с.

Решение.

Путь:

    \[s=5+12t-0,5t^2\]

Производная пути – линейная скорость:

    \[s'=\upsilon=12-0,5 \cdot 2t=12-t=12-4=8\]

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

    \[s''=a_{\tau}=-1\]

Нормальное ускорение:

    \[a_{n}=\frac{\upsilon^2 }{R}=\frac{8^2}{40}=1,6\]

Полное ускорение:

    \[a=\sqrt{ {a_{\tau}}^2+ {a_{n}}^2}=\sqrt{1,6^2+(-1)^2}=\sqrt{3,56}=1,9\]

 

Задача7. Угол поворота диска радиусом R=10 см  изменяется со временем по закону \varphi=4+2t-t^3. Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

    \[\omega=\varphi'=2-3t^2\]

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

    \[\varepsilon=\varphi''=-6t\]

Линейная скорость:

    \[\upsilon=\omega R=0,2-0,3t^2\]

 

Задача 8.  Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением \varepsilon=1 рад/c^2. Найти угол между скоростью и ускорением  через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение  a_n=\frac{\omega^2 }{R}, тангенциальное ускорение a_{\tau}=\varepsilon R. При этом \varepsilon=\omega', или \omega=\varepsilon t. Тогда a_n=\frac{\omega^2 }{R}=\frac{(\varepsilon t )^2}{R}

Искомый угол:

    \[\alpha=\operatorname {arctg}{\frac{ a_n }{ a_{\tau}}}=\operatorname {arctg}{\frac{ \frac{\varepsilon^2 t ^2}{R}}{ \varepsilon R }}=\operatorname {arctg}{\varepsilon t^2}=\operatorname {arctg}{1}=45^{\circ}\]

Ответ: 45^{\circ}

Два концентрических колеса

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами R=50 см и r=25 см вращаются с угловыми скоростями \omega_1=5 рад/c и \omega_2=10 рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси?  Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

    \[r_3=\frac{R-r}{2}=\frac{0,5-0,25}{2}=0,125\]

Определим линейную скорость точек первого колеса:

    \[\upsilon_1=\omega_1 R=2,5\]

Определим линейную скорость точек второго колеса:

    \[\upsilon_2=\omega_2 r=2,5\]

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

    \[\omega=\frac{\upsilon_2}{ r_3}=\frac{2,5}{0,125}=20\]

Ответ: 20 рад/с

 

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время \tau. Длина болта l, резьба составляет угол \alpha с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен R.

Скорость вращения гайки по ходу завинчивания на болт

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее \upsilon_l) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость (\upsilon). Тогда \omega=\frac{\upsilon }{R}.

Из рисунка видно, что

    \[\upsilon=u \cos{\alpha}\]

    \[\upsilon_l=u \sin{\alpha}\]

С другой стороны, так как длина болта l, а гайка спускается по нему за время \tau, то

    \[\upsilon_l=\frac{l}{\tau}\]

Тогда

    \[u \sin{\alpha}=\frac{l}{\tau}\]

И можно определить u:

    \[u=\frac{l}{\tau \sin{\alpha}}\]

Тогда

    \[\omega=\frac{\upsilon }{R}=\frac{u \cos{\alpha}}{R}= \frac{l \cos{\alpha}}{R\tau \sin{\alpha}}\]

Ответ: \omega= \frac{l \cos{\alpha}}{R\tau \sin{\alpha}}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *