Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение по окружности

Движение по окружности: задачи заочной школы МФТИ

Задачи в статье представлены довольно сложные и интересные. Я постаралась объяснять решение доступно и снабдить достаточным количеством картинок.

 Задача 1. По результатам геофизических исследований установлено, что за последние лет продолжительность суток на Земле увеличилась на с (замедление осевого вращения Земли обусловлено, в первую очередь, действием приливов). Вычислите по этим данным угловое ускорение Земли. Считая вращение Земли равнозамедленным, определите, через сколько миллионов лет продолжительность суток на Земле увеличится на 1 минуту?

Положим, у Земли была угловая скорость

   

А через 40 лет стала

   

Тогда ее изменение

   

Изменение скорости произошло за 40 лет, поэтому ускорение

   

Теперь ответим на второй вопрос задачи. Теперь c, но ускорение осталось прежним, следовательно,

   

   

   

   

Ответ: 2,4 млн. лет.

Ответ:

 

Задача 2. Под каким углом к горизонту брошен камень, если за время полёта от старта до наивысшей точки траектории радиус кривизны уменьшается в 27 раз?

Нормальное ускорение камня на старте равно

   

А в наивысшей точке полета

   

По условию, .

Если для наивысшей точки принять , то на старте , следовательно,

   

   

   

   

Ответ: 70 градусов к горизонту.

 

Задача 3. Прибор состоит из гладкого изогнутого под прямым углом стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки А массы , соединённой с пружинкой жёсткости (рис.). Второй конец пружинки закреплён в точке В. Вся система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Найдите относительное удлинение пружинки .

К задаче 3

Сила упругости будет действовать вдоль пружинки, а центростремительная сила – по радиусу. В данном случае радиус – это гипотенуза треугольника, катетами которого являются части стержня. То есть сила упругости – это проекция центростремительной силы на короткий конец стержня.

Тогда запишем это:

   

   

   

   

Подставим все в (1):

   

   

   

Ответ: .

 

Задача 4. В августе 2007 г. в Жуковском на авиасалоне МАКС–2007 впервые в мире пять тяжёлых истребителей Су–27 из пилотажной группы «Русские витязи» и четыре фронтовых истребителя МиГ–29 из пилотажной группы «Стрижи», пролетая мимо зрителей со скоростью м/с в плотном строю «ромб» (рис. 21), приблизительно за с выполнили «бочку» (вращение строем на вокруг горизонтальной оси; см. видео в интернете). Крайние истребители Су–27 удалены от истребителя в центре строя на м. На какую величину скорость крайних истребителей Су–27 должна превышать скорость истребителя в центре строя во время выполнения фигуры? Во сколько раз наибольшая сила давления на сиденье лётчика крайнего истребителя больше силы тяжести лётчика во время выполнения фигуры?

Если вращение выполняется за 18 с, то можно записать, что крыло самолета описывает круг за это время:

   

Это мы нашли линейную скорость крыла. Но у крыла есть еще поступательная скорость. Так как обе эти скорости (их вектора) перпендикулярны друг другу, то можно найти итоговую скорость крыла:

   

То есть скорости отличаются немного: всего на 0,55 м/с. Ответим на второй вопрос задачи, наибольшая сиа давления:

   

Отношение силы давления в верхней части траектории к силе тяжести будет

   

Ответ: м/с, .

 

Задача 5. По сообщениям СМИ из всего добытого на Земле золота можно было бы «сделать» шар радиусом м. Вычислите скорость приповерхностного спутника такой «планеты». Плотность золота кг/м.

Масса такого шара равна

   

По второму закону Ньютона:

   

   

   

Откуда

   

   

Ответ: м/с.

 

Задача 6. Мотоциклист едет по треку, плоскость которого наклонена к горизонту под углом . Траектория мотоциклиста – окружность радиуса м, лежащая в горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения шин по трековой дорожке . Вычислите максимально допустимую скорость движения мотоциклиста.

К задаче 6

Второй закон Ньютона для мотоциклиста:

   

Если записать уравнение равновесия сил в проекциях на ось, перпендикулярную треку:

   

Сила трения, как известно, равна .

В проекциях  на плоскость трека:

   

Приравняем силы трения:

   

Сокращаем массу:

   

   

   

   

Ответ: 36,9 м/с

 

Задача 7. Груз на нити висит в Москве. При какой продолжительности суток нить расположилась бы параллельно оси вращения Земли?

К задаче 7

Груз отклоняется от вертикали на некоторый угол . Тогда

   

   

Разделим эти выражения друг на друга:

   

Пусть – сутки (период обращения земли), а – радиус, по которому обращается вокруг оси тело, находясь на широте Москвы, тогда

   

   

Подставим скорость в полученное выше выражение:

   

Откуда

   

Предположительно угол небольшой, синус можно заменить самим углом в радианной мере, и тангенс аналогично. Поэтому окончательное выражение упростилось. Время получено в с, в часах это примерно 1,4 часа.

Ответ: 1,4 часа.

 

Задача 8. Цилиндрический сосуд радиуса , заполненный жидкостью плотностью , вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии цилиндра. В сосуде находится шарик радиуса и плотности . С какой по величине силой шарик давит на вертикальную боковую стенку сосуда?

К задаче 8

Вес шарика в жидкости равен

   

Сила Архимеда появляется вследствие разности давлений воды на разных глубинах. Давление воды обусловлено ее весом. Вес воды определяется наличием ускорения свободного падения. Теперь повернем все горизонтально. Роль ускорения свободного падения возьмет на себя центростремительное. Оно создаст “горизонтальный” вес воды. Из-за разности “глубин” () появится горизонтально направленная сила Архимеда.

Нормальное ускорение шарика равно

   

Реакция опоры

   

Ответ:

 

Задача 9. Шайбе, покоящейся в нижней точке сферической ямы радиуса м, ударом сообщают горизонтальную скорость м/с. С какой по величине   силой, шайба действует на дно сразу после завершения удара, если коэффициент трения скольжения шайбы по поверхности ямы ? Масса шайбы кг.

Уравнение по второму закону Ньютона:

   

Распишем в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:

   

   

   

Сила давления шайбы на сферу будет равна силе давления сферы на шайбу, а эта сила – результат векторного  сложения сил и ,

   

Ответ: 3,16 Н

 

Задача 10. По гладкой проволочной винтовой линии радиуса с шагом ,  ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка. Найдите величину и направление ускорения бусинки в конце -ного витка.

Уравнение по второму закону Ньютона:

   

Посмотрим на спираль сверху: мы увидим окружность, и движущуюся по ней все быстрее бусинку. Тангенциальное ускорение направлено так же, как линейная скорость (если смотреть сверху). Но если смотреть сбоку на нашу спираль, то становится понятно, что линейная скорость направлена чуть вниз (бусинка-то соскальзывает). Следовательно, и тангенциальное ускорение тоже направлено так же.

К задаче 10

Для тангенциального  ускорения теперь можно записать:

   

Давайте определим синус этого угла. Для этого «развернем» спираль (один виток). За время одного оборота тело проходит по спирали путь, равный длине окружности, . И за это же время  оно успевает спуститься вниз на один шаг спирали – . Поэтому в пространстве тело преодолевает расстояние

   

Следовательно,

   

Запишем тангенциальное ускорение:

   

Теперь определимся с нормальным ускорением: бусинка будет набирать скорость и оно будет меняться. Какой же будет скорость тела на ном витке? По закону сохранения энергии

   

   

Если опять посмотреть на спираль сверху, то мы увидим направленное внутрь ее нормальное ускорение, но если посмотреть сбоку, то станет понятно, что вектор нормального ускорения, так же как и тангенциального, имеет наклон вниз вследствие сползания бусинки. Поэтому

   

С косинусом теперь проще, после разбора синуса:

   

Тогда нормальное ускорение равно

   

Полное ускорение бусинки

   

   

Ответ:

Задача 11. Брусок, к вертикальной стойке которого на лёгкой нити прикреплён шарик массы , покоится на гладкой горизонтальной поверхности (рис.). Нить с шариком отклонили до горизонтального положения и отпустили. После этого шарик движется в вертикальной плоскости по окружности с нулевой начальной скоростью. Найдите наибольшую величину силы, с которой брусок действует на вертикальную стенку.

Наибольшей сила давления будет в тот момент, когда ускорение шарика (полное) будет направлено горизонтально.

В проекциях на вертикальную ось:

   

В проекциях на радиальное направление:

   

Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот ,  перешла в кинетическую):

   

Откуда

   

Тогда, подставив  (4) в (3), получим

   

   

   

Теперь подставим сюда и получаем

   

   

   

Определим теперь нормальное ускорение в этот момент:

   

А тангенциальное

   

   

   

Полное ускорение шарика:

   

Следовательно, сила, с которой брусок будет давить на боковую стенку, равна силе, с которой шарик действует на брусок

   

Ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *