Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение по окружности, Олимпиадная физика

Движение по окружности, олимпиадная подготовка. 9 класс.

В этой статье представлены задачи на движение по кругу. Задачи предназначены для подготовки к олимпиадам по физике для ребят 9 класса.

 

Задача 1. Направление вращения Земли вокруг своей оси совпадает с направлением ее вращения вокруг Солнца. Каким было бы число дней в году N_2, если бы Земля вращалась вокруг Солнца в противоположном направлении? Ответ дать в сутках, округлив до целых. Считать, что сейчас год длится ровно N_1=365 дней.

Решение.

Пусть центр Земли вращается с периодом T вокруг Солнца (T=1 год). Рассмотрим точку A на экваторе Земли, которая в свою очередь вращается вокруг земной оси с угловой скоростью \omega. Назовем земными сутками интервал времени между двумя последовательными положениями Солнца, например, в зените.

Если направления вращения не совпадают, то за сутки точке A надо совершить поворот на угол, меньший, чем 2\pi. Угол, на который сместилась Земля относительно Солнца, будет равен \frac{2\pi}{N_2}. В этом случае длительность суток будет

    \[\frac{T}{N_2}=\frac{2\pi-\frac{2\pi}{N_2}}{\omega}.\]

Аналогично в случае вращения в ту же сторону точке A надо будет совершать за сутки (другой длительности, более длинные) полный оборот на 2\pi и небольшой дополнительный поворот на угол, на который сместилась Земля относительно Солнца В этом случае длительность суток будет \frac{2\pi}{N_1}.

    \[\frac{T}{N_1}=\frac{2\pi+\frac{2\pi}{N_1}}{\omega}.\]

Если разделить одно уравнение на другое, получим

    \[\frac{N_2}{N_1}=\frac{2\pi+\frac{2\pi}{N_1}}{2\pi-\frac{2\pi}{N_2}}\]

    \[2\pi N_2-2\pi=2\pi N_1+2\pi\]

N_2-N_1=2, то есть число дней в «длинном» году станет 367.

Ответ: 367 суток.

 

Задача 2. Скорость точки A вращающегося диска равна \upsilon_1=50 см/с, а скорость точки B, находящейся на L=10 см ближе к оси диска, равна \upsilon _2=40 см/с. Определите период вращения диска. Ответ дать в секундах. Округлить до сотых.

Решение.

Обозначим расстояние от оси до точки B за x. Тогда можно записать линейные скорости точек через угловую скорость и радиусы:

    \[\upsilon _1=\omega(L+x)\]

и

    \[\upsilon _2=\omega x\]

Вычитая, получим \omega L=\upsilon _1-\upsilon _2. Подставив период T=\frac{2\pi}{\omega}, получаем

    \[T=\frac{2\pi L}{ \upsilon _1-\upsilon _2}=6,28 c.\]

Ответ: 6,28 с.

Задача 3. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной l=0,5 м, в вертикальной плоскости с частотой \nu=3 Гц. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вертикально вверх? Ответ дать в метрах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

Скорость камня в момент отрыва найдем по формуле

    \[V_0=\frac{2\pi \cdot l}{T}=2\pi \cdot l\cdot \nu\]

Высоту подъема тела определим из выражения

    \[H=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{-2g}\]

Учитывая, что в верхней точке подъема камня \upsilon =0 получаем

    \[H=\frac{\upsilon_0^2}{2g}=\frac{2\pi^2\cdot \nu^2\cdot l^2}{g}\approx 4,4.\]

Ответ: 4,4 м.

 

Задача 4. Вентилятор вращается с частотой \upsilon_0=900 об/мин. После выключения вращение происходит равнозамедленно, причём вентилятор делает до остановки N=75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки? Ответ дать в секундах, округлив до целых.

Решение.

Найдем среднюю частоту вращения. С одной стороны,

    \[\upsilon_{cp}=\frac{N}{t}.\]

Но с другой (\upsilon_1 – начальная скорость, \upsilon_2 – конечная скорость)

    \[\upsilon_{cp}=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}=\frac{\upsilon_0}{2},\]

так как движение равнозамедленное, а частота линейно связана с угловой скоростью. Приравнивая уравнения и выражая t, получим, что

    \[t=\frac{2N}{\upsilon_0}=10\]

Ответ: 10 с.

Задача 5. Три самолета выполняют разворот в горизонтальной плоскости» двигаясь равномерно по концентрическим окружностям на расстоянии s=60 м друг от друга. Ближайший к центру виража самолет движется по окружности R=600 м. Средний самолет движется со скоростью \upsilon=343 км/ч. Найти ускорение самолета, летящего по внешней траектории. Ответ дать в м/c^2, округлив до целых.

Решение.

Угловая скорость среднего самолета равна

    \[\omega=\frac{\upsilon^2}{R+s}.\]

Но угловая скорость всех самолетов одинакова, так как они движутся по концентрическим окружностям на одинаковых расстояниях друг от друга. Ускорение внешнего самолета можно найти через угловую скорость и радиус его траектории

    \[a=\omega^2(R+2s)=\frac{\upsilon^2(R+2s)}{(R+2s)^2}=15.\]

Ответ: 15 м/c^2.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *