Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение по окружности, Олимпиадная физика

Движение по кругу. Готовимся к олимпиадам, 10 класс

В предлагаемых задачах тела движутся одновременно: одно прямолинейно, другое – по кругу. Все задачи – комбинированные.

Задача 1. Маленький шарик влетает со скоростью \upsilon=30 см/с в малое отверстие в стенке полого цилиндра, вращающегося вокруг своей оси. Радиус R=15,7 см цилиндра много больше толщины его стенок. Скорость шарика перпендикулярна оси цилиндра. Какой должна быть минимальная угловая скорость вращения цилиндра \omega для того, чтобы шарик вылетел наружу, не испытав соударений? Ответ выразите в рад/с, округлив до целых. Силу тяжести не учитывайте.

К задаче 1

Решение.

Чтобы шарик мог  вылететь из цилиндра, нyжно, чтобы к моменту, когда он пролетит расстояние 2R, отверстие цилиндра оказалось бы в той же точке, что и шарик. Таким образом, угол, на который должен повернуться цилиндр, равен \varphi=\pi+2\pi\cdot n, где n — произвольное натуральное число.

Время, за которое шарик пройдёт расстояние 2R, равно t=\frac{2R}{\upsilon}. Поэтому угловая скорость вращения цилиндра должна быть равна

    \[\omega=\frac{\varphi}{t}=\frac{\pi+2\pi\cdot n}{\frac{2R}{\upsilon}}=\frac{(2n+1)\cdot\pi\cdot\upsilon}{2R}.\]

Таким образом, минимальная угловая скорость вращения цилиндра, при которой шарик может беспрепятственно из него вылететь, равна

    \[\omega_{min}=\frac{\pi\cdot\upsilon}{2R}=3.\]

Ответ: 3 рад/с.

 

Задача 2. Кузьма бежал по кругу с постоянной скоростью. В точке A он встретил Матвея, который бежал с постоянным ускорением по диаметру AB. Скорость Матвея в момент встречи была равна скорости Кузьмы. Кузьма, не изменяя скорости, пробежал полкруга и встретился с Матвеем в точке B, куда тот как раз успел добежать. Определите отношение модуля ускорения Кузьмы к модулю ускорения Матвея. Ответ округлить до десятых.

К задаче 2

Решение.

Пусть скорость Кузьмы (синяя стрелка) \upsilon, ускорение Матвея a, радиус окружности R, время между встречами t. Кузьма преодолел расстояние

    \[\upsilon\cdot t=\pi\cdot R,\]

а Матвей

    \[\upsilon\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}=2R.\]

Исключая время, получим

    \[\pi\cdot R+\frac{a\cdot\pi^2\cdot R^2}{2\upsilon^2}=2R,\]

откуда ускорение Матвея равно

    \[a=\frac{2(2-\pi)\cdot\upsilon^2}{\pi^2\cdot R}<0,\]

то есть Матвей двигался равнозамедленно.

При этом ускорение Кузьмы (нормальное) равно \frac{\upsilon^2}{R}. Тогда искомое отношение есть

    \[\frac{\pi^2}{2(2-\pi)}\approx4,3.\]

Ответ: 4,3.

Задача 3. Школьник Василий посмотрел на электронной карте координаты своего дома и выяснил, что они равны 45^\circ с.ш. и 37^\circ в.д. После этого он задался вопросом: с какой скоростью движется его дом относительно земной оси? Ответ выразить в м/с. округлив до целых. Считать, что радиус Земли равен R=6400 км, а один оборот вокруг своей оси она совершает за T=24 ч. \pi\approx3,14.

Решение.

Дом Василия движется по окружности радиуса r=R\cdot\cos\alpha, где \alpha=45^\circ — широта местности.

К задаче 3

Угловая скорость вращения Земли

    \[\omega=\frac{2\pi}{T}.\]

Скорость дома относительно земной оси равна

    \[\upsilon=\omega\cdot r=\frac{2\pi}{T}R\cdot\cos\alpha=329.\]

Ответ: 329 м/с.

 

Задача 4. Стартуя из точки A, спортсмен движется равноускоренно до точки B, после которой модуль скорости спортсмена остается постоянным вплоть до точки C.

К задаче 4

Во сколько раз время, затраченное спортсменом на участок BC больше, чем на участок AB, если модуль ускорения на обоих участках одинаков? Траектория BC — полуокружность. Ответ округлить до целых.

Решение.

Начальная скорость \upsilon_0 спортсмена равна 0, поэтому в точке B спортсмен будет иметь скорость \upsilon=a\cdot t_1, которая будет постоянна по величине вплоть до точки C. В этом соотношении a — его ускорение, t_1 — время движения из точки A в точку B.

Поскольку участок BC представляет собой полуокружность, то на ее преодоление спортсмен затратит время t_2=\frac{1}{2}T, где T — период обращения.

При движении по окружности \upsilon=\omega\cdot R, где \omega=\frac{2\pi}{T} — угловая скорость. Выходит, что T=\frac{2\pi R}{\upsilon}, следовательно, t_2=\frac{\pi R}{\upsilon}.\\

При движении по окружности с постоянной скоростью ускорение a становится центростремительным, то есть a=\frac{\upsilon^2}{R}, откуда \frac{R}{\upsilon}=\frac{\upsilon}{a}, следовательно, t_2=\frac{\pi\upsilon}{a}.

Итак, t_1=\frac{\upsilon}{a} и t_2=\frac{\pi\upsilon}{a}, откуда \frac{t_2}{t_1}=\pi\approx 3.

Ответ: 3.

Задача 5. Тело брошено со скоростью \upsilon=10 м/с под углом \alpha=45^\circ к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли. Ответы выразить в метрах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным 9,8 м/с^{2}.

Решение.

Радиус кривизны траектории есть отношение квадрата скорости тела к нормальному ускорению тела.

Найдём нормальные ускорения в начальный момент и в наивысшей точке. Они равны a_1=g\cdot\cos\alpha,\; a_2=g.

Скорости тела в интересующие нас моменты \upsilon_1=\upsilon (так как горизонтальная составляющая не меняется) и \upsilon_2=\upsilon\cdot\cos\alpha.

Таким образом радиусы кривизны составят

    \[R_1=\frac{\upsilon^2}{g\cdot\cos\alpha}=14,4.\]

и

    \[R_2=\frac{\upsilon^2\cdot\cos^2\alpha}{g}=5,1.\]

Ответ: 14,4 м и 5,1 м.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *