Движение частиц в магнитном поле

[latexpage]

Сила Лоренца направлена по правилу левой руки: если пальцы указывают направление вектора скорости частицы, а линии магнитной индукции “втыкаются” в ладонь, то большой палец укажет направление действия силы (для положительно заряженных частиц). То есть в любой момент времени сила направлена перпендикулярно скорости, а это значит, что двигаться частица будет по окружности.

Задача 1. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией  $B = 0,1$ Тл перпендикулярно линиям поля. Определить силу, действующую на электрон со стороны поля, если радиус кривизны траектории $R = 0,5$ см.

Сила Лоренца направлена все время перпендикулярно скорости, и поэтому траектория частицы закручивается. По второму закону Ньютона

$$F=ma$$

$$F= q \upsilon B \sin\alpha$$

$$\sin\alpha=1$$

$$a=\frac{\upsilon^2}{R}$$
$$q B=\frac{m\upsilon}{R}$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{qBR}{m}$$

А сила тогда

$$F=\frac{q^2B^2R}{m}=\frac{1,6^2\cdot10^{-38}\cdot10^{-2}\cdot0,005}{9,1\cdot10^{-31}}=0,14\cdot10^{-11}$$

Ответ: 1,4 пН
Задача 2. Определить  частоту обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле, индукция которого $B = 0,2$ Тл.
По второму закону Ньютона

$$F=ma$$

$$F= q \upsilon B \sin\alpha$$

$$\sin\alpha=1$$

$$a=\frac{\upsilon^2}{R}$$
$$q B=\frac{m\upsilon}{R}$$

Откуда

$$ \frac{\upsilon}{R}=\frac{ q B }{m}$$

Частота обращения

$$\nu=\frac{1}{T}=\frac{\upsilon}{2\pi R}=\frac{ q B }{2 \pi m}=\frac{1,6\cdot10^{-19}\cdot0,2}{2 \pi 9,1\cdot10^{-31}}=5,6\cdot10^9$$

Ответ: $\nu=5,6\cdot10^9$ Гц, или 5,6 ГГц.
Задача 3.  Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона $\upsilon= 4\cdot 10^7$ м/с, индукция магнитного поля $B = 1$ мТл. Определить нормальное, тангенциальное ускорение электрона и радиус кривизны его траектории.

$$q B=\frac{m\upsilon}{R}$$

Откуда

$$R=\frac{ m\upsilon }{qB}=\frac{ 9,1\cdot10^{-31}\cdot4\cdot 10^7}{1,6\cdot10^{-19}\cdot10^{-3}}=2,275\cdot10^{-3}$$

Тогда нормальное ускорение равно:

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\frac{q B \upsilon}{m}=7\cdot10^{17}$$

$$a_{\tau}=0$$

Ответ: $R=2,275$ мм, $a_n=7\cdot10^{17}$ м/с$^2$, $a_{\tau}=0$.

Задача 4. Частица массой $m$ влетает перпендикулярно силовым линиям в однородное магнитное поле с индукцией В. Заряд частицы $q$. Доказать, что период обращения частицы не зависит от ее скорости.

По второму закону Ньютона

$$F=ma$$

$$F= q \upsilon B \sin\alpha$$

$$\sin\alpha=1$$

$$a=\frac{\upsilon^2}{R}$$
$$q B=\frac{m\upsilon}{R}$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{ q B R}{m}$$

Период обращения – время одного оборота. Пусть частица движется по окружности радиуса $R$, тогда длина этой окружности $2 \pi R$.  Период будет равен $T=\frac{2 \pi R}{\upsilon}$, а скорость частицы мы нашли, поэтому

$$T=\frac{2\pi R m}{ q B R }=\frac{ 2 \pi m }{ q B }$$

Ответ: $T=\frac{ 2 \pi m }{ q B }$ – не зависит от скорости.

Задача 5. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,015$ Тл по окружности радиусом $R = 10$ см. Определить импульс электрона.

По второму закону Ньютона

$$F=ma$$

$$F= q \upsilon B \sin\alpha$$

$$\sin\alpha=1$$

$$a=\frac{\upsilon^2}{R}$$
$$q B=\frac{m\upsilon}{R}$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{ q B R}{m}$$

Импульс электрона будет равен

$$p=m\upsilon= q B R=0,015\cdot0,1\cdot 1,6\cdot10^{-19}=2,4\cdot 10^{-22}$$

Ответ: $p=2,4\cdot 10^{-22}$ кг$\cdot$м/с.

Задача 6. Электрон движется в магнитном поле с индукцией $B = 0,02$ Тл по окружности радиусом $R= 1$ см. Определить кинетическую энергию электрона (в джоулях и электрон-вольтах).

По второму закону Ньютона

$$F=ma$$

$$F= q \upsilon B \sin\alpha$$

$$\sin\alpha=1$$

$$a=\frac{\upsilon^2}{R}$$
$$q B=\frac{m\upsilon}{R}$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{ q B R}{m}$$

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{ q^2 B^2 R^2}{2m}=\frac{1,6^2\cdot10^{-38}\cdot0,02^2\cdot0,01}{18,2\cdot10^{-31}}=5,6\cdot10^{-16}$$

Или в электронвольтах  $E_k=3,5\cdot10^3$ эВ.

Ответ: $E_k=5,6\cdot10^{-16}$ или 3500 эВ.
Задача 7. Заряженная частица с кинетической энергией Ек = 1 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом $R = 1$ мм. Найти силу, действующую на частицу со стороны поля. 13.68.

По второму закону Ньютона

$$F=ma=\frac{m\upsilon^2}{R}=\frac{2E_k}{R}=\frac{2000\cdot1,6\cdot10^{-19}}{10^{-3}}=3,2\cdot10^{-13}$$

Ответ: $F=3,2\cdot10^{-13}$ Н.