Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила Лоренца

Движение частиц в магнитном поле

Сила Лоренца направлена по правилу левой руки: если пальцы указывают направление вектора скорости частицы, а линии магнитной индукции “втыкаются” в ладонь, то большой палец укажет направление действия силы (для положительно заряженных частиц). То есть в любой момент времени сила направлена перпендикулярно скорости, а это значит, что двигаться частица будет по окружности.


Задача 1. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией  B = 0,1 Тл перпендикулярно линиям поля. Определить силу, действующую на электрон со стороны поля, если радиус кривизны траектории R = 0,5 см.

Сила Лоренца направлена все время перпендикулярно скорости, и поэтому траектория частицы закручивается. По второму закону Ньютона

    \[F=ma\]

    \[F= q \upsilon B \sin\alpha\]

    \[\sin\alpha=1\]

    \[a=\frac{\upsilon^2}{R}\]

    \[q B=\frac{m\upsilon}{R}\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{qBR}{m}\]

А сила тогда

    \[F=\frac{q^2B^2R}{m}=\frac{1,6^2\cdot10^{-38}\cdot10^{-2}\cdot0,005}{9,1\cdot10^{-31}}=0,14\cdot10^{-11}\]

Ответ: 1,4 пН
Задача 2. Определить  частоту обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле, индукция которого B = 0,2 Тл.
По второму закону Ньютона

    \[F=ma\]

    \[F= q \upsilon B \sin\alpha\]

    \[\sin\alpha=1\]

    \[a=\frac{\upsilon^2}{R}\]

    \[q B=\frac{m\upsilon}{R}\]

Откуда

    \[\frac{\upsilon}{R}=\frac{ q B }{m}\]

Частота обращения

    \[\nu=\frac{1}{T}=\frac{\upsilon}{2\pi R}=\frac{ q B }{2 \pi m}=\frac{1,6\cdot10^{-19}\cdot0,2}{2 \pi 9,1\cdot10^{-31}}=5,6\cdot10^9\]

Ответ: \nu=5,6\cdot10^9 Гц, или 5,6 ГГц.
Задача 3.  Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона \upsilon= 4\cdot 10^7 м/с, индукция магнитного поля B = 1 мТл. Определить нормальное, тангенциальное ускорение электрона и радиус кривизны его траектории.

    \[q B=\frac{m\upsilon}{R}\]

Откуда

    \[R=\frac{ m\upsilon }{qB}=\frac{ 9,1\cdot10^{-31}\cdot4\cdot 10^7}{1,6\cdot10^{-19}\cdot10^{-3}}=2,275\cdot10^{-3}\]

Тогда нормальное ускорение равно:

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\frac{q B \upsilon}{m}=7\cdot10^{17}\]

    \[a_{\tau}=0\]

Ответ: R=2,275 мм, a_n=7\cdot10^{17} м/с^2, a_{\tau}=0.

Задача 4. Частица массой m влетает перпендикулярно силовым линиям в однородное магнитное поле с индукцией В. Заряд частицы q. Доказать, что период обращения частицы не зависит от ее скорости.

По второму закону Ньютона

    \[F=ma\]

    \[F= q \upsilon B \sin\alpha\]

    \[\sin\alpha=1\]

    \[a=\frac{\upsilon^2}{R}\]

    \[q B=\frac{m\upsilon}{R}\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{ q B R}{m}\]

Период обращения – время одного оборота. Пусть частица движется по окружности радиуса R, тогда длина этой окружности 2 \pi R.  Период будет равен T=\frac{2 \pi R}{\upsilon}, а скорость частицы мы нашли, поэтому

    \[T=\frac{2\pi R m}{ q B R }=\frac{ 2 \pi m }{ q B }\]

Ответ: T=\frac{ 2 \pi m }{ q B } – не зависит от скорости.

Задача 5. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,015 Тл по окружности радиусом R = 10 см. Определить импульс электрона.

По второму закону Ньютона

    \[F=ma\]

    \[F= q \upsilon B \sin\alpha\]

    \[\sin\alpha=1\]

    \[a=\frac{\upsilon^2}{R}\]

    \[q B=\frac{m\upsilon}{R}\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{ q B R}{m}\]

Импульс электрона будет равен

    \[p=m\upsilon= q B R=0,015\cdot0,1\cdot 1,6\cdot10^{-19}=2,4\cdot 10^{-22}\]

Ответ: p=2,4\cdot 10^{-22} кг\cdotм/с.

Задача 6. Электрон движется в магнитном поле с индукцией B = 0,02 Тл по окружности радиусом R= 1 см. Определить кинетическую энергию электрона (в джоулях и электрон-вольтах).

По второму закону Ньютона

    \[F=ma\]

    \[F= q \upsilon B \sin\alpha\]

    \[\sin\alpha=1\]

    \[a=\frac{\upsilon^2}{R}\]

    \[q B=\frac{m\upsilon}{R}\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{ q B R}{m}\]

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{ q^2 B^2 R^2}{2m}=\frac{1,6^2\cdot10^{-38}\cdot0,02^2\cdot0,01}{18,2\cdot10^{-31}}=5,6\cdot10^{-16}\]

Или в электронвольтах  E_k=3,5\cdot10^3 эВ.

Ответ: E_k=5,6\cdot10^{-16} или 3500 эВ.
Задача 7. Заряженная частица с кинетической энергией Ек = 1 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 1 мм. Найти силу, действующую на частицу со стороны поля. 13.68.

По второму закону Ньютона

    \[F=ma=\frac{m\upsilon^2}{R}=\frac{2E_k}{R}=\frac{2000\cdot1,6\cdot10^{-19}}{10^{-3}}=3,2\cdot10^{-13}\]

Ответ: F=3,2\cdot10^{-13} Н.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *