ДВИ в МГУ им. М.В. Ломоносова. Задача 8

[latexpage]

Решим сегодня задачу из дополнительных вступительных испытаний в Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова. Задача была предложена в июле этого (2016) года на вступительных экзаменах под номером 8.

Найдите наименьшее значение выражения

$$\sqrt{106+\log_a^2 \cos ax+ \log_a \cos^{10} ax}+\sqrt{58+\log_a^2 \sin ax- \log_a \sin^6 ax}+\sqrt{5+\log_a^2 \operatorname{tg} ax+ \log_a \operatorname{tg}^2 ax}$$

и все пары $a, x$, при которых оно достигается.

Отмечу, что искомый угол принадлежит к первой четверти (из свойств логарифма) – его синус и косинус положительны.

Преобразуем выражение: заметим, что возможно выделить под корнями полные квадраты. Кроме того, удобнее будет работать с тригонометрическими функциями в одной и той же степени, поэтому, воспользовавшись свойством логарифма, представим $\log_a \cos ax=\frac{1}{2}\log_a \cos^2 ax$, то есть $\log^2_a \cos ax=\frac{1}{4}\log_a \cos^2 ax$, тогда:

$$\sqrt{81+\frac{1}{4}\log_a^2 \cos^2 ax+ 5\log_a \cos^2 ax+25}+\sqrt{9+\frac{1}{4}\log_a^2 \sin^2 ax- 3\log_a \sin^2 ax+49}+\sqrt{1+\frac{1}{4}\log_a^2 \operatorname{tg}^2 ax+ \log_a \operatorname{tg}^2 ax+4}$$

Введем обозначения:

$b=\log_a \cos^2 ax$, $c=\log_a \sin^2 ax$

Тогда:

$$\sqrt{81+(\frac{1}{2}b+ 5)^2}+\sqrt{49+ (3-\frac{1}{2}c)^2}+\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}(c-b)+1\right)^2}$$

Чтобы еще упростить выражение, введем еще одну замену: пусть $\frac{1}{2}b+ 5=m$, $3-\frac{1}{2}c=n$. Тогда третье слагаемое будет представлено в виде:

$$\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}(c-b)+1\right)^2}=\sqrt{4+(3-n-m+5+1\right)^2}=\sqrt{4+(9-n-m)^2}$$

Заодно отметим, что, так как $0 \leqslant \cos ax \leqslant 1$, то $-\infty < \log_a \cos^2 ax<0$ (если $a>1$). Следовательно, $m<5$, $n>3$.

Перепишем, вводя оговоренные замены:

$$\sqrt{81+m^2}+\sqrt{49+ n^2}+\sqrt{4+(9-n-m)^2}$$

Поверхность с выпуклостями и впадинами

Теперь выражение упростилось, и можно попробовать отыскать его минимум. Как вам известно, экстремум функции можно найти, взяв производную и приравняв ее к нулю. Но мы имеем функцию двух переменных. То есть это некоторая волнистая поверхность в трехмерном пространстве, имеющая впадины, и эти впадины будут иметь координаты по осям $m$ и $n$. Необходимо отыскать координаты самой «глубокой» впадины. Поэтому мы определим производную сначала по $m$, а потом по $n$, и из полученных уравнений составим систему, чтобы минимумы по $m$ и по  $n$ выполнялись одновременно.

Возьмем производную по $m$ и приравняем к нулю:

$$\frac{1}{2}\frac{2m}{\sqrt{81+m^2}}+0+\frac{1}{2}\frac{2(9-n-m)(-1)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0$$

$$\frac{m}{\sqrt{81+m^2}}-\frac{(9-n-m)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0$$

$$\frac{m}{\sqrt{81+m^2}}=\frac{(9-n-m)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}$$

На этом этапе обратим внимание на то, что $m$ и $9-n-m$ – выражения одного знака. Это замечание важно и пригодится нам впоследствии, так как при возведении в квадрат правой и левой части последнего выражения количество корней удвоится. Возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$$\frac{m^2}{81+m^2}=\frac{(9-n-m)^2}{4+(9-n-m)^2}$$

$$ m^2(4+(9-n-m)^2)= (81+m^2) (9-n-m)^2$$

$$ 4m^2+m^2(9-n-m)^2= 81(9-n-m)^2+m^2(9-n-m)^2$$

$$4m^2 = 81(9-n-m)^2$$

$$(2m-9(9-n-m))(2m+9(9-n-m))=0$$

Теперь

$$2m-9(9-n-m)=0$$

Или

$$2m+9(9-n-m)=0$$

Из первого уравнения следует, что $\frac{9}{2}=\frac{m}{9-n-m}$ – то есть выполняется условие о том, что выражения что $m$ и $9-n-m$  должны быть  одного знака. Поэтому второе уравнение отпадает, и в систему мы возьмем это:

$$2m-81+9n+9m=0$$

$$11m+9n-81=0$$

Теперь очередь производной по $n$:

$$0+\frac{1}{2}\frac{2n}{\sqrt{49+n^2}}+\frac{1}{2}\frac{2(9-n-m)(-1)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0$$

$$\frac{n^2}{49+n^2}=\frac{(9-n-m)^2}{4+(9-n-m)^2}$$

$$n^2(4+(9-n-m)^2)= (49+n^2)(9-n-m)^2$$

$$4n^2+n^2(9-n-m)^2= 49(9-n-m)^2+n^2(9-n-m)^2$$

$$4n^2= 49(9-n-m)^2$$

Выражение $n$ и $9-n-m$ – выражения одного знака.

$$4n^2- 49(9-n-m)^2=0$$

$$(2n- 7(9-n-m))( 2n+7(9-n-m))=0$$

Следовательно,

$$2n- 7(9-n-m)=0$$

Или

$$2n+7(9-n-m)=0$$

Из первого уравнения следует, что $\frac{7}{2}=\frac{n}{9-n-m}$ – то есть выполняется условие о том, что выражения что $n$ и $9-n-m$  должны быть  одного знака.

$$9n-63+7m=0$$

Тогда получившаяся система:

$$\begin{Bmatrix}{11m+9n-81=0}\\{9n-63+7m=0}\end{matrix}$$

Вычтем уравнения:

$$4m-18=0$$

$$m=4,5$$

Тогда $n=3,5$. Вспомним, что $m<5$, $n>3$ – соблюдено. Сделаем обратную замену:

$$\frac{1}{2}b+ 5=4,5$$

$$\frac{1}{2}b=-0,5$$

$$b=-1$$

$$3-\frac{1}{2}с=3,5$$

$$\frac{1}{2}с=-0,5$$

$$c=-1$$

Возвращаемся еще на шаг назад, снова обратная замена:

$$\log_a \cos^2 ax=-1$$

$$\cos^2 ax=\frac{1}{a}$$

$$\log_a \sin^2 ax=-1$$

$$\sin^2 ax=\frac{1}{a}$$

Применим основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 ax+\sin^2 ax=\frac{2}{a}=1$$

Откуда $a=2$.

Теперь можно определить и $x$:

$$\cos^2 2x=\frac{1}{2}$$

Так как угол находится в первой четверти, то:

$$\cos 2x=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$2x=\frac{\pi}{4}+2 \pi n$$

$$x=\frac{\pi}{8}+ \pi n$$

Определим минимальное значение функции, для этого можно воспользоваться и промежуточным выражением:

$$\sqrt{81+m^2}+\sqrt{49+ n^2}+\sqrt{4+(9-n-m)^2}=\sqrt{81+4,5^2}+\sqrt{49+ 3,5^2}+\sqrt{4+(9-3,5-4,5)^2}=4,5\sqrt{5}+3,5\sqrt{5}+\sqrt{5}=9\sqrt{5}$$

Ответ: минимальное значение функции $9\sqrt{5}$, $a=2$, $x=\frac{\pi}{8}+ \pi n$.