ДВИ в МГУ им. М.В. Ломоносова. Задача 8

Решим сегодня задачу из дополнительных вступительных испытаний в Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова. Задача была предложена в июле этого (2016) года на вступительных экзаменах под номером 8.

Найдите наименьшее значение выражения

$\sqrt{106+\log_a^2 \cos ax+ \log_a \cos^{10} ax}+\sqrt{58+\log_a^2 \sin ax- \log_a \sin^6 ax}+\sqrt{5+\log_a^2 \operatorname{tg} ax+ \log_a \operatorname{tg}^2 ax}$

и все пары $a, x$ , при которых оно достигается.

Отмечу, что искомый угол принадлежит к первой четверти (из свойств логарифма) – его синус и косинус положительны.

Преобразуем выражение: заметим, что возможно выделить под корнями полные квадраты. Кроме того, удобнее будет работать с тригонометрическими функциями в одной и той же степени, поэтому, воспользовавшись свойством логарифма, представим $\log_a \cos ax=\frac{1}{2}\log_a \cos^2 ax$ , то есть $\log^2_a \cos ax=\frac{1}{4}\log_a \cos^2 ax$ , тогда:

$\sqrt{81+\frac{1}{4}\log_a^2 \cos^2 ax+ 5\log_a \cos^2 ax+25}+\sqrt{9+\frac{1}{4}\log_a^2 \sin^2 ax- 3\log_a \sin^2 ax+49}+\sqrt{1+\frac{1}{4}\log_a^2 \operatorname{tg}^2 ax+ \log_a \operatorname{tg}^2 ax+4}$

Введем обозначения:

$b=\log_a \cos^2 ax$ , $c=\log_a \sin^2 ax$

Тогда:

$\sqrt{81+(\frac{1}{2}b+ 5)^2}+\sqrt{49+ (3-\frac{1}{2}c)^2}+\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}(c-b)+1\right)^2}$

Чтобы еще упростить выражение, введем еще одну замену: пусть $\frac{1}{2}b+ 5=m$ , $3-\frac{1}{2}c=n$ . Тогда третье слагаемое будет представлено в виде:

$\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}(c-b)+1\right)^2}=\sqrt{4+(3-n-m+5+1\right)^2}=\sqrt{4+(9-n-m)^2}$

Заодно отметим, что, так как $0 \leqslant \cos ax \leqslant 1$ , то $-\infty < \log_a \cos^2 ax<0$ (если $a>1$ ). Следовательно, $m<5$ , $n>3$ .

Перепишем, вводя оговоренные замены:

$\sqrt{81+m^2}+\sqrt{49+ n^2}+\sqrt{4+(9-n-m)^2}$

Поверхность с выпуклостями и впадинами

Теперь выражение упростилось, и можно попробовать отыскать его минимум. Как вам известно, экстремум функции можно найти, взяв производную и приравняв ее к нулю. Но мы имеем функцию двух переменных. То есть это некоторая волнистая поверхность в трехмерном пространстве, имеющая впадины, и эти впадины будут иметь координаты по осям $m$ и $n$ . Необходимо отыскать координаты самой «глубокой» впадины. Поэтому мы определим производную сначала по $m$ , а потом по $n$ , и из полученных уравнений составим систему, чтобы минимумы по $m$ и по $n$ выполнялись одновременно.

Возьмем производную по $m$ и приравняем к нулю:

$\frac{1}{2}\frac{2m}{\sqrt{81+m^2}}+0+\frac{1}{2}\frac{2(9-n-m)(-1)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0$

$\frac{m}{\sqrt{81+m^2}}-\frac{(9-n-m)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0$

$\frac{m}{\sqrt{81+m^2}}=\frac{(9-n-m)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}$

На этом этапе обратим внимание на то, что $m$ и $9-n-m$ – выражения одного знака. Это замечание важно и пригодится нам впоследствии, так как при возведении в квадрат правой и левой части последнего выражения количество корней удвоится. Возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$\frac{m^2}{81+m^2}=\frac{(9-n-m)^2}{4+(9-n-m)^2}$

$m^2(4+(9-n-m)^2)= (81+m^2) (9-n-m)^2$

$4m^2+m^2(9-n-m)^2= 81(9-n-m)^2+m^2(9-n-m)^2$

$4m^2 = 81(9-n-m)^2$

$(2m-9(9-n-m))(2m+9(9-n-m))=0$

Теперь

$2m-9(9-n-m)=0$

Или

$2m+9(9-n-m)=0$

Из первого уравнения следует, что $\frac{9}{2}=\frac{m}{9-n-m}$ – то есть выполняется условие о том, что выражения что $m$ и $9-n-m$ должны быть одного знака. Поэтому второе уравнение отпадает, и в систему мы возьмем это:

$2m-81+9n+9m=0$

$11m+9n-81=0$

Теперь очередь производной по $n$ :

$0+\frac{1}{2}\frac{2n}{\sqrt{49+n^2}}+\frac{1}{2}\frac{2(9-n-m)(-1)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0$

$\frac{n^2}{49+n^2}=\frac{(9-n-m)^2}{4+(9-n-m)^2}$

$n^2(4+(9-n-m)^2)= (49+n^2)(9-n-m)^2$

$4n^2+n^2(9-n-m)^2= 49(9-n-m)^2+n^2(9-n-m)^2$

$4n^2= 49(9-n-m)^2$

Выражение $n$ и $9-n-m$ – выражения одного знака.

$4n^2- 49(9-n-m)^2=0$

$(2n- 7(9-n-m))( 2n+7(9-n-m))=0$

Следовательно,

$2n- 7(9-n-m)=0$

Или

$2n+7(9-n-m)=0$

Из первого уравнения следует, что $\frac{7}{2}=\frac{n}{9-n-m}$ – то есть выполняется условие о том, что выражения что $n$ и $9-n-m$ должны быть одного знака.