ДВИ в МГУ им. М.В. Ломоносова. Задача 8

Решим сегодня задачу из дополнительных вступительных испытаний в Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова. Задача была предложена в июле этого (2016) года на вступительных экзаменах под номером 8.

Найдите наименьшее значение выражения

и все пары , при которых оно достигается.

Отмечу, что искомый угол принадлежит к первой четверти (из свойств логарифма) – его синус и косинус положительны.

Преобразуем выражение: заметим, что возможно выделить под корнями полные квадраты. Кроме того, удобнее будет работать с тригонометрическими функциями в одной и той же степени, поэтому, воспользовавшись свойством логарифма, представим , то есть , тогда:

Введем обозначения:

,

Тогда:

Чтобы еще упростить выражение, введем еще одну замену: пусть , . Тогда третье слагаемое будет представлено в виде:

Заодно отметим, что, так как , то (если ). Следовательно, , .

Перепишем, вводя оговоренные замены:

Поверхность с выпуклостями и впадинами

Теперь выражение упростилось, и можно попробовать отыскать его минимум. Как вам известно, экстремум функции можно найти, взяв производную и приравняв ее к нулю. Но мы имеем функцию двух переменных. То есть это некоторая волнистая поверхность в трехмерном пространстве, имеющая впадины, и эти впадины будут иметь координаты по осям и . Необходимо отыскать координаты самой «глубокой» впадины. Поэтому мы определим производную сначала по , а потом по , и из полученных уравнений составим систему, чтобы минимумы по и по  выполнялись одновременно.

Возьмем производную по и приравняем к нулю:

На этом этапе обратим внимание на то, что и – выражения одного знака. Это замечание важно и пригодится нам впоследствии, так как при возведении в квадрат правой и левой части последнего выражения количество корней удвоится. Возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней:

Теперь

Или

Из первого уравнения следует, что – то есть выполняется условие о том, что выражения что и   должны быть  одного знака. Поэтому второе уравнение отпадает, и в систему мы возьмем это:

Теперь очередь производной по :

Выражение и – выражения одного знака.

Следовательно,

Или

Из первого уравнения следует, что – то есть выполняется условие о том, что выражения что и   должны быть  одного знака.

Тогда получившаяся система:

Вычтем уравнения:

Тогда . Вспомним, что , – соблюдено. Сделаем обратную замену:

Возвращаемся еще на шаг назад, снова обратная замена:

Применим основное тригонометрическое тождество:

Откуда .

Теперь можно определить и :

Так как угол находится в первой четверти, то:

Определим минимальное значение функции, для этого можно воспользоваться и промежуточным выражением:

Ответ: минимальное значение функции , , .