Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс, Математика, Экстремумы функций (12)

ДВИ в МГУ им. М.В. Ломоносова. Задача 8

Решим сегодня задачу из дополнительных вступительных испытаний в Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова. Задача была предложена в июле этого (2016) года на вступительных экзаменах под номером 8.

Найдите наименьшее значение выражения

    \[\sqrt{106+\log_a^2 \cos ax+ \log_a \cos^{10} ax}+\sqrt{58+\log_a^2 \sin ax- \log_a \sin^6 ax}+\sqrt{5+\log_a^2 \operatorname{tg} ax+ \log_a \operatorname{tg}^2 ax}\]

и все пары a, x, при которых оно достигается.

Отмечу, что искомый угол принадлежит к первой четверти (из свойств логарифма) – его синус и косинус положительны.

Преобразуем выражение: заметим, что возможно выделить под корнями полные квадраты. Кроме того, удобнее будет работать с тригонометрическими функциями в одной и той же степени, поэтому, воспользовавшись свойством логарифма, представим \log_a \cos ax=\frac{1}{2}\log_a \cos^2 ax, то есть \log^2_a \cos ax=\frac{1}{4}\log_a \cos^2 ax, тогда:

    \[\sqrt{81+\frac{1}{4}\log_a^2 \cos^2 ax+ 5\log_a \cos^2 ax+25}+\sqrt{9+\frac{1}{4}\log_a^2 \sin^2 ax- 3\log_a \sin^2 ax+49}+\sqrt{1+\frac{1}{4}\log_a^2 \operatorname{tg}^2 ax+ \log_a \operatorname{tg}^2 ax+4}\]

Введем обозначения:

b=\log_a \cos^2 ax, c=\log_a \sin^2 ax

Тогда:

    \[\sqrt{81+(\frac{1}{2}b+ 5)^2}+\sqrt{49+ (3-\frac{1}{2}c)^2}+\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}(c-b)+1\right)^2}\]

Чтобы еще упростить выражение, введем еще одну замену: пусть \frac{1}{2}b+ 5=m, 3-\frac{1}{2}c=n. Тогда третье слагаемое будет представлено в виде:

    \[\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}(c-b)+1\right)^2}=\sqrt{4+(3-n-m+5+1\right)^2}=\sqrt{4+(9-n-m)^2}\]

Заодно отметим, что, так как 0 \leqslant \cos ax \leqslant 1, то -\infty < \log_a \cos^2 ax<0 (если a>1). Следовательно, m<5, n>3.

Перепишем, вводя оговоренные замены:

    \[\sqrt{81+m^2}+\sqrt{49+ n^2}+\sqrt{4+(9-n-m)^2}\]

Поверхность с выпуклостями и впадинами

Теперь выражение упростилось, и можно попробовать отыскать его минимум. Как вам известно, экстремум функции можно найти, взяв производную и приравняв ее к нулю. Но мы имеем функцию двух переменных. То есть это некоторая волнистая поверхность в трехмерном пространстве, имеющая впадины, и эти впадины будут иметь координаты по осям m и n. Необходимо отыскать координаты самой «глубокой» впадины. Поэтому мы определим производную сначала по m, а потом по n, и из полученных уравнений составим систему, чтобы минимумы по m и по  n выполнялись одновременно.

Возьмем производную по m и приравняем к нулю:

    \[\frac{1}{2}\frac{2m}{\sqrt{81+m^2}}+0+\frac{1}{2}\frac{2(9-n-m)(-1)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0\]

    \[\frac{m}{\sqrt{81+m^2}}-\frac{(9-n-m)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0\]

    \[\frac{m}{\sqrt{81+m^2}}=\frac{(9-n-m)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}\]

На этом этапе обратим внимание на то, что m и 9-n-m – выражения одного знака. Это замечание важно и пригодится нам впоследствии, так как при возведении в квадрат правой и левой части последнего выражения количество корней удвоится. Возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней:

    \[\frac{m^2}{81+m^2}=\frac{(9-n-m)^2}{4+(9-n-m)^2}\]

    \[m^2(4+(9-n-m)^2)= (81+m^2) (9-n-m)^2\]

    \[4m^2+m^2(9-n-m)^2= 81(9-n-m)^2+m^2(9-n-m)^2\]

    \[4m^2 = 81(9-n-m)^2\]

    \[(2m-9(9-n-m))(2m+9(9-n-m))=0\]

Теперь

    \[2m-9(9-n-m)=0\]

Или

    \[2m+9(9-n-m)=0\]

Из первого уравнения следует, что \frac{9}{2}=\frac{m}{9-n-m} – то есть выполняется условие о том, что выражения что m и 9-n-m  должны быть  одного знака. Поэтому второе уравнение отпадает, и в систему мы возьмем это:

    \[2m-81+9n+9m=0\]

    \[11m+9n-81=0\]

Теперь очередь производной по n:

    \[0+\frac{1}{2}\frac{2n}{\sqrt{49+n^2}}+\frac{1}{2}\frac{2(9-n-m)(-1)}{\sqrt{4+(9-n-m)^2}}=0\]

    \[\frac{n^2}{49+n^2}=\frac{(9-n-m)^2}{4+(9-n-m)^2}\]

    \[n^2(4+(9-n-m)^2)= (49+n^2)(9-n-m)^2\]

    \[4n^2+n^2(9-n-m)^2= 49(9-n-m)^2+n^2(9-n-m)^2\]

    \[4n^2= 49(9-n-m)^2\]

Выражение n и 9-n-m – выражения одного знака.

    \[4n^2- 49(9-n-m)^2=0\]

    \[(2n- 7(9-n-m))( 2n+7(9-n-m))=0\]

Следовательно,

    \[2n- 7(9-n-m)=0\]

Или

    \[2n+7(9-n-m)=0\]

Из первого уравнения следует, что \frac{7}{2}=\frac{n}{9-n-m} – то есть выполняется условие о том, что выражения что n и 9-n-m  должны быть  одного знака.

    \[9n-63+7m=0\]

Тогда получившаяся система:

    \[\begin{Bmatrix}{11m+9n-81=0}\\{9n-63+7m=0}\end{matrix}\]

Вычтем уравнения:

    \[4m-18=0\]

    \[m=4,5\]

Тогда n=3,5. Вспомним, что m<5, n>3 – соблюдено. Сделаем обратную замену:

    \[\frac{1}{2}b+ 5=4,5\]

    \[\frac{1}{2}b=-0,5\]

    \[b=-1\]

    \[3-\frac{1}{2}с=3,5\]

    \[\frac{1}{2}с=-0,5\]

    \[c=-1\]

Возвращаемся еще на шаг назад, снова обратная замена:

    \[\log_a \cos^2 ax=-1\]

    \[\cos^2 ax=\frac{1}{a}\]

    \[\log_a \sin^2 ax=-1\]

    \[\sin^2 ax=\frac{1}{a}\]

Применим основное тригонометрическое тождество:

    \[\cos^2 ax+\sin^2 ax=\frac{2}{a}=1\]

Откуда a=2.

Теперь можно определить и x:

    \[\cos^2 2x=\frac{1}{2}\]

Так как угол находится в первой четверти, то:

    \[\cos 2x=\frac{1}{\sqrt{2}}\]

    \[2x=\frac{\pi}{4}+2 \pi n\]

    \[x=\frac{\pi}{8}+ \pi n\]

Определим минимальное значение функции, для этого можно воспользоваться и промежуточным выражением:

    \[\sqrt{81+m^2}+\sqrt{49+ n^2}+\sqrt{4+(9-n-m)^2}=\sqrt{81+4,5^2}+\sqrt{49+ 3,5^2}+\sqrt{4+(9-3,5-4,5)^2}=4,5\sqrt{5}+3,5\sqrt{5}+\sqrt{5}=9\sqrt{5}\]

Ответ: минимальное значение функции 9\sqrt{5}, a=2, x=\frac{\pi}{8}+ \pi n.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *