Предлагаю решение задач из ДВИ МГУ 2017 года по математике, вариант 1.
Задача 1. Какое число больше: или 3?
Переформулируем задачу, возведя все в квадрат. Что больше:
или 9?
Приведем левую часть к общему знаменателю:
Таким образом, число слева больше: .
Задача 2. Известно, что ,
. Найдите
.
Возведем в квадрат первую сумму:
Подставляем 4 вместо суммы произведений:
Ответ: 17.
Задача 3. Решите уравнение:
Перепишем:
Преобразуем разность синусов:
Левую часть представим как синус двойного аргумента:
Переносим влево:
Выносим за скобку общий множитель:
Тогда либо
Либо
Решаем (1)
Решаем (2): преобразуем разность синусов.
Либо , либо
.
Тогда ,
Или
Последнее решение попадает полностью в предыдущую серию, следовательно, ответ: ,
.
Задача 4. Решите неравенство:
Вынесем степень 4 из подлогарифмического выражения. При этом не нужно ставить знак модуля, поскольку по ОДЗ .
Разобьем последнее слагаемое таким образом:
Вынесем общий множитель:
Далее применим метод интервалов. Нам потребуются точки, в которых выражение слева меняет знак. Для их определения приравняем к нулю оба множителя по очереди.
Первый:
Отсюда
Или
Второй:
Отсюда
Или
Справа от 1 и слева от найденных точек располагается точка . Для определения знаков интервалов подставим ее в исходное неравенство:
Первые два слагаемых – квадраты, они положительны. Рассмотрим третье.
Выражение отрицательно, выражение
– положительно. Их произведение отрицательно, но перед произведением тоже минус, поэтому сумма всех трех – положительна.
Расставляем знаки, помня, что 1 – корень четной кратности:

К задаче 4
Ответ: .
Задача 6. Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта нужно добраться вниз по реке до пункта
, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта
на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта
. Однако, промчавшись 8 км, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил его по старой дружбе довезти его до пункта
. И хоть пункт
Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт
Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули , что им до пункта
осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт
, Василий немедленно развернулся и помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами
и
, если известно, что оба катера пришли в пункт
одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
Решим задачу графически.

К задаче 6
Скорость катера Василия больше, график его движения – синяя ломаная. Сначала Василий движется по реке вниз, а после встречи с Григорием – против течения, поэтому наклон ломаной меняется: скорость уменьшилась. Но после разворота в пункте Василий вновь спускается по течению, скорость такая же, как в начале: отрезки
и
параллельны. Таким образом, треугольники
и
подобны по двум углам (треугольники прямоугольные,
как накрестлежащие). Следовательно,
Рассмотрим треугольники и
.
, так как скорости катеров постоянны, и разность скоростей тоже, следовательно, постоянна:
Таким образом, треугольники и
подобны, равенство двух углов мы доказали, два других угла – вертикальные). Из подобия треугольников следует, что
Треугольник подобен треугольнику
(
как накрестлежащие), откуда
Или
Из условия следует, что длина отрезка км. Также известно, что
.
Поэтому
Ответ: 4 км.
Задача 7. Из вершины на плоскость основания
пирамиды
опущена высота
.Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников
,
,
равны соответственно
,
,
, и что все три плоских угла при вершине
прямые.
За помощь в решении этой задачи благодарю Гилемханова Радифа Галиевича.

К задаче 7
Данная пирамида – кусок прямоугольного параллелепипеда. Обозначим ребра ,
,
. Обозначим также угол наклона грани
к основанию
, угол наклона грани
к основанию
, а угол наклона грани
к основанию –
. Тогда, если площадь основания
, то
,
,
.
Следовательно, ,
,
.
Но, с другой стороны, ,
,
.
Тогда
Также можно записать, что
Объем пирамиды равен , возведем в квадрат:
С учетом того, что ,
Ответ: .
Задача 8. Решите систему уравнений:
Возведем оба уравнения в квадраты:
Вычтем уравнения:
Применяем формулу
Тогда перепишем:
Или
Подставим это в систему:
Домножим на для удобства восприятия:
Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты:
Складываем уравнения:
Тогда
Ответ: ,
Комментариев - 6
задача под номером 8 дви по математике 2017 решена неверно, т.к. применяя формулу 1+тангенс в квадрате, в скобках второе слагаемое будет со знаком плюс, следовательно и получится, что слагаемые не взаимно уничтожаются, а получается 2/косинус в квадрате
Верно решена. Опечатка выше строкой. Исправила, спасибо.
Почему в задаче 7 DM_|_AB, DK_|_AC, DN_|_BC?
DH – высота по условию. На рисунке обозначены двугранные углы из чего следует перпендикулярность.
в задаче № 5 при рассмотрении треугольника DLO допущена ошибка в записи теоремы синусов.
И часть данных из условия не использована.
Довольно странно, что при этом получился верный ответ
Да, ошибка есть. В ближайшее время я пересмотрю решение. Спасибо.