Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Математика

ДВИ в МГУ – 2017, математика, вариант 1

[latexpage]

Предлагаю решение задач из ДВИ МГУ 2017 года по математике, вариант 1.


Задача 1. Какое число больше: $\sqrt{\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}}$ или 3?

Переформулируем задачу, возведя все в квадрат. Что больше:

$\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}$ или 9?

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}=8+\frac{6}{7}+\frac{1}{6}=8+\frac{36+7}{42}=9\frac{1}{42}$$

Таким образом, число слева больше: $\sqrt{\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}} > 3$.

 

Задача 2. Известно, что $a+b+c=5$, $ab+bc+ac=4$. Найдите $a^2+b^2+c^2$.

Возведем в квадрат первую сумму:

$$(a+b+c)^2=(a+b+c) (a+b+c)=25$$

$$a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=25$$

$$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=25$$

Подставляем 4 вместо суммы произведений:

$$ a^2+b^2+c^2+2\cdot4=25$$

$$ a^2+b^2+c^2 =17$$

Ответ: 17.

 

Задача 3. Решите уравнение:

$$\sin 7x+ \sin 6x=\sin x$$

Перепишем:

$$\sin 7x =\sin x-\sin 6x$$

Преобразуем разность синусов:

$$\sin 7x =2\cos \frac{x+6x}{2}\sin \frac{x-6x}{2}$$

Левую часть представим как синус двойного аргумента:

$$2\sin \frac{7x}{2}\cos \frac{7x}{2} =2\sin \frac{-5x}{2}\cos \frac{7x}{2}$$

Переносим влево:

$$2\sin \frac{7x}{2}\cos \frac{7x}{2} -2\sin \frac{-5x}{2}\cos \frac{7x}{2}=0$$

Выносим за скобку общий множитель:

$$2\cos \frac{7x}{2}\left(\sin \frac{7x}{2} -\sin \frac{-5x}{2}\right)=0$$

Тогда либо

$$\cos \frac{7x}{2} =0~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Либо

$$\sin \frac{7x}{2} -\sin \frac{-5x}{2}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Решаем (1)

$$\frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k$$

$$x=\frac{\pi  }{7}+\frac{2 \pi k}{7}$$

Решаем (2): преобразуем разность синусов.

$$2\cos \frac{x}{2} \sin 3x =0$$

Либо $\sin 3x =0$, либо $\cos \frac{x}{2}=0$.

Тогда $3x=\pi k$, $x=\frac{\pi k}{3}$

Или

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k$$

$$x=\pi+ 2\pi k$$

Последнее решение попадает полностью в предыдущую серию, следовательно, ответ: $x=\frac{\pi k}{3}$, $x=\frac{2k +1) \pi }{7}$.

 

Задача 4. Решите неравенство:

$$x^2\log^2_7 x+3\log^2_6 x \leqslant x \log_7 x \cdot \log_6 x^4$$

Вынесем степень 4 из подлогарифмического выражения. При этом не нужно ставить знак модуля, поскольку по ОДЗ $x>0$.

$$x^2\log^2_7 x+3\log^2_6 x-4 x \log_7 x \cdot \log_6 x \leqslant 0 $$

Разобьем последнее слагаемое таким образом:

$$-4 x \log_7 x \cdot \log_6 x=- x \log_7 x \cdot \log_6 x-3 x \log_7 x \cdot \log_6 x$$

Вынесем общий множитель:

$$ x \log_7 x ( x \log_7 x-\log_6 x)-3\log_6 x(x \log_7 x -\log_6 x) \leqslant 0 $$

$$( x \log_7 x-\log_6 x)( x \log_7 x -3\log_6 x) \leqslant 0 $$

Далее применим метод интервалов. Нам потребуются точки, в которых выражение слева меняет знак. Для их определения приравняем к нулю оба множителя по очереди.

Первый:

$$ x \log_7 x-\log_6 x=0$$

$$x\frac{\log_6 x }{\log_6 7 }-\log_6 x=0$$

$$\log_6 x (\frac{x}{\log_6 7 }-1)=0$$

Отсюда

$$ x =1$$

Или

$$x=\log_6 7$$

Второй:

$$ x \log_7 x -3\log_6 x=0$$

$$x\frac{\log_6 x }{\log_6 7 }-3\log_6 x=0$$

$$\log_6 x (\frac{x}{\log_6 7 }-3)=0$$

Отсюда

$$ x =1$$

Или

$$x=3\log_6 7$$

Справа от 1 и слева от найденных точек располагается точка $a=\frac{6}{7}$. Для определения знаков интервалов подставим ее в исходное неравенство:

$$\frac{6^2}{7^2}\log^2_7 \frac{6}{7}+3\log^2_6 \frac{6}{7}-\frac{4\cdot6}{7}\log_7 \frac{6}{7}\cdot\log_6 \frac{6}{7}=\frac{6^2}{7^2}\log^2_7 \frac{6}{7}+3\log^2_6 \frac{6}{7}-\frac{24}{7}(\log_7  6- \log_7  7)( \log_6  6- \log_6  7)$$

Первые два слагаемых – квадраты, они положительны. Рассмотрим третье.

Выражение $\log_7  6- \log_7  7$ отрицательно, выражение $\log_6  6- \log_6  7$ – положительно. Их произведение отрицательно, но перед произведением тоже минус, поэтому сумма всех трех – положительна.

Расставляем знаки, помня, что 1 – корень четной кратности:

К задаче 4

Ответ: $ x \in  \{1\} \cup [\log_6 7; 3\log_6 7]$.

 

Задача 6. Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта $A$ нужно добраться вниз по реке до пункта $B$, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта $B$ на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта $A$. Однако, промчавшись 8 км, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил его по старой дружбе довезти его до пункта $C$. И хоть пункт $C$ Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт $C$ Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули , что им до пункта $B$ осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт $C$, Василий немедленно развернулся и помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами $B$ и $C$, если известно, что оба катера пришли в пункт $B$ одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
Решим задачу графически.

К задаче 6

Скорость катера Василия больше, график его движения – синяя ломаная. Сначала Василий движется по реке вниз, а после встречи с Григорием – против течения, поэтому наклон ломаной меняется: скорость уменьшилась. Но после разворота в пункте $C$ Василий вновь спускается по течению, скорость такая же, как в начале: отрезки $AM$ и $OK$ параллельны. Таким образом, треугольники $\triangle AMG$ и $\triangle OLK$ подобны по двум углам (треугольники прямоугольные, $\angle MAG=\angle OKL$ как накрестлежащие). Следовательно,

$$\frac{OK }{AM}=\frac{LO }{MG}$$

Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle NOK$. $\angle MAN=\angle NKO$, так как скорости катеров постоянны, и разность скоростей тоже, следовательно, постоянна:

$$\angle MAN=\angle MAG-\angle NAG$$

$$\angle OKN =\angle LKO-\angle LKN $$

Таким образом, треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle NOK$ подобны, равенство двух углов мы доказали, два других угла – вертикальные). Из подобия треугольников следует, что

$$\frac{OK }{AM}=\frac{NK}{AN}$$

Треугольник $\triangle FKN$ подобен треугольнику $\triangle ANE$ ( $\angle NAG=\angle NKL$ как накрестлежащие), откуда

$$\frac{FN}{NE}=\frac{NK}{AN}$$

Или

$$\frac{FN}{NE}=\frac{OK }{AM}=\frac{LO }{MG}$$

Из условия следует, что длина отрезка $MG=8$ км. Также известно, что $FN=\frac{1}{3}AB$.

Поэтому

$$LO=MG\cdot\frac{FN }{NE}=8\cdot\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{2}{3}AB}=8\cdot\frac{1}{2}=4$$

Ответ: 4 км.

Задача 7. Из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$ пирамиды $ABCD$ опущена высота $DH$.Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников $\triangle HBC$, $\triangle HAC$, $\triangle HAB$ равны соответственно $\frac{2}{9}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{4}{9}$, и что все три плоских угла при вершине $D$ прямые.

За помощь в решении этой задачи благодарю Гилемханова Радифа Галиевича.

К задаче 7

Данная пирамида – кусок прямоугольного параллелепипеда. Обозначим ребра $AD=a$, $BD=b$, $CD=c$.  Обозначим также угол наклона грани $ABD$ к основанию $\alpha$, угол наклона грани $ADC$ к основанию $\beta$, а угол наклона грани $BCD$ к основанию – $\gamma$. Тогда, если площадь основания $S_{ABC}=S$, то $S_{ABD}=S\cos{\alpha}$, $S_{ADС}=S\cos{\beta}$, $S_{BCD}=S\cos{\gamma}$.

Следовательно, $\cos{\alpha}=\frac{S_{ABD}}{S}$, $\cos{\beta}=\frac{S_{ADС}}{S}$, $\cos{\gamma}=\frac{S_{BCD}}{S}$.

Но, с другой стороны, $S_{HBC}=S_{BCD}\cos{\gamma}$, $S_{HAB}=S_{ABD}\cos{\alpha}$, $S_{HAC}=S_{ACD}\cos{\beta}$.

Тогда

$$S_{BCD}^2=S_{HBC}\cdot S$$

$$S_{ABD}^2=S_{HAB}\cdot S$$

$$S_{ACD}^2=S_{HAC}\cdot S$$

Также можно записать, что

$$S_{BCD}=\frac{bc}{2}$$

$$S_{ABD}=\frac{ab}{2}$$

$$S_{ACD}=\frac{ac}{2}$$

$$S=S_{HBC}+S_{HAB}+S_{HAC}=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=1$$

Объем пирамиды равен $V=\frac{1}{6}abc$, возведем в квадрат:

$$V^2=\frac{1}{36}a^2b^2c^2=\frac{1}{36}ab\cdot bc\cdot ac=\frac{1}{36}\cdot 2S_{ABD}\cdot 2S_{BCD} \cdot 2S_{ACD}=\frac{2}{9}\cdot S_{ABD}\cdot S_{BCD} \cdot S_{ACD}=\frac{2}{9}\cdot\sqrt{S_{HBC}\cdot S_{HAB}\cdot S_{HAC}\cdot S^3}$$

С учетом того, что $S=1$,

$$V=\sqrt{\frac{2}{9}\sqrt{S_{HBC}\cdot S_{HAB}\cdot S_{HAC}}}=\sqrt{\frac{2}{9}\sqrt{\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{3}}}=\frac{2}{9}\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$$

Ответ: $V=\frac{2}{9}\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$.

Задача 8. Решите систему уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{x}{\cos(x^2-y^2)}-y\cdot \operatorname{tg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\\{ \frac{y}{\cos(x^2-y^2)}-x\cdot \operatorname{tg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\end{matrix}$$

Возведем оба уравнения в квадраты:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{x^2}{\cos^2(x^2-y^2)}-\frac{2x y\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)}{ \cos^2(x^2-y^2)} + y^2\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)=\frac{\pi}{2}}\\{ \frac{y^2}{\cos^2(x^2-y^2)}- \frac{2x y\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)}{ \cos^2(x^2-y^2)}+x^2\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)=\frac{\pi}{3}}\end{matrix}$$

Вычтем уравнения:

$$\frac{x^2-y^2}{\cos^2(x^2-y^2)}+(-x^2+y^2) \cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)= \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$$

Применяем формулу

$$1+\operatorname{tg^2}{\alpha}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$

Тогда перепишем:

$$(x^2-y^2)\left(\frac{1}{\cos^2(x^2-y^2)}- \frac{1}{\cos^2(x^2-y^2)}+1\right)= \frac{\pi}{6}$$

Или

$$ x^2-y^2=\frac{\pi}{6}$$

$$ x^2=\frac{\pi}{6}+y^2$$

Подставим это в систему:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{x}{\cos(\frac{\pi}{6})}-y\cdot \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\\{ \frac{y}{\cos(\frac{\pi}{6})}-x\cdot \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})=\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\end{matrix}$$

 

$$\begin{Bmatrix}{\frac{2x}{\sqrt{3}}-y\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\\{ \frac{2y}{\sqrt{3}}-x\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\end{matrix}$$

Домножим на $\sqrt{3}$ для удобства восприятия:

$$\begin{Bmatrix}{2x-y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}}\\{ 2y-x=\sqrt{\pi}}\end{matrix}$$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты:

$$\begin{Bmatrix}{2x-y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}}\\{ 4y-2x=2\sqrt{\pi}}\end{matrix}$$

Складываем уравнения:

$$3y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}+2\sqrt{\pi}$$

$$y=\frac{\sqrt{\pi}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}$$

Тогда

$$2x=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}+y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}+\frac{\sqrt{\pi}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\pi}(4\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}$$

$$x=\frac{\sqrt{\pi}(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}$$

Ответ: $x=\frac{\sqrt{\pi}(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}$, $y=\frac{\sqrt{\pi}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}$

 

Комментариев - 6

  • вася
    |

    задача под номером 8 дви по математике 2017 решена неверно, т.к. применяя формулу 1+тангенс в квадрате, в скобках второе слагаемое будет со знаком плюс, следовательно и получится, что слагаемые не взаимно уничтожаются, а получается 2/косинус в квадрате

    Ответить
    • Анна
      |

      Верно решена. Опечатка выше строкой. Исправила, спасибо.

      Ответить
  • Марина
    |

    Почему в задаче 7 DM_|_AB, DK_|_AC, DN_|_BC?

    Ответить
    • Марина
      |

      DH – высота по условию. На рисунке обозначены двугранные углы из чего следует перпендикулярность.

      Ответить
  • Дарья
    |

    в задаче № 5 при рассмотрении треугольника DLO допущена ошибка в записи теоремы синусов.
    И часть данных из условия не использована.
    Довольно странно, что при этом получился верный ответ

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, ошибка есть. В ближайшее время я пересмотрю решение. Спасибо.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *