Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Математика

ДВИ в МГУ – 2017, математика, вариант 1

Предлагаю решение задач из ДВИ МГУ 2017 года по математике, вариант 1.


Задача 1. Какое число больше: \sqrt{\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}} или 3?

Переформулируем задачу, возведя все в квадрат. Что больше:

\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6} или 9?

Приведем левую часть к общему знаменателю:

    \[\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}=8+\frac{6}{7}+\frac{1}{6}=8+\frac{36+7}{42}=9\frac{1}{42}\]

Таким образом, число слева больше: \sqrt{\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}} > 3.

 

Задача 2. Известно, что a+b+c=5, ab+bc+ac=4. Найдите a^2+b^2+c^2.

Возведем в квадрат первую сумму:

    \[(a+b+c)^2=(a+b+c) (a+b+c)=25\]

    \[a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=25\]

    \[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=25\]

Подставляем 4 вместо суммы произведений:

    \[a^2+b^2+c^2+2\cdot4=25\]

    \[a^2+b^2+c^2 =17\]

Ответ: 17.

 

Задача 3. Решите уравнение:

    \[\sin 7x+ \sin 6x=\sin x\]

Перепишем:

    \[\sin 7x =\sin x-\sin 6x\]

Преобразуем разность синусов:

    \[\sin 7x =2\cos \frac{x+6x}{2}\sin \frac{x-6x}{2}\]

Левую часть представим как синус двойного аргумента:

    \[2\sin \frac{7x}{2}\cos \frac{7x}{2} =2\sin \frac{-5x}{2}\cos \frac{7x}{2}\]

Переносим влево:

    \[2\sin \frac{7x}{2}\cos \frac{7x}{2} -2\sin \frac{-5x}{2}\cos \frac{7x}{2}=0\]

Выносим за скобку общий множитель:

    \[2\cos \frac{7x}{2}\left(\sin \frac{7x}{2} -\sin \frac{-5x}{2}\right)=0\]

Тогда либо

    \[\cos \frac{7x}{2} =0~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Либо

    \[\sin \frac{7x}{2} -\sin \frac{-5x}{2}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Решаем (1)

    \[\frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k\]

    \[x=\frac{\pi  }{7}+\frac{2 \pi k}{7}\]

Решаем (2): преобразуем разность синусов.

    \[2\cos \frac{x}{2} \sin 3x =0\]

Либо \sin 3x =0, либо \cos \frac{x}{2}=0.

Тогда 3x=\pi k, x=\frac{\pi k}{3}

Или

    \[\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k\]

    \[x=\pi+ 2\pi k\]

Последнее решение попадает полностью в предыдущую серию, следовательно, ответ: x=\frac{\pi k}{3}, x=\frac{2k +1) \pi }{7}.

 

Задача 4. Решите неравенство:

    \[x^2\log^2_7 x+3\log^2_6 x \leqslant x \log_7 x \cdot \log_6 x^4\]

Вынесем степень 4 из подлогарифмического выражения. При этом не нужно ставить знак модуля, поскольку по ОДЗ x>0.

    \[x^2\log^2_7 x+3\log^2_6 x-4 x \log_7 x \cdot \log_6 x \leqslant 0\]

Разобьем последнее слагаемое таким образом:

    \[-4 x \log_7 x \cdot \log_6 x=- x \log_7 x \cdot \log_6 x-3 x \log_7 x \cdot \log_6 x\]

Вынесем общий множитель:

    \[x \log_7 x ( x \log_7 x-\log_6 x)-3\log_6 x(x \log_7 x -\log_6 x) \leqslant 0\]

    \[( x \log_7 x-\log_6 x)( x \log_7 x -3\log_6 x) \leqslant 0\]

Далее применим метод интервалов. Нам потребуются точки, в которых выражение слева меняет знак. Для их определения приравняем к нулю оба множителя по очереди.

Первый:

    \[x \log_7 x-\log_6 x=0\]

    \[x\frac{\log_6 x }{\log_6 7 }-\log_6 x=0\]

    \[\log_6 x (\frac{x}{\log_6 7 }-1)=0\]

Отсюда

    \[x =1\]

Или

    \[x=\log_6 7\]

Второй:

    \[x \log_7 x -3\log_6 x=0\]

    \[x\frac{\log_6 x }{\log_6 7 }-3\log_6 x=0\]

    \[\log_6 x (\frac{x}{\log_6 7 }-3)=0\]

Отсюда

    \[x =1\]

Или

    \[x=3\log_6 7\]

Справа от 1 и слева от найденных точек располагается точка a=\frac{6}{7}. Для определения знаков интервалов подставим ее в исходное неравенство:

    \[\frac{6^2}{7^2}\log^2_7 \frac{6}{7}+3\log^2_6 \frac{6}{7}-\frac{4\cdot6}{7}\log_7 \frac{6}{7}\cdot\log_6 \frac{6}{7}=\frac{6^2}{7^2}\log^2_7 \frac{6}{7}+3\log^2_6 \frac{6}{7}-\frac{24}{7}(\log_7  6- \log_7  7)( \log_6  6- \log_6  7)\]

Первые два слагаемых – квадраты, они положительны. Рассмотрим третье.

Выражение \log_7  6- \log_7  7 отрицательно, выражение \log_6  6- \log_6  7 – положительно. Их произведение отрицательно, но перед произведением тоже минус, поэтому сумма всех трех – положительна.

Расставляем знаки, помня, что 1 – корень четной кратности:

К задаче 4

Ответ: x \in  \{1\} \cup [\log_6 7; 3\log_6 7].

 

Задача 6. Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись 8 км, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил его по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули , что им до пункта B осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт C, Василий немедленно развернулся и помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
Решим задачу графически.

К задаче 6

Скорость катера Василия больше, график его движения – синяя ломаная. Сначала Василий движется по реке вниз, а после встречи с Григорием – против течения, поэтому наклон ломаной меняется: скорость уменьшилась. Но после разворота в пункте C Василий вновь спускается по течению, скорость такая же, как в начале: отрезки AM и OK параллельны. Таким образом, треугольники \triangle AMG и \triangle OLK подобны по двум углам (треугольники прямоугольные, \angle MAG=\angle OKL как накрестлежащие). Следовательно,

    \[\frac{OK }{AM}=\frac{LO }{MG}\]

Рассмотрим треугольники \triangle AMN и \triangle NOK. \angle MAN=\angle NKO, так как скорости катеров постоянны, и разность скоростей тоже, следовательно, постоянна:

    \[\angle MAN=\angle MAG-\angle NAG\]

    \[\angle OKN =\angle LKO-\angle LKN\]

Таким образом, треугольники \triangle AMN и \triangle NOK подобны, равенство двух углов мы доказали, два других угла – вертикальные). Из подобия треугольников следует, что

    \[\frac{OK }{AM}=\frac{NK}{AN}\]

Треугольник \triangle FKN подобен треугольнику \triangle ANE ( \angle NAG=\angle NKL как накрестлежащие), откуда

    \[\frac{FN}{NE}=\frac{NK}{AN}\]

Или

    \[\frac{FN}{NE}=\frac{OK }{AM}=\frac{LO }{MG}\]

Из условия следует, что длина отрезка MG=8 км. Также известно, что FN=\frac{1}{3}AB.

Поэтому

    \[LO=MG\cdot\frac{FN }{NE}=8\cdot\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{2}{3}AB}=8\cdot\frac{1}{2}=4\]

Ответ: 4 км.

Задача 7. Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена высота DH.Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \triangle HBC, \triangle HAC, \triangle HAB равны соответственно \frac{2}{9}, \frac{1}{3}, \frac{4}{9}, и что все три плоских угла при вершине D прямые.

За помощь в решении этой задачи благодарю Гилемханова Радифа Галиевича.

К задаче 7

Данная пирамида – кусок прямоугольного параллелепипеда. Обозначим ребра AD=a, BD=b, CD=c.  Обозначим также угол наклона грани ABD к основанию \alpha, угол наклона грани ADC к основанию \beta, а угол наклона грани BCD к основанию – \gamma. Тогда, если площадь основания S_{ABC}=S, то S_{ABD}=S\cos{\alpha}S_{ADС}=S\cos{\beta}S_{BCD}=S\cos{\gamma}.

Следовательно, \cos{\alpha}=\frac{S_{ABD}}{S}, \cos{\beta}=\frac{S_{ADС}}{S}, \cos{\gamma}=\frac{S_{BCD}}{S}.

Но, с другой стороны, S_{HBC}=S_{BCD}\cos{\gamma}S_{HAB}=S_{ABD}\cos{\alpha}S_{HAC}=S_{ACD}\cos{\beta}.

Тогда

    \[S_{BCD}^2=S_{HBC}\cdot S\]

    \[S_{ABD}^2=S_{HAB}\cdot S\]

    \[S_{ACD}^2=S_{HAC}\cdot S\]

Также можно записать, что

    \[S_{BCD}=\frac{bc}{2}\]

    \[S_{ABD}=\frac{ab}{2}\]

    \[S_{ACD}=\frac{ac}{2}\]

    \[S=S_{HBC}+S_{HAB}+S_{HAC}=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=1\]

Объем пирамиды равен V=\frac{1}{6}abc, возведем в квадрат:

    \[V^2=\frac{1}{36}a^2b^2c^2=\frac{1}{36}ab\cdot bc\cdot ac=\frac{1}{36}\cdot 2S_{ABD}\cdot 2S_{BCD} \cdot 2S_{ACD}=\frac{2}{9}\cdot S_{ABD}\cdot S_{BCD} \cdot S_{ACD}=\frac{2}{9}\cdot\sqrt{S_{HBC}\cdot S_{HAB}\cdot S_{HAC}\cdot S^3}\]

С учетом того, что S=1,

    \[V=\sqrt{\frac{2}{9}\sqrt{S_{HBC}\cdot S_{HAB}\cdot S_{HAC}}}=\sqrt{\frac{2}{9}\sqrt{\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{3}}}=\frac{2}{9}\sqrt[4]{\frac{2}{3}}\]

Ответ: V=\frac{2}{9}\sqrt[4]{\frac{2}{3}}.

Задача 8. Решите систему уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{x}{\cos(x^2-y^2)}-y\cdot \operatorname{tg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\\{ \frac{y}{\cos(x^2-y^2)}-x\cdot \operatorname{tg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\end{matrix}\]

Возведем оба уравнения в квадраты:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{x^2}{\cos^2(x^2-y^2)}-\frac{2x y\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)}{ \cos^2(x^2-y^2)} + y^2\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)=\frac{\pi}{2}}\\{ \frac{y^2}{\cos^2(x^2-y^2)}- \frac{2x y\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)}{ \cos^2(x^2-y^2)}+x^2\cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)=\frac{\pi}{3}}\end{matrix}\]

Вычтем уравнения:

    \[\frac{x^2-y^2}{\cos^2(x^2-y^2)}+(-x^2+y^2) \cdot \operatorname{tg^2}(x^2-y^2)= \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\]

Применяем формулу

    \[1+\operatorname{tg^2}{\alpha}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}\]

Тогда перепишем:

    \[(x^2-y^2)\left(\frac{1}{\cos^2(x^2-y^2)}- \frac{1}{\cos^2(x^2-y^2)}+1\right)= \frac{\pi}{6}\]

Или

    \[x^2-y^2=\frac{\pi}{6}\]

    \[x^2=\frac{\pi}{6}+y^2\]

Подставим это в систему:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{x}{\cos(\frac{\pi}{6})}-y\cdot \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\\{ \frac{y}{\cos(\frac{\pi}{6})}-x\cdot \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})=\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\end{matrix}\]

 

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{2x}{\sqrt{3}}-y\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\\{ \frac{2y}{\sqrt{3}}-x\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\end{matrix}\]

Домножим на \sqrt{3} для удобства восприятия:

    \[\begin{Bmatrix}{2x-y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}}\\{ 2y-x=\sqrt{\pi}}\end{matrix}\]

Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты:

    \[\begin{Bmatrix}{2x-y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}}\\{ 4y-2x=2\sqrt{\pi}}\end{matrix}\]

Складываем уравнения:

    \[3y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}+2\sqrt{\pi}\]

    \[y=\frac{\sqrt{\pi}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}\]

Тогда

    \[2x=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}+y=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}+\frac{\sqrt{\pi}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\pi}(4\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}\]

    \[x=\frac{\sqrt{\pi}(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}\]

Ответ: x=\frac{\sqrt{\pi}(2\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}, y=\frac{\sqrt{\pi}(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}

 

Комментариев - 6

  • вася
    |

    задача под номером 8 дви по математике 2017 решена неверно, т.к. применяя формулу 1+тангенс в квадрате, в скобках второе слагаемое будет со знаком плюс, следовательно и получится, что слагаемые не взаимно уничтожаются, а получается 2/косинус в квадрате

    Ответить
    • Анна
      |

      Верно решена. Опечатка выше строкой. Исправила, спасибо.

      Ответить
  • Марина
    |

    Почему в задаче 7 DM_|_AB, DK_|_AC, DN_|_BC?

    Ответить
    • Марина
      |

      DH – высота по условию. На рисунке обозначены двугранные углы из чего следует перпендикулярность.

      Ответить
  • Дарья
    |

    в задаче № 5 при рассмотрении треугольника DLO допущена ошибка в записи теоремы синусов.
    И часть данных из условия не использована.
    Довольно странно, что при этом получился верный ответ

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, ошибка есть. В ближайшее время я пересмотрю решение. Спасибо.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *