ДВИ в МГУ – 2017, математика, вариант 1

Предлагаю решение задач из ДВИ МГУ 2017 года по математике, вариант 1.

Задача 1. Какое число больше: или 3?

Переформулируем задачу, возведя все в квадрат. Что больше:

или 9?

Приведем левую часть к общему знаменателю:

   

Таким образом, число слева больше: .

 

Задача 2. Известно, что , . Найдите .

Возведем в квадрат первую сумму:

   

   

   

Подставляем 4 вместо суммы произведений:

   

   

Ответ: 17.

 

Задача 3. Решите уравнение:

   

Перепишем:

   

Преобразуем разность синусов:

   

Левую часть представим как синус двойного аргумента:

   

Переносим влево:

   

Выносим за скобку общий множитель:

   

Тогда либо

   

Либо

   

Решаем (1)

   

   

Решаем (2): преобразуем разность синусов.

   

Либо , либо .

Тогда ,

Или

   

   

Последнее решение попадает полностью в предыдущую серию, следовательно, ответ: , .

 

Задача 4. Решите неравенство:

   

Вынесем степень 4 из подлогарифмического выражения. При этом не нужно ставить знак модуля, поскольку по ОДЗ .

   

Разобьем последнее слагаемое таким образом:

   

Вынесем общий множитель:

   

   

Далее применим метод интервалов. Нам потребуются точки, в которых выражение слева меняет знак. Для их определения приравняем к нулю оба множителя по очереди.

Первый:

   

   

   

Отсюда

   

Или

   

Второй:

   

   

   

Отсюда

   

Или

   

Справа от 1 и слева от найденных точек располагается точка . Для определения знаков интервалов подставим ее в исходное неравенство:

   

Первые два слагаемых – квадраты, они положительны. Рассмотрим третье.

Выражение отрицательно, выражение – положительно. Их произведение отрицательно, но перед произведением тоже минус, поэтому сумма всех трех – положительна.

Расставляем знаки, помня, что 1 – корень четной кратности:

Ответ: .

Задача 5. Через вершины и треугольника проведена окружность, касающаяся прямых и . На этой окружности выбрана точка внутри треугольника, лежащая на расстоянии от прямой и на расстоянии от прямой . Найдите угол , если известно, что .

Введем обозначения. Пусть , а угол . Касание прямых и с окружностью произойдет в точках и соответственно. Отметим данные расстояния: , , , . Проведем радиусы окружности в точки касания, тогда , как радиус, проведенный в точку касания.

Рассмотрим рисунок. Угол , так как угол – угол между касательной и хордой, следовательно, он равен половине заключенной в этом угле дуги. Треугольник  – равнобедренный, он образован радиусами окружности. Следовательно, если мы проведем высоту в этом треугольнике, то она также будет медианой и биссектрисой. Тогда , .

В треугольнике

   

   

Тогда .

Для треугольника составим теорему синусов:

   

   

Следовательно,

   

А отрезок тогда

   

Проведем перпендикуляр к отрезку через точку . , . Cледовательно,

   

В треугольнике , прямоугольном, запишем теорему синусов:

   

Или, так как ,

   

Перепишем пропорцию иначе:

   

   

Откуда , , .

Ответ: .

Задача 6. Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта нужно добраться вниз по реке до пункта , причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта . Однако, промчавшись 8 км, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил его по старой дружбе довезти его до пункта . И хоть пункт Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули , что им до пункта осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт , Василий немедленно развернулся и помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами и , если известно, что оба катера пришли в пункт одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
Решим задачу графически.

Скорость катера Василия больше, график его движения – синяя ломаная. Сначала Василий движется по реке вниз, а после встречи с Григорием – против течения, поэтому наклон ломаной меняется: скорость уменьшилась. Но после разворота в пункте Василий вновь спускается по течению, скорость такая же, как в начале: отрезки и параллельны. Таким образом, треугольники и подобны по двум углам (треугольники прямоугольные, как накрестлежащие). Следовательно,

   

Рассмотрим треугольники и . , так как скорости катеров постоянны, и разность скоростей тоже, следовательно, постоянна:

   

   

Таким образом, треугольники и подобны, равенство двух углов мы доказали, два других угла – вертикальные). Из подобия треугольников следует, что

   

Треугольник подобен треугольнику ( как накрестлежащие), откуда

   

Или

   

Из условия следует, что длина отрезка км. Также известно, что .

Поэтому

   

Ответ: 4 км.

Задача 7. Из вершины на плоскость основания пирамиды опущена высота .Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников , , равны соответственно , , , и что все три плоских угла при вершине прямые.

За помощь в решении этой задачи благодарю Гилемханова Радифа Галиевича.

Данная пирамида – кусок прямоугольного параллелепипеда. Обозначим ребра , , .  Обозначим также угол наклона грани к основанию , угол наклона грани к основанию , а угол наклона грани к основанию – . Тогда, если площадь основания , то , , .

Следовательно, , , .

Но, с другой стороны, , , .

Тогда

   

   

   

Также можно записать, что

   

   

   

   

Объем пирамиды равен , возведем в квадрат:

   

С учетом того, что ,

   

Ответ: .

Задача 8. Решите систему уравнений:

   

Возведем оба уравнения в квадраты:

   

Вычтем уравнения:

   

Применяем формулу

   

Тогда перепишем:

   

Или

   

   

Подставим это в систему:

   

 

   

Домножим на для удобства восприятия:

   

Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты:

   

Складываем уравнения:

   

   

Тогда

   

   

Ответ: ,