Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение по окружности, Закон Кулона

Две задачи Всесибирской олимпиады по физике

Вот две задачи Всесибирской олимпиады. Они на разные темы, и попали в одну статью только благодаря единому их источнику. Очень рекомендую вам указанную олимпиаду. Есть архив заданий, по которым можно готовится к ней и другим олимпиадам. Автор решений обеих задач – Евгения Калинникова.

Задача 1. Три нити равной длины R связаны в одной точке O. На концах нитей – одноименные заряды 8Q, Q и q. Каковы расстояния между этими зарядами в равновесии, если заряд q пренебрежимо мал по сравнению с Q? Система находится на горизонтальной плоскости без трения.

Решение. Так как заряд q очень маленький, то заряды 8Q и Q будут друг от друга отталкиваться. Они расположатся на диаметре окружности радиуса R. Заряд q тоже будет лежать на этой же окружности, причем расстояния от него до зарядов Q и 8Q будут катетами прямоугольного треугольника, так как на диаметр обязан опираться именно прямой угол.

К задаче 1

Тогда тангенс угла \alpha может быть найден, с одной стороны, как

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{b}\]

А с другой стороны, из треугольника сил:

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{F_1}{F_2}\]

Где

    \[F_1=\frac{kqQ}{a^2}\]

    \[F_2=\frac{8kqQ}{b^2}\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{kqQ}{a^2}}{\frac{8kqQ}{b^2}}=\frac{b^2}{8a^2}\]

Тогда, приравнивая значения тангенсов, имеем:

    \[\frac{a}{b}=\frac{b^2}{8a^2}\]

Иначе говоря,

    \[\frac{b^3}{a^3}=8\]

    \[\frac{b}{a}=2\]

Но по теореме Пифагора

    \[a^2+b^2=4R^2\]

Или

    \[5a^2=R^2\]

    \[a=\frac{R}{\sqrt{5}}\]

    \[b=\frac{2R}{\sqrt{5}}\]

Ответ: a=\frac{R}{\sqrt{5}}, b=\frac{2R}{\sqrt{5}}.

Задача 2. На конец горизонтальной спицы надето небольшое кольцо, коэффициент трения его со спицей \mu. Спицу начинают вращать в горизонтальной плоскости, так что скорость конца с кольцом растет пропорционально времени по закону \upsilon=\alpha t, \alpha известно. На какой угол повернется спица к моменту срыва с нее кольца? Ускорение свободного падения g.

К задаче 2

На кольцо будут действовать силы: тяжести, трения, сила реакции опоры со стороны стержня (возникающая в ответ на силу тяжести) и сила реакции со стороны стержня, возникающая из-за неравномерного движения по окружности. Эта последняя лежит в плоскости вращения и направлена от нас за плоскость чертежа. Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ N_1=mg }\\{ N_2=ma_{\tau}}\\{ F_{tr}=ma_n}\\{F_{tr}=\mu N}\\{N=\sqrt{N_1^2+N_2^2}}\end{matrix}\]

F_{tr}=\mu N – справедливо на момент начала скольжения.

Так как \upsilon=\alpha t, то тангенциальное ускорение a_{\tau}=\alpha.

Тогда для момента начала движения

    \[\mu\sqrt{m^2g^2+m^2\alpha^2}=\frac{m\upsilon^2}{R}\]

Откуда

    \[\upsilon^2=\mu\sqrt{g^2+\alpha^2}\]

Теперь обратимся к углу:

    \[S=\frac{\upsilon^2}{2\alpha}=\varphi R\]

    \[\varphi=\frac{\upsilon^2}{2R\alpha}=\frac{\mu\sqrt{g^2+\alpha^2}}{2R\alpha}\]

Ответ: \varphi=\frac{\mu\sqrt{g^2+\alpha^2}}{2R\alpha}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *