Две задачи Всесибирской олимпиады по физике

Вот две задачи Всесибирской олимпиады. Они на разные темы, и попали в одну статью только благодаря единому их источнику. Очень рекомендую вам указанную олимпиаду. Есть архив заданий, по которым можно готовится к ней и другим олимпиадам. Автор решений обеих задач – Евгения Калинникова.

Задача 1. Три нити равной длины $R$ связаны в одной точке $O$ . На концах нитей – одноименные заряды $8Q, Q$ и $q$ . Каковы расстояния между этими зарядами в равновесии, если заряд $q$ пренебрежимо мал по сравнению с $Q$ ? Система находится на горизонтальной плоскости без трения.

Решение. Так как заряд $q$ очень маленький, то заряды $8Q$ и $Q$ будут друг от друга отталкиваться. Они расположатся на диаметре окружности радиуса $R$ . Заряд $q$ тоже будет лежать на этой же окружности, причем расстояния от него до зарядов $Q$ и $8Q$ будут катетами прямоугольного треугольника, так как на диаметр обязан опираться именно прямой угол.

К задаче 1

Тогда тангенс угла $\alpha$ может быть найден, с одной стороны, как

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{b}$

А с другой стороны, из треугольника сил:

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{F_1}{F_2}$

Где

$F_1=\frac{kqQ}{a^2}$

$F_2=\frac{8kqQ}{b^2}$

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{kqQ}{a^2}}{\frac{8kqQ}{b^2}}=\frac{b^2}{8a^2}$

Тогда, приравнивая значения тангенсов, имеем:

$\frac{a}{b}=\frac{b^2}{8a^2}$

Иначе говоря,

$\frac{b^3}{a^3}=8$

$\frac{b}{a}=2$

Но по теореме Пифагора

$a^2+b^2=4R^2$

Или

$5a^2=R^2$

$a=\frac{R}{\sqrt{5}}$

$b=\frac{2R}{\sqrt{5}}$

Ответ: $a=\frac{R}{\sqrt{5}}$ , $b=\frac{2R}{\sqrt{5}}$ .

Задача 2. На конец горизонтальной спицы надето небольшое кольцо, коэффициент трения его со спицей $\mu$ . Спицу начинают вращать в горизонтальной плоскости, так что скорость конца с кольцом растет пропорционально времени по закону $\upsilon=\alpha t$ , $\alpha$ известно. На какой угол повернется спица к моменту срыва с нее кольца? Ускорение свободного падения $g$ .

К задаче 2

На кольцо будут действовать силы: тяжести, трения, сила реакции опоры со стороны стержня (возникающая в ответ на силу тяжести) и сила реакции со стороны стержня, возникающая из-за неравномерного движения по окружности. Эта последняя лежит в плоскости вращения и направлена от нас за плоскость чертежа. Тогда

$\begin{Bmatrix}{ N_1=mg }\\{ N_2=ma_{\tau}}\\{ F_{tr}=ma_n}\\{F_{tr}=\mu N}\\{N=\sqrt{N_1^2+N_2^2}}\end{matrix}$