Две задачи о растяжении пружин в системах грузов

Задача 1. Система из трех грузов массами $m, M$ и $3m$ , скрепленная двумя легкими пружинами жесткостью $k=56$ Н/м каждая, подвешивается один раз за груз $m$ , а другой – за груз $3m$ . В первом случае длина системы оказалась на 14 см больше, чем во втором. Найти значение $m$ .

На обе пружинки действует сила тяжести, только на верхнюю – одна, а на нижнюю – другая. Нарисуем:

К задаче 1

Определим растяжения $\Delta x_1$ , $\Delta x_2$ , $\Delta x_3$ , $\Delta x_4$ , ведь при подвесе за другую точку эти величины будут разными. В первом случае верхняя пружинка:

$\Delta x_1=\frac{ F_1}{k}$

$F_1=(M+3m)g$

В первом случае нижняя пружинка:

$\Delta x_2=\frac{ F_2}{k}$

$F_2=3mg$

Во втором случае верхняя пружинка:

$\Delta x_3=\frac{ F_3}{k}$

$F_3=(M+m)g$

Во втором случае нижняя пружинка:

$\Delta x_4=\frac{ F_4}{k}$

$F_4=mg$

По условию, длина системы больше в первом случае, то есть

$\Delta x_1+\Delta x_2-0,14=\Delta x_3+\Delta x_4$

Подставляем и решаем:

$\frac{ (M+3m)g }{k}+\frac{ 3mg}{k}-0,14=\frac{ (M+m)g }{k}+\frac{ mg}{k}$

$\frac{ Mg+6mg }{k}-0,14=\frac{ Mg+2mg }{k}$

$\frac{ 4mg }{k}=0,14$

Откуда

$m=\frac{0,14k}{4g}=\frac{0,14\cdot56}{40}=0,196$

Ответ: $m=0,196$ кг или 196 г.

Задача 2. Система из трех грузов, расположенных вдоль одной прямой и скрепленных двумя одинаковыми легкими пружинами жесткостью 14 Н/м каждая, покоится на горизонтальной поверхности. Систему кладут на гладкую наклонную плоскость с углом наклона $\alpha=30^{\circ}$ , и удерживают в покое за груз $M$ . Длина всей системы увеличилась на 7 см. Найти значение $m$ .

На грузы действует только сила тяжести, так как по условию поверхность плоскости гладкая. Сначала пружины не растянуты – когда система лежит горизонтально. Потом, когда мы положим систему на наклонную плоскость, на пружинку 1 будут действовать грузы $2m$ и $3m$ , а на пружинку 2 – только $3m$ . Нарисуем чертеж: