Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила упругости

Две задачи о растяжении пружин в системах грузов

 

Задача 1. Система из трех грузов массами m, M и 3m, скрепленная двумя легкими пружинами жесткостью k=56 Н/м каждая, подвешивается один раз за груз m, а другой – за груз 3m. В первом случае длина системы оказалась на 14 см больше, чем во втором. Найти значение m.

На обе пружинки действует сила тяжести, только на верхнюю – одна, а на нижнюю – другая. Нарисуем:

К задаче 1

Определим растяжения \Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3, \Delta x_4, ведь при подвесе за другую точку эти величины будут разными. В первом случае верхняя пружинка:

    \[\Delta x_1=\frac{ F_1}{k}\]

    \[F_1=(M+3m)g\]

В первом случае нижняя пружинка:

    \[\Delta x_2=\frac{ F_2}{k}\]

    \[F_2=3mg\]

Во втором случае верхняя пружинка:

    \[\Delta x_3=\frac{ F_3}{k}\]

    \[F_3=(M+m)g\]

Во втором случае нижняя пружинка:

    \[\Delta x_4=\frac{ F_4}{k}\]

    \[F_4=mg\]

По условию, длина системы больше в первом случае, то есть

    \[\Delta x_1+\Delta x_2-0,14=\Delta x_3+\Delta x_4\]

Подставляем и решаем:

    \[\frac{ (M+3m)g }{k}+\frac{ 3mg}{k}-0,14=\frac{ (M+m)g }{k}+\frac{ mg}{k}\]

    \[\frac{ Mg+6mg }{k}-0,14=\frac{ Mg+2mg }{k}\]

    \[\frac{ 4mg }{k}=0,14\]

Откуда

    \[m=\frac{0,14k}{4g}=\frac{0,14\cdot56}{40}=0,196\]

Ответ: m=0,196 кг или 196 г.

 

Задача 2. Система из трех грузов, расположенных вдоль одной прямой и скрепленных двумя одинаковыми легкими пружинами жесткостью 14 Н/м каждая, покоится на горизонтальной поверхности. Систему кладут на гладкую наклонную плоскость с углом наклона \alpha=30^{\circ}, и удерживают в покое за груз M. Длина всей системы увеличилась на 7 см. Найти значение m.

На грузы действует только сила тяжести, так как по условию поверхность плоскости гладкая.  Сначала  пружины не растянуты – когда система лежит горизонтально. Потом, когда мы положим систему на наклонную плоскость, на пружинку 1 будут действовать грузы 2m и 3m, а на пружинку 2 – только 3m. Нарисуем чертеж:

К задаче 2

Введем систему координат так, чтобы ось y была перпендикулярна к плоскости, а ось x – совпадала бы с ней. Тогда на первую пружину действует сила

    \[F_1=5m g \sin{\alpha}\]

А на вторую

    \[F_2=3 m g \sin{\alpha}\]

Тогда растяжение первой пружины

    \[\Delta x_1=\frac{ F_1}{k}\]

А второй

    \[\Delta x_2=\frac{ F_2}{k}\]

По условию, длина системы увеличилась на 7 см, то есть

    \[\Delta l=\Delta x_1+\Delta x_2=\frac{ F_1}{k}+\frac{ F_2}{k}=\frac{ 5m g \sin{\alpha}}{k}+\frac{ 3m g \sin{\alpha}}{k}=\frac{8m g \sin{\alpha}}{k}\]

Откуда

    \[m=\frac{\Delta l  k}{8 g \sin{\alpha}}=\frac{0,07\cdot 14}{8\cdot10\cdot\frac{1}{2}}=0,0245\]

Ответ: m=0,0245 кг, или 24,5 г

Кстати, легко определить, на какую величину растянется каждая из пружин:

Первая:

    \[\Delta x_1=\frac{ 5m g \sin{\alpha}}{k}=\frac{ 5\cdot0,0245\cdot10\cdot0,5}{14}=0,04375\]

Вторая:

    \[\Delta x_2=\frac{ 3m g \sin{\alpha}}{k}=\frac{ 3\cdot0,0245\cdot10\cdot0,5}{14}=0,02625\]

В сумме эти две величины как раз дают 7 см.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *