Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости, Потенциал

Две задачи на анализ RC – цепи

Сегодня разберем решение двух задач с конденсаторами. Задачи несложные, цель состоит в правильном (для ЕГЭ) оформлении решения.

Задача 1. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, к конденсаторам емкостью C_1=1 мкФ и C_2=2 мкФ подключена цепочка из двух последовательно соединенных батареек с \varepsilon_1=3 В и \varepsilon_2=9 В. Найдите разность потенциалов между точками A и B, если до сборки цепи конденсаторы были не заряжены.

Рисунок к задаче 1

Обозначаем потенциалы точек A и B как \varphi_A и \varphi_B соответственно. Тогда

    \[\Delta \varphi_{AB}=\varphi_B -\varphi_A\]

Предположим, что полярность такая, как на рисунке:

К задаче 1 – анализ

Тогда потенциал точки F больше потенциала точки A ровно на \varepsilon_1:

    \[\varphi_F=\varphi_A+\varepsilon_1\]

Таким же будет и потенциал точки E.

Потенциал точки M меньше потенциала точки B ровно на \varepsilon_2:

    \[\varphi_M=\varphi_B-\varepsilon_2\]

Таким же будет и потенциал точки N.

По закону сохранения заряда

    \[C_1(\varphi_A-(\varphi_B-\varepsilon_2))=C_2(\varphi_B-(\varphi_A+\varepsilon_1))\]

    \[C_1\varphi_A- C_1 (\varphi_B-\varepsilon_2)=C_2\varphi_B- C_2 (\varphi_A+\varepsilon_1)\]

    \[C_1\varphi_A- C_1 \varphi_B+ C_1 \varepsilon_2=C_2\varphi_B- C_2 \varphi_A-C_2\varepsilon_1\]

    \[-C_1(\varphi_B - \varphi_A)+ C_1 \varepsilon_2=C_2(\varphi_B - \varphi_A)-C_2\varepsilon_1\]

    \[(C_2+C_1)(\varphi_B - \varphi_A)= C_1 \varepsilon_2+C_2\varepsilon_1\]

    \[\Delta \varphi_{AB}=\varphi_B -\varphi_A=\frac{ C_1 \varepsilon_2+C_2\varepsilon_1}{ C_1+C_2}=\frac{2\cdot3+1\cdot9}{3}=5\]

При оформлении в последней строке обязательно указывать единицы измерения, поскольку расчет произведен не в системе СИ.

Ответ: 5 В.

 

Задача 2. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, ключ К замкнут продолжительное время. \varepsilon=2 В, r=100 Ом, C=0,1 мкФ, R=4 кОм.

Ключ K размыкают. Какое количество теплоты выделится в цепи после этого?

К задаче 2

Решение. Ток в цепи будет протекать в контуре ЭДС – R. Он будет равен по закону Ома для полной цепи

    \[I=\frac{\varepsilon }{r+R}\]

И по закону Ома для участка цепи создаст падение напряжения на резисторе R

    \[U_R=IR=\frac{\varepsilon \cdot R}{r+R}\]

Так как резистор и конденсатор соединены параллельно, то

    \[U_C=U_R=\frac{\varepsilon \cdot R}{r+R}\]

Тогда энергия электрического поля, запасенная конденсатором, равна

    \[W_C=\frac{CU^2}{2}=\frac{C \varepsilon^2 \cdot R^2}{2(r+R)^2}\]

Сразу после размыкания ключа напряжение и заряд на конденсаторе скачком не изменятся.

Когда наступит новый установившийся режим, тока в цепи не будет и новое напряжение на конденсаторе будет равно

    \[U_C^{*}=\varepsilon\]

А новая энергия конденсатора будет равна

    \[W^{*}=\frac{C\varepsilon^2}{2}\]

Отметим, что напряжение U_C<\varepsilon, значит, первоначальный заряд на конденсаторе меньше, чем установившийся в конце процесса.

    \[q<q^{*}\]

Заряд на верхней обкладке стал больше, а значит, притек через источник и источник совершил работу по перемещению этого заряда. Работа эта положительна, так как заряд перемещался в направлении действия сторонних сил в источнике. По закону сохранения энергии

    \[A_{cm}= W^{*}-W_C+Q\]

    \[A_{cm}=\varepsilon \cdot \Delta q=\varepsilon(C\varepsilon-CU_C)\]

    \[C\varepsilon-CU_C=\frac{C\varepsilon^2}{2}-\frac{C\varepsilon^2 R^2}{2(R+r)^2}+Q\]

Откуда

    \[C\varepsilon \left(\varepsilon-\frac{\varepsilon R}{R+r}\right)=\frac{1}{2}C\varepsilon^2\left(1-\frac{R^2}{(R+r)^2}\right)+Q\]

    \[\frac{C\varepsilon^2 r}{R+r}=\frac{C\varepsilon^2}{2}\left(1-\frac{R^2}{(R+r)^2}\right)+Q\]

    \[\frac{C\varepsilon^2 r}{R+r}=\frac{C\varepsilon^2}{2}\frac{(R+r+R)(R+r-R)}{(R+r)^2}+Q\]

    \[\frac{2C\varepsilon^2 r(R+r)}{2(R+r)^2}-\frac{C\varepsilon^2}{2}\frac{(2R+r)r}{(R+r)^2}=Q\]

И, наконец,

    \[Q=\frac{ C\varepsilon^2 r^2}{2(R+r)^2}=\frac{ 0,1\cdot10^{-6}\cdot 2^2 \cdot 100^2}{2(4000+100)^2}=11,8\cdot10^{-11}\]

Ответ: 0,118 нДж

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *