Две сложные планиметрические задачи из части В

Задачи достаточно интересные. Первая заставила подумать над решением, вторая – над условием. Интересны они также тем, что присутствуют в части В – под номером 6, для которого в целом являются необычными.

Задача 1. В треугольнике $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , в котором угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , проведена медиана $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найдите угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , ответ дайте в градусах.

К задаче 1

Решение. Определим угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Такие углы – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – наталкивают на построение высоты треугольника. Построим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , которая разобьет треугольник на два: равнобедренный $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с углом в $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Против угла в $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ лежит катет, который вдвое короче гипотенузы. Поэтому $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – правильный. А треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – равнобедренный, и, так как угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – то угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 2. Средняя линия треугольника образует со стороной углы, которые в три раза больше углов треугольника при этой стороне. Найдите углы треугольника.

К задаче 2

Рассмотрим треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и его среднюю линию $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Пусть $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Пусть $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тогда, чтобы условие было до конца соблюдено, то $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда, так как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ (как односторонние), то $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда углы треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .