Две сложные планиметрические задачи из части В

Задачи достаточно интересные. Первая заставила подумать над решением, вторая – над условием. Интересны они также тем, что присутствуют в части В – под номером 6, для которого в целом являются необычными.

Задача 1. В треугольнике $ABC$ , в котором угол $\angle A=30^{\circ}$ и $\angle B=105^{\circ}$ , проведена медиана $CM$ . Найдите угол $\angle MCA$ , ответ дайте в градусах.

К задаче 1

Решение. Определим угол $\angle C$ :

$\angle C=180^{\circ}-105^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$

Такие углы – $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ – наталкивают на построение высоты треугольника. Построим $BH$ , которая разобьет треугольник на два: равнобедренный $BHC$ и треугольник $ABH$ с углом в $30^{\circ}$ . Против угла в $30^{\circ}$ лежит катет, который вдвое короче гипотенузы. Поэтому $BM=BH=HC=MH$ , треугольник $BMH$ – правильный. А треугольник $MHC$ – равнобедренный, и, так как угол $\angle MHB=60^{\circ}$ – то угол $\angle MHС=150^{\circ}$ , и $\angle MCA=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}$ .

Ответ: $\angle MCA=15^{\circ}$ .

Задача 2. Средняя линия треугольника образует со стороной углы, которые в три раза больше углов треугольника при этой стороне. Найдите углы треугольника.

К задаче 2

Рассмотрим треугольник $ABC$ и его среднюю линию $ME$ . Пусть $\angle BEM=x$ и $\angle CEM=y$ . Пусть $\angle ABC=\frac{x}{3}$ , тогда, чтобы условие было до конца соблюдено, то $y=3x$ . Тогда, так как $x+y=180^{\circ}$ (как односторонние), то $4x=180^{\circ}$ , $x=45^{\circ}$ . Тогда углы треугольника $\angle ACB=45^{\circ}$ , $\angle ABC=15^{\circ}$ , $\angle BAC=180{\circ}-45^{\circ}-15^{\circ}=120^{\circ}$ .