Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс, 9 класс

Две сложные планиметрические задачи из части В

Задачи достаточно интересные. Первая заставила подумать над решением, вторая – над условием. Интересны они также тем, что присутствуют в части В – под номером 6, для которого в целом являются необычными.

Задача 1. В треугольнике ABC, в котором угол \angle A=30^{\circ} и  \angle B=105^{\circ}, проведена медиана CM. Найдите угол \angle MCA, ответ дайте в градусах.

К задаче 1

Решение. Определим угол \angle C:

    \[\angle C=180^{\circ}-105^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}\]

Такие углы – 30^{\circ} и 45^{\circ} – наталкивают на построение высоты треугольника. Построим BH, которая разобьет треугольник на два: равнобедренный BHC и треугольник ABH с углом в 30^{\circ}. Против угла в 30^{\circ} лежит катет, который вдвое короче гипотенузы. Поэтому BM=BH=HC=MH, треугольник BMH – правильный. А треугольник MHC – равнобедренный, и, так как угол \angle MHB=60^{\circ} – то угол \angle MHС=150^{\circ}, и \angle MCA=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}.

Ответ: \angle MCA=15^{\circ}.

 

 

 

Задача 2. Средняя линия треугольника образует со стороной углы, которые в три раза больше углов треугольника при этой стороне. Найдите углы треугольника.

К задаче 2

Рассмотрим треугольник ABC и его среднюю линию ME. Пусть \angle BEM=x и \angle CEM=y. Пусть \angle ABC=\frac{x}{3}, тогда, чтобы условие было до конца соблюдено, то y=3x. Тогда, так как x+y=180^{\circ} (как односторонние), то 4x=180^{\circ}, x=45^{\circ}. Тогда углы треугольника \angle ACB=45^{\circ}, \angle ABC=15^{\circ}, \angle BAC=180{\circ}-45^{\circ}-15^{\circ}=120^{\circ}.

Ответ: 45^{\circ}, 15^{\circ}, 120^{\circ}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *