Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Две мудреные задачки по геометрии

В этой статье предлагаю две интересные задачи, которые подходят для подготовки к 26 задаче ОГЭ. Задачи сложные. Но для продвинутых – самое то!

Задача 1. На дуге , не содержащей точки , окружности, описанной около треугольника , выбрана точка . Прямая пересекается с прямой в точке , а прямая с прямой в точке . Известно, что , , . Найдите .

К задаче 1

Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам, один () – общий, второй помечен фиолетовой дугой. Поэтому

   

Перепишем пропорцию:

   

Следовательно, подобны и треугольники и (по общему углу и двум пропорциональным сторонам). Тогда

   

Треугольники и также подобны по двум углам, тогда для них

   

Следовательно, .

Ответ: .

Задача 2. В треугольнике угол – прямой, – высота. Биссектрисы углов и пересекаются в точке , а биссектрисы углов и – в точке . Найдите длину отрезка , если , .

К задаче 2

Так как и – биссектрисы, то обозначим углы, на которые они делят углы и и и сразу обозначим все такие углы на рисунке. Отсюда сразу видно, что угол равен .

Теперь найдем длины сторон треугольника . Для этого определим длины отрезков и . По свойству биссектрисы для :

   

Треугольник – египетский, его биссектриса равна 10. Тогда

   

Но , тогда

   

   

И .

По свойству биссектрисы для :

   

Тогда

   

Но , тогда

   

   

И .

Определим тангенсы углов и . Из треугольника

   

Из треугольника

   

Треугольник – прямоугольный. Это следует из суммы его острых углов. Поэтому

   

И

   

   

   

Треугольник – прямоугольный. Это также следует из суммы его острых углов. Поэтому

   

И

   

   

   

Теперь применим теорему косинусов для треугольника :

   

   

   

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *