Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Две мудреные задачки по геометрии

В этой статье предлагаю две интересные задачи, которые подходят для подготовки к 26 задаче ОГЭ. Задачи сложные. Но для продвинутых – самое то!

Задача 1. На дуге BC, не содержащей точки A, окружности, описанной около треугольника ABC, выбрана точка M. Прямая MA пересекается с прямой BC в точке L, а прямая CM с прямой AB в точке K. Известно, что AL=6, BK=4, CK=12. Найдите BL.

К задаче 1

Рассмотрим треугольники KBC и KAM. Они подобны по двум углам, один (K) – общий, второй помечен фиолетовой дугой. Поэтому

    \[\frac{AK}{CK}=\frac{KM}{BK}\]

Перепишем пропорцию:

    \[\frac{AK}{ KM }=\frac{ CK }{BK}=3\]

Следовательно, подобны и треугольники KBM и KBC (по общему углу и двум пропорциональным сторонам). Тогда

    \[\frac{AC}{BM}=3\]

Треугольники BML и ALC также подобны по двум углам, тогда для них

    \[\frac{AC}{BM}=\frac{AL}{BL}=3\]

Следовательно, BL=\frac{AL}{3}=2.

Ответ: BL=2.

Задача 2. В треугольнике ABC угол C – прямой, CD – высота. Биссектрисы углов ABC и ACD пересекаются в точке M, а биссектрисы углов BAC и BCD – в точке N. Найдите длину отрезка MN, если AC=6, BC=8.

К задаче 2

Так как AM и BN – биссектрисы, то обозначим углы, на которые они делят углы CAB и CBA\alpha и \beta и сразу обозначим все такие углы на рисунке. Отсюда сразу видно, что угол MCN равен 45^{\circ}.

Теперь найдем длины сторон треугольника MCN. Для этого определим длины отрезков CT и CS. По свойству биссектрисы для BT:

    \[\frac{AT}{TC}=\frac{AB}{CB}\]

Треугольник ABC – египетский, его биссектриса равна 10. Тогда

    \[\frac{AT}{TC}=\frac{10x}{8x}\]

Но AT+CT=6, тогда

    \[10x+8x=6\]

    \[x=\frac{1}{3}\]

И CT=\frac{8}{3}.

По свойству биссектрисы для AS:

    \[\frac{BS}{CS}=\frac{AB}{AC}\]

Тогда

    \[\frac{BS}{CS}=\frac{10x}{6x}\]

Но BS+CS=8, тогда

    \[10x+6x=8\]

    \[x=\frac{1}{2}\]

И CS=3.

Определим тангенсы углов \alpha и \beta. Из треугольника ACS

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{CS}{AC}=\frac{1}{2}\]

Из треугольника BCT

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{CT}{CB}=\frac{1}{3}\]

Треугольник CMB – прямоугольный. Это следует из суммы его острых углов. Поэтому

    \[\frac{ CM }{ BM }=\operatorname{tg}{\beta}=\frac{1}{3}\]

И

    \[CM^2+BM^2=CB^2\]

    \[CM^2+(3CM)^2=64\]

    \[CM=\frac{8}{\sqrt{10}}\]

Треугольник ACN – прямоугольный. Это также следует из суммы его острых углов. Поэтому

    \[\frac{ CN }{ AN }=\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{1}{2}\]

И

    \[AN^2+CN^2=AC^2\]

    \[(2CN)^2 +CN^2=36\]

    \[CN=\frac{6}{\sqrt{5}}\]

Теперь применим теорему косинусов для треугольника CMN:

    \[MN^2=CM^2+CN^2-2\cdotCN\cdot CM\cdot\cos{\angle MCN}\]

    \[MN^2=\frac{64}{10}+\frac{36}{5}-2\frac{8}{\sqrt{10}}\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\]

    \[MN=2\]

Ответ: MN=2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *