Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7)), Экономическая задача (17)

Две интересные задачи на стыке 17 и 19

Задачи хорошие, годятся и как  как подготовка к задаче 19 профильного ЕГЭ, и как подготовка к задачам на оптимальный выбор. Но больше это все-таки задачи на целые числа.

Задача 1. Фирма владеет торговыми палатками трех типов. В палатки первого типа завезли по 85 банок фанты и по 119 – пепси-колы, второго типа – 20 фанты и 31 пепси-колы, третьего типа – 30 фанты и 38 пепси-колы. Всего завезли 480 банок фанты и 659 – пепси-колы. Сколько палаток каждого типа имеет фирма, если общее их число не превосходит 13?

Решение. Пусть у фирмы a палаток первого типа, b – второго и c – третьего. Тогда общее число банок фанты равно

    \[85a+20b+30c=480\]

А пепси-колы

    \[119a+31b+38c=659\]

Первое из этих уравнений делится на 5. Получится:

    \[17a+4b+6c=96\]

И тут мы замечаем, что a – четное! Тогда, если a=2, то

    \[34+4b+6c=96\]

    \[4b+6c=62\]

    \[2b+3c=31\]

Тогда возможны пары: b=8, c=5 – не удовлетворяет второму уравнению; b=2, c=9 – аналогично; b=5, c=7 – удовлетворяет второму уравнению!

Но по условию палаток – не больше 13. А у нас вышло 14. Тогда пробуем a=4. Если a=4, то

    \[68+4b+6c=96\]

    \[4b+6c=28\]

    \[2b+3c=14\]

Тогда возможны пары: b=4, c=2 – не удовлетворяет второму уравнению; b=1, c=4 –  удовлетворяет второму уравнению! И по числу палаток подходит – всего 9 штук.

Ответ: 4 палатки первого типа, 1 – второго и 4 – третьего, всего 9 палаток.

 

Задача 2. Две бригады каменщиков выложили по одинаковой стенке. Вторая бригада работала на полтора часа больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 6 часов раньше. Определить число рабочих в каждой бригаде, если производительность у них одинакова.

Решение. Пусть первая бригада состоит из n человек, и работает t часов. Тогда вторая бригада работает t+1,5 часов, и пусть состоит она из m человек. Следовательно,

    \[nt=m(t+1,5)=(n+5)(t-6)\]

    \[nt=nt-6n+5t-30\]

    \[n=\frac{5t-30}{6}\]

    \[t>6\]

Если t=12, n=5, то nt=60=m\cdot 13,5, m–  не целое.

Если t=18, n=10, то nt=180=m\cdot 19,5, m–  не целое.

Если t=24, n=15, то nt=360=m\cdot 25,5, m–  не целое.

Если t=30, n=20, то nt=600=m\cdot 31,5, m–  не целое.

Если t=36, n=25, то nt=900=m\cdot 37,5, m=24–  целое.

Таким образом, m=24, n=25.

Ответ: m=24, n=25.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *