Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Две интересные стереометрические задачи

В этой статье я привела решения двух задач по стереометрии. Задачи принес ученик, поэтому источника не знаю.

 

Задача 1. Дана треугольная пирамида MABC с основанием ABC, в которой AB=13, BC=14, AC=15. Расстояния от точки M до AB, BC и  AC одинаково и равно 5. Найти радиус вписанной в эту пирамиду сферы.

Решение. Воспользуемся довольно редко используемым, но очень полезным соотношением:

    \[r=\frac{3V}{S}\]

Где r – радиус вписанной сферы, V – объем пирамиды, S – аолная площадь поверхности пирамиды.

Начнем с полной поверхности пирамиды. Расстояния от точки M до AB, BC и  AC – не что иное, как длина апофем. Поэтому площадь боковой поверхности пирамиды

    \[S_{bok}=\frac{AB\cdot d}{2}+\frac{BC\cdot d}{2}+\frac{AC\cdot d}{2}=p\cdot d=\frac{13+14+15}{2}\cdot5=105\]

Площадь основания определим по формуле Герона:

    \[S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}= \sqrt{3\cdot7\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=7 \cdot 3 \cdot 4=84\]

Полная площадь поверхности пирамиды равна

    \[S= S_{bok}+ S_{ABC}=105+84=189\]

Так как апофемы одинаковы, то центр пирамиды проецируется в центр вписанной в основание пирамиды окружности (треугольники MOF, MOD, MEO равны по гипотенузе и катету). Радиус этой вписанной окружности

    \[r_o=OF=OE=OD=\frac{ S_{ABC}}{p}=4\]

Рисунок к первой задаче

Таким образом, высота пирамиды MO может быть найдена как

    \[MO=\sqrt{MF^2-OF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\]

Определяем объем пирамиды:

    \[V=\frac{1}{3}\cdot MO\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 84=84\]

И, наконец, можем найти радиус вписанной сферы:

    \[r=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot84}{189}=\frac{4}{3}\]

Ответ: r=\frac{4}{3}.

 

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде центр вписанной в нее сферы делит высоту в отношении m:n, считая от вершины. Найти угол между боковыми гранями.

Рисунок ко второй задаче

Решение. Если сфера вписана в пирамиду, то она касается всех ее граней. Рассмотрим осевое сечение пирамиды.

Осевое сечение

Треугольники SOH и SPK подобны. Пусть сторона основания пирамиды a, высота – H. Тогда OH=\frac{a}{2},

    \[SH=\sqrt{SO^2+OH^2}\]

Для указанных подобных треугольников составим отношение сходственных сторон:

    \[\frac{PK}{PS}=\frac{OH}{SH}\]

Перепишем с четом PO=PK:

    \[\frac{PO}{PS}=\frac{n}{m}=\frac{OH}{SH}\]

    \[\frac{n}{m}=\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{H^2+\frac{a^2}{4}}}\]

Теперь поработаем с этим равенством, выразим из него высоту пирамиды.

    \[\frac{n^2}{m^2}=\frac{\frac{a^2}{4}}{H^2+\frac{a^2}{4}}\]

    \[H^2+\frac{a^2}{4}=\frac{m^2 a^2}{4n^2}\]

    \[H^2=\frac{m^2 a^2}{4n^2}-\frac{a^2}{4}\]

    \[H^2=\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)\]

Определим площадь боковой грани, например, CSB.

    \[S_{CSB}=\frac{a\cdot SH}{2}\]

    \[SH^2=\frac{a^2}{4}+H^2\]

    \[S_{CSB}=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2}{4}+H^2}=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}\]

    \[S_{CSB}=\frac{a}{2}\cdot\sqrt{\frac{m^2 a^2}{4n^2}}=\frac{a}{2}\cdot\frac{m a}{2n}=\frac{a^2m}{4n}\]

Теперь, чтобы найти угол между гранями – угол DLB – рассмотрим треугольник DLB. Нам понадобится рассчитать его по теореме косинусов, а для этого надо знать его сторону DL. DL – высота, проведенная в грани DSC к SC. Найдем ее через площадь боковой грани, которую мы нашли ранее. В треугольнике SOC SC:

    \[SC^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2\]

    \[SC=\sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)+ \frac{a^2}{2}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}\]

Теперь определим DL:

    \[2S_{DSC}=\frac{a^2m}{2n}=DL\cdot SC\]

    \[DL=\frac{\frac{a^2m}{2n}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}}\]

    \[DL=\frac{am}{n\sqrt{\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}}=\frac{am}{\sqrt{m^2-n^2}}\]

Наконец, для расчета собственно угла применяем к треугольнику DBL теорему косинусов:

    \[DB^2=2DL^2-2DL^2\cos\alpha\]

    \[(a\sqrt{2})^2=\frac{2a^2 m^2}{m^2-n^2}\cdot(1-\cos\alpha)\]

    \[1 -\cos\alpha=\frac{m^2-n^2}{m^2}=1-\frac{n^2}{m^2}\]

    \[\cos\alpha=\frac{n^2}{m^2}\]

Ответ: \alpha=\arccos\left(\frac{n^2}{m^2}\right)

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *