Два уравнения с параметрами

При решении одного из представленных уравнений используется монотонность функции, второе – использует свойства квадратного трехчлена и его корней. Чтобы правильно выбрать оптимальный путь решения задачи с параметрами, нужно иметь опыт решения подобных задач. Поэтому рецепт один: решать.

Задача 1. При каком значении параметра решение уравнения

принадлежит отрезку ?

Решение: рассмотрим функцию . Она является возрастающей. Также, как и функция . А сумма двух возрастающих функций, как известно, тоже функция возрастающая. Следовательно, если такая функция пересекает ось , то единожды. Тогда осталось потребовать, чтобы значение функции в точке 1 было бы неположительно, а в точке 3 – неотрицательно: , .

Свойства функции

Подставим:

Ответ: .

Задача 2. При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных корня одного знака?

Уравнение квадратное (конечно, при условии ). Чтобы квадратное уравнение в принципе имело корни, необходимо, чтобы дискриминант был положителен . Как потребовать, чтобы оба корня были одного знака? Это очевидно: пусть их произведение будет положительным!

Решение первого неравенства системы: .

Решение второго неравенства: .

Накладывая решение одного неравенства на решение другого, получим: .

Не забудем про . При таком значении параметра уравнение перестает быть квадратным: , – единственный корень. Поэтому ответ:.