Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Два уравнения с параметрами

При решении одного из представленных уравнений используется монотонность функции, второе – использует свойства квадратного трехчлена и его корней. Чтобы правильно выбрать оптимальный путь решения задачи с параметрами, нужно иметь опыт решения подобных задач. Поэтому рецепт один: решать.

Задача 1. При каком значении параметра a решение уравнения

    \[4\sqrt[3]{3,5x-2,5}+3\log_2 (3x-1)+2a=0\]

принадлежит отрезку [1;3]?

Решение: рассмотрим функцию 4\sqrt[3]{3,5x-2,5}. Она является возрастающей. Также, как и функция 3\log_2 (3x-1). А сумма двух возрастающих функций, как известно, тоже функция возрастающая. Следовательно, если такая функция пересекает ось x, то единожды. Тогда осталось потребовать, чтобы значение функции в точке 1 было бы неположительно, а в точке 3 – неотрицательно: f(1)\leqslant 0, f(3)\geqslant 0.

Свойства функции

Подставим:

    \[4\sqrt[3]{3,5\cdot1-2,5}+3\log_2 (3\cdot 1-1)+2a=4\sqrt[3]{1}+3\log_2 2+2a\leqslant 0\]

    \[7+2a\leqslant 0\]

    \[a\leqslant -\frac{7}{2}\]

    \[4\sqrt[3]{3,5\cdot3-2,5}+3\log_2 (3\cdot 3-1)+2a=4\sqrt[3]{8}+3\log_2 8+2a\geqslant 0\]

    \[8+9+2a\geqslant 0\]

    \[a\geqslant -\frac{17}{2}\]

Ответ: a \in [-\frac{17}{2};-\frac{7}{2}].

 

Задача 2. При каких значениях параметра m уравнение

    \[(m+1)x^2-2mx+2m-2=0\]

имеет два различных корня одного знака?

Уравнение квадратное (конечно, при условии m\neq -1). Чтобы квадратное уравнение в принципе имело корни, необходимо, чтобы дискриминант был положителен D>0. Как потребовать, чтобы оба корня были одного знака? Это очевидно: пусть их произведение будет положительным!

    \[\begin{Bmatrix}{4m^2-4(m+1)(2m-2)>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{m^2-2m^2+2m-2m+2>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{-m^2+2>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{(\sqrt{2}-m)(\sqrt{2}+m)>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}\]

Решение первого неравенства системы: m \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}).

Решение второго неравенства: m \in (-\infty; -1) \cup (1;+\infty).

Накладывая решение одного неравенства на решение другого, получим: m \in (-\sqrt{2};-1) \cup (1;+ \sqrt{2}).

Не забудем про m= -1. При таком значении параметра уравнение перестает быть квадратным: 2x-4=0, x=2 – единственный корень. Поэтому ответ:m \in (-\sqrt{2};-1) \cup (1;+ \sqrt{2}).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *