Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила трения

Два тела сползают по наклонной плоскости

В задаче рассмотрено движение двух тел по наклонной плоскости. Массы тел разные, коэффициенты трения – тоже. Тела сначала соединяют жестким стержнем, а потом его заменяют на нить. Необходимо найти ускорения тел в обоих случаях.

Задача. С каким ускорением будут двигаться  по наклонной плоскости два тела массами m_1 и m_2 кг, соединенные друг с другом жестким легким стержнем? Коэффициенты трения между телами и поверхностью плоскости \mu_1=0,2 и \mu_2=0,1 соответственно. Угол наклона плоскости к горизонту \alpha=30^{\circ}. Как изменится ответ, если стержень заменить нитью?

В первом случае тела – почти одно целое. Но вот трутся о плоскость они все равно по-разному. Найдем силу трения обоих тел о плоскость. Для этого введем систему координат так, что ось x направлена вниз вдоль плоскости, а ось y – перпендикулярно поверхности плоскости вверх. Тогда разложим ускорение свободного падения по осям, как это показано на рисунке.

Рисунок

Тогда силы реакции опоры для обоих тел равны:

    \[N_1=m_1g \cos{\alpha}\]

    \[N_2=m_2g \cos{\alpha}\]

А силы трения, соответственно,

    \[F_{tr1}=\mu_1N_1=\mu_1m_1g \cos{\alpha}\]

    \[F_{tr2}=\mu_2N_2=\mu_2m_2g \cos{\alpha}\]

Теперь составим уравнение по второму закону по оси y:

    \[(m_1+m_2)a= m_1g \sin{\alpha}+ m_2g \sin{\alpha}- F_{tr1}- F_{tr2}\]

    \[(m_1+m_2)a= m_1g \sin{\alpha}+ m_2g \sin{\alpha}- \mu_1m_1g \cos{\alpha}- \mu_2m_2g \cos{\alpha}\]

    \[a=\frac{ g \sin{\alpha}(m_1+m_2)- g \cos{\alpha}(\mu_1m_1+\mu_2m_2)}{ m_1+m_2}\]

Если бруски будут связаны нитью, то второй станет двигаться быстрее (он тяжелее), и сначала (до того, как он догонит первый) его ускорение будет равно:

    \[m_1a_1= m_1g \sin{\alpha}- F_{tr1}\]

    \[m_1a_1= m_1g \sin{\alpha}-\mu_1m_1g \cos{\alpha}\]

    \[a_1= g \sin{\alpha}-\mu_1g \cos{\alpha}\]

И аналогично для первого тела:

    \[a_2= g \sin{\alpha}-\mu_2g \cos{\alpha}\]

Потом больший брусок догонит меньший и после этого их общее ускорение будет равно a, которое мы нашли в первой части решения.

Ответ: для случая со стержнем: a=\frac{ g \sin{\alpha}(m_1+m_2)- g \cos{\alpha}(\mu_1m_1+\mu_2m_2)}{ m_1+m_2}, для нити до соприкосновения  a_1= g \sin{\alpha}-\mu_1g \cos{\alpha}, a_2= g \sin{\alpha}-\mu_2g \cos{\alpha}, после соприкосновения a_3=a.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *