Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Параметры (18 (С5))

Два способа решения одной задачи с параметром

В этой статье предложены два способа решения одной и той же задачи с параметром, оба графические, но все же отличные. Выбирайте, который вам ближе.

При каком значении параметра уравнение

   

имеет три решения?

Первый способ решения. Выясняем точки изломов графиков, потом снимаем модули и смотрим, что выйдет.

Линии излома графика получим, приравняв к нулю подмодульные выражения:

   

   

   

Эти три прямые разбили плоскость на 6 областей, и на рисунке показано, с какими знаками будем снимать модули в каждой из них. Синим цветом показаны знаки первого модуля, красным – второго.

Рисунок 1. Знаки при снятии модулей.

а) Области, в которых оба «плюса»:

   

   

б) Области, в которых оба «минуса»:

   

   

в) Области, в которых первый «плюс», а второй  «минус»:

   

   

   

г) Области, в которых первый «минус», а второй  «плюс»:

   

   

Получили кусочки парабол, выясним, где находятся вершины.

а)

б)

в)

г)

Построим соответствующие параболы в их областях.

Рисунок 2. Все параболы на одной плоскости

Рисунок 3. Кусочки парабол существуют каждый в своей области

 

Теперь проводим горизонтальные прямые, ища три пересечения. Видим, что при будем иметь три пересечения горизонтальной прямой с системой из кусочков парабол, и при тоже получаем три общих точки: два пересечения и касание.

Рисунок 4. Определение значений параметра

Ответ: и .

Второй способ решения. Переносим все с параметром вправо, а все, что без – влево.

   

Построим то, что слева:

Рисунок 5. График функции, не содержащей параметр

Справа имеем график , но он подвижный. Вершина смещена на единиц по оси , и на по оси . Координаты вершинки «галочки» , . Тогда «галочка» смещается по прямой .

Рисунок 6. “Галочка” коснулась параболы

На рисунке показано положение «галочки», при котором пересечений ее с параболой три. Левое крыло «галочки» описывается формулой , и проходит через точку . Тогда, подставляя координаты в формулу, находим .

Второй случай трех пересечений – касание прямой и параболы. Прямая касается параболы , которая существует на интервале .

Рисунок 7. Второе касание

Раз есть касание, то точка общая:

   

   

Одна общая точка – следовательно, дискриминант равен нулю:

   

   

   

   

Ответ: и .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *