Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Два способа решения одной задачи с параметром

В этой статье предложены два способа решения одной и той же задачи с параметром, оба графические, но все же отличные. Выбирайте, который вам ближе.

При каком значении параметра a уравнение

    \[\mid x^2-2x-3 \mid -2a =\mid x-a \mid-1\]

имеет три решения?

Первый способ решения. Выясняем точки изломов графиков, потом снимаем модули и смотрим, что выйдет.

Линии излома графика получим, приравняв к нулю подмодульные выражения:

    \[x^2-2x-3=0\]

    \[x=3, x=-1\]

    \[x=a\]

Эти три прямые разбили плоскость на 6 областей. Покажем, какие знаки принимают подмодульные выражения в каждой из них. Синим цветом показаны знаки первого модуля, красным – второго. Сначала – парабола:

Рисунок 1.1

Теперь – прямая:

Рисунок 1.2

Наконец, накладываем друг на друга:

Рисунок 1.3

а) Области, в которых оба «плюса»:

    \[x^2-2x-3-2a =x-a -1\]

    \[x^2-3x-2=a\]

б) Области, в которых оба «минуса»:

    \[-x^2+3x+4 = 3a\]

    \[a=\frac{-x^2+3x+4 }{3}\]

в) Области, в которых первый «плюс», а второй  «минус»:

    \[x^2-2x-3-2a = a-x-1\]

    \[x^2-x-2= 3a\]

    \[a=\frac{x^2-x-2 }{3}\]

г) Области, в которых первый «минус», а второй  «плюс»:

    \[-x^2+2x+3-2a = x - a -1\]

    \[a=-x^2+x+4\]

Получили кусочки парабол, выясним, где находятся вершины.

а) (\frac{3}{2}; -\frac{17}{4})

б) (\frac{3}{2}; \frac{25}{12})

в) (\frac{1}{2}; -\frac{3}{4})

г) (\frac{1}{2}; \frac{17}{4})

Построим соответствующие параболы в их областях.

Рисунок 2. Все параболы на одной плоскости

Рисунок 3. Кусочки парабол существуют каждый в своей области

 

Теперь проводим горизонтальные прямые, ища три пересечения. Видим, что при a=0 будем иметь три пересечения горизонтальной прямой с системой из кусочков парабол, и при a=\frac{25}{12} тоже получаем три общих точки: два пересечения и касание.

Рисунок 4. Определение значений параметра

Ответ: a=0 и a=\frac{25}{12}.

Второй способ решения. Переносим все с параметром вправо, а все, что без – влево.

    \[\mid x^2-2x-3 \mid +1 =\mid x-a \mid+2a\]

Построим то, что слева: y=\mid x^2-2x-3 \mid +1

Рисунок 5. График функции, не содержащей параметр

Справа имеем график y=\mid x \mid, но он подвижный. Вершина смещена на a единиц по оси x, и на 2a по оси y. Координаты вершинки «галочки» x_0=a, y_0=2a. Тогда «галочка» смещается по прямой y=2x.

Рисунок 6. “Галочка” коснулась параболы

На рисунке показано положение «галочки», при котором пересечений ее с параболой три. Левое крыло «галочки» описывается формулой y=-x+3a, и проходит через точку (-1;1). Тогда, подставляя координаты в формулу, находим a=0.

Второй случай трех пересечений – касание прямой и параболы. Прямая y=-x+3a касается параболы y=-x^2+2x+4, которая существует на интервале [-1;3].

Рисунок 7. Второе касание

Раз есть касание, то точка общая:

    \[-x+3a=-x^2+2x+4\]

    \[x^2-3x-4+3a=0\]

Одна общая точка – следовательно, дискриминант равен нулю:

    \[D=9-4(3a-4)=0\]

    \[9-12a+16=0\]

    \[12a=25\]

    \[a=\frac{25}{12}\]

Ответ: a=0 и a=\frac{25}{12}.

 

Комментариев - 4

  • Zhen
    |

    Здравствуйте, не могу понять, почему в самом первом графике, где вы разбили плоскость на 6 областей, модули меняют знак именно так. Объясните, пожалуйста, подробнее!

    Ответить
    • Анна
      |

      Я добавила два рисунка и исправила неточности. Надеюсь, теперь лучше и понятнее.

      Ответить
      • Zhen
        |

        Извините, просто я очень тупой, пожалуйста, подскажите, верно ли я думаю:
        С первым модулем проблем нет. Я нашёл нули и правильно определил знаки модуля.
        Со вторым модулем х=а были проблемы.
        Значит нуль модуля будет при х=0 ? Тогда всё, что меньше нуля, переворачивает модуль, всё, что правее, – оставляет таким?
        Заранее спасибо!

        Ответить
        • Анна
          |

          Нуль модуля – точки, лежащие на прямой x=a.

          Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *