[latexpage]
Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе – просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал.
Задача 1. Решить неравенство
$$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+x^2}<(4x-1)\sqrt{4x^2-4x+2}$$
Заметим, что правая и левая части в некотором роде «похожи» – произведение корня и некоторой скобки.
Преобразуем немного:
$$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+\mid x \mid ^2}<(1-2 (1-2x))\sqrt{(1-2x)^2+1}$$
Пусть $t_1=\mid x\mid$, $t_2=1-2x$. Тогда справа и слева – одна и та же функция $f(t)=(1-2t)\sqrt{1+t^2}$.
Выясним, как ведет себя такая функция. Для этого продифференцируем ее:
$$f’(t)=-2\sqrt{1+t^2}+(1-2t)\cdot 0,5\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\cdot 2t=-2\sqrt{1+t^2}+\frac{t-2t^2}{\sqrt{1+t^2}}$$
Понятно, что производная отрицательна при любых $t$. Следовательно, функция убывает везде. Тогда
$$f(t_1)<f(t_2)$$
Означает, что
$$t_1>t_2$$
Тогда
$$\mid x\mid>1-2x$$
Это равносильно при $x\geqslant 0$
$$x>1-2x$$
$$3x>1$$
$$x>\frac{1}{3}$$
И при $x<0$
$$-x>1-2x$$
$$x>1$$
Что не соответствует условию раскрытия модуля. Поэтому решение –
$x>\frac{1}{3}$, что можно подтвердить графиком:

К задаче 1
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.
Задача 2. Решить неравенство
$$log_{\mid x\mid } (\sqrt{9-x^2}-x-1) \geqslant 1$$
Выпишем возможные ограничения:
$$\begin{Bmatrix}{ \mid x\mid >0}\\{\mid x\mid \neq 1}\\{ 9-x^2 \geqslant 0}\\{\sqrt{9-x^2}-x-1 >0}\end{matrix}$$
Из всего вышеприведенного следует:
$$\begin{Bmatrix}{ x \neq 0}\\{ x\neq \pm 1}\\{ -3\leqslant x \leqslant 3}\\{\sqrt{9-x^2} > x+1}\end{matrix}$$
Само неравенство преобразуем с помощью метода рационализации:
$$(\mid x\mid-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-\mid x\mid)\geqslant 0$$
Теперь, если $x>0$, то
$$\begin{Bmatrix}{ 9-x^2>x^2+2x+1}\\{ (x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-x) \geqslant 0}\end{matrix}$$
Решаем первое неравенство:
$$2x^2+2x-8<0$$
Или
$$x^2+x-4<0$$
Корни $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$
Решение (с учетом, что $x>0$) – $x \in (0; \frac{\sqrt{17}-1}{2})$.
Решаем второе:
$$(x-1)( \sqrt{9-x^2}-2x-1) \geqslant 0$$
$$x=1$$
$$\sqrt{9-x^2}=2x+1$$
$$9-x^2=4x^2+4x+1$$
$$5x^2+4x-8=0$$
Корни $x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{44}}{5}$
Решение (с учетом, что $x>0$) – $x \in [ \frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1)$.
Теперь возвращаемся к исходной системе. Там мы предположили, что $x>0$. Теперь рассмотрим вторую ситуацию: $x<0$. Тогда
$$\begin{Bmatrix}{ \sqrt{9-x^2}>x+1}\\{ (-x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1+x) \geqslant 0}\end{matrix}$$
Решаем первое неравенство:
$$ \sqrt{9-x^2}>x+1$$
Если $x \in [-1;0)$, то правая часть принимает значения от 0 до 1 (не включая 1), а левая
$$\sqrt{8}\leqslant \sqrt{9-x^2}<3$$
То есть неравенство выполняется.
Если $x \in [-3;-1)$, то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, то есть неравенство опять выполнено.
Тогда все $x \in [-3;0)$ являются решением.
Решаем второе неравенство:
$$x=-1$$
$$ \sqrt{9-x^2}=1$$
$$x^2=8$$
$$x_{1,2}=\pm 2\sqrt{2}$$
С учетом, что рассматривается область $[-3; 0)$, решением будет $x \in [-2\sqrt{2};-1)$.
Общее решение неравенства – объединение решений обоих случаев:
Ответ: $x \in[-2\sqrt{2};-1)\cup [\frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1)$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...