Два сложных неравенства

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе – просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал.

Задача 1. Решить неравенство

$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+x^2}<(4x-1)\sqrt{4x^2-4x+2}$

Заметим, что правая и левая части в некотором роде «похожи» – произведение корня и некоторой скобки.

Преобразуем немного:

$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+\mid x \mid ^2}<(1-2 (1-2x))\sqrt{(1-2x)^2+1}$

Пусть $t_1=\mid x\mid$ , $t_2=1-2x$ . Тогда справа и слева – одна и та же функция $f(t)=(1-2t)\sqrt{1+t^2}$ .

Выясним, как ведет себя такая функция. Для этого продифференцируем ее:

$f'(t)=-2\sqrt{1+t^2}+(1-2t)\cdot 0,5\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\cdot 2t=-2\sqrt{1+t^2}+\frac{t-2t^2}{\sqrt{1+t^2}}$

Понятно, что производная отрицательна при любых $t$ . Следовательно, функция убывает везде. Тогда

$f(t_1)<f(t_2)$

Означает, что

$t_1>t_2$

Тогда

$\mid x\mid>1-2x$

Это равносильно при $x\geqslant 0$

$x>1-2x$

$3x>1$

$x>\frac{1}{3}$

И при $x<0$

$-x>1-2x$

$x>1$

Что не соответствует условию раскрытия модуля. Поэтому решение –

$x>\frac{1}{3}$ , что можно подтвердить графиком:

К задаче 1

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$ .

Задача 2. Решить неравенство

$log_{\mid x\mid } (\sqrt{9-x^2}-x-1) \geqslant 1$

Выпишем возможные ограничения:

$\begin{Bmatrix}{ \mid x\mid >0}\\{\mid x\mid \neq 1}\\{ 9-x^2 \geqslant 0}\\{\sqrt{9-x^2}-x-1 >0}\end{matrix}$

Из всего вышеприведенного следует:

$\begin{Bmatrix}{ x \neq 0}\\{ x\neq \pm 1}\\{ -3\leqslant x \leqslant 3}\\{\sqrt{9-x^2} > x+1}\end{matrix}$

Само неравенство преобразуем с помощью метода рационализации:

$(\mid x\mid-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-\mid x\mid)\geqslant 0$

Теперь, если $x>0$ , то

$\begin{Bmatrix}{ 9-x^2>x^2+2x+1}\\{ (x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-x) \geqslant 0}\end{matrix}$

Решаем первое неравенство:

$2x^2+2x-8<0$

Или

$x^2+x-4<0$

Корни $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$

Решение (с учетом, что $x>0$ ) – $x \in (0; \frac{\sqrt{17}-1}{2})$ .

Решаем второе:

$(x-1)( \sqrt{9-x^2}-2x-1) \geqslant 0$

$x=1$

$\sqrt{9-x^2}=2x+1$

$9-x^2=4x^2+4x+1$

$5x^2+4x-8=0$

Корни $x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{44}}{5}$

Решение (с учетом, что $x>0$ ) – $x \in [ \frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1)$ .

Теперь возвращаемся к исходной системе. Там мы предположили, что $x>0$ . Теперь рассмотрим вторую ситуацию: $x<0$ . Тогда

$\begin{Bmatrix}{ \sqrt{9-x^2}>x+1}\\{ (-x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1+x) \geqslant 0}\end{matrix}$

Решаем первое неравенство:

$\sqrt{9-x^2}>x+1$

Если $x \in [-1;0)$ , то правая часть принимает значения от 0 до 1 (не включая 1), а левая

$\sqrt{8}\leqslant \sqrt{9-x^2}<3$

То есть неравенство выполняется.

Если $x \in [-3;-1)$ , то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, то есть неравенство опять выполнено.

Тогда все $x \in [-3;0)$ являются решением.

Решаем второе неравенство:

$x=-1$

$\sqrt{9-x^2}=1$

$x^2=8$

$x_{1,2}=\pm 2\sqrt{2}$

С учетом, что рассматривается область $[-3; 0)$ , решением будет $x \in [-2\sqrt{2};-1)$ .

Общее решение неравенства – объединение решений обоих случаев:

Ответ: $x \in[-2\sqrt{2};-1)\cup [\frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1)$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Два сложных неравенства

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы