Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Два сложных неравенства

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе – просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал.

Задача 1. Решить неравенство

    \[(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+x^2}<(4x-1)\sqrt{4x^2-4x+2}\]

Заметим, что правая и левая части в некотором роде «похожи» – произведение корня и некоторой скобки.

Преобразуем немного:

    \[(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+\mid x \mid ^2}<(1-2 (1-2x))\sqrt{(1-2x)^2+1}\]

Пусть t_1=\mid x\mid, t_2=1-2x. Тогда справа и слева – одна и та же функция f(t)=(1-2t)\sqrt{1+t^2}.

Выясним, как ведет себя такая функция. Для этого продифференцируем ее:

    \[f'(t)=-2\sqrt{1+t^2}+(1-2t)\cdot 0,5\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\cdot 2t=-2\sqrt{1+t^2}+\frac{t-2t^2}{\sqrt{1+t^2}}\]

Понятно, что производная отрицательна при любых t. Следовательно, функция убывает везде. Тогда

    \[f(t_1)<f(t_2)\]

Означает, что

    \[t_1>t_2\]

Тогда

    \[\mid x\mid>1-2x\]

Это равносильно при x\geqslant 0

    \[x>1-2x\]

    \[3x>1\]

    \[x>\frac{1}{3}\]

И при x<0

    \[-x>1-2x\]

    \[x>1\]

Что не соответствует условию раскрытия модуля. Поэтому решение –

x>\frac{1}{3}, что можно подтвердить графиком:

К задаче 1

Ответ: x \in (\frac{1}{3}; +\infty).

Задача 2. Решить неравенство

    \[log_{\mid x\mid } (\sqrt{9-x^2}-x-1) \geqslant 1\]

Выпишем возможные ограничения:

    \[\begin{Bmatrix}{ \mid x\mid >0}\\{\mid x\mid \neq 1}\\{ 9-x^2 \geqslant 0}\\{\sqrt{9-x^2}-x-1 >0}\end{matrix}\]

Из всего вышеприведенного следует:

    \[\begin{Bmatrix}{  x \neq 0}\\{ x\neq \pm 1}\\{ -3\leqslant x \leqslant 3}\\{\sqrt{9-x^2} > x+1}\end{matrix}\]

Само неравенство преобразуем с помощью метода рационализации:

    \[(\mid x\mid-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-\mid x\mid)\geqslant 0\]

Теперь, если x>0, то

    \[\begin{Bmatrix}{  9-x^2>x^2+2x+1}\\{ (x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-x) \geqslant 0}\end{matrix}\]

Решаем первое неравенство:

    \[2x^2+2x-8<0\]

Или

    \[x^2+x-4<0\]

Корни x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}

Решение (с учетом, что x>0) – x \in (0; \frac{\sqrt{17}-1}{2}).

Решаем второе:

    \[(x-1)( \sqrt{9-x^2}-2x-1) \geqslant 0\]

    \[x=1\]

    \[\sqrt{9-x^2}=2x+1\]

    \[9-x^2=4x^2+4x+1\]

    \[5x^2+4x-8=0\]

Корни x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{44}}{5}

Решение (с учетом, что x>0) – x \in [ \frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1).

Теперь возвращаемся к исходной системе. Там мы предположили, что x>0. Теперь рассмотрим вторую ситуацию: x<0. Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{  \sqrt{9-x^2}>x+1}\\{ (-x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1+x) \geqslant 0}\end{matrix}\]

Решаем первое неравенство:

    \[\sqrt{9-x^2}>x+1\]

Если x \in [-1;0), то правая часть принимает значения от 0 до 1 (не включая 1), а левая

    \[\sqrt{8}\leqslant \sqrt{9-x^2}<3\]

То есть неравенство выполняется.

Если x \in [-3;-1), то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, то есть неравенство опять выполнено.

Тогда все x \in [-3;0) являются решением.

Решаем второе неравенство:

    \[x=-1\]

    \[\sqrt{9-x^2}=1\]

    \[x^2=8\]

    \[x_{1,2}=\pm 2\sqrt{2}\]

С учетом, что рассматривается область [-3; 0), решением будет  x \in [-2\sqrt{2};-1).

Общее решение неравенства – объединение решений обоих случаев:

Ответ: x \in[-2\sqrt{2};-1)\cup [\frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1).

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *