Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Два сложных неравенства

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе – просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал.

Задача 1. Решить неравенство

   

Заметим, что правая и левая части в некотором роде «похожи» – произведение корня и некоторой скобки.

Преобразуем немного:

   

Пусть , . Тогда справа и слева – одна и та же функция .

Выясним, как ведет себя такая функция. Для этого продифференцируем ее:

   

Понятно, что производная отрицательна при любых . Следовательно, функция убывает везде. Тогда

   

Означает, что

   

Тогда

   

Это равносильно при

   

   

   

И при

   

   

Что не соответствует условию раскрытия модуля. Поэтому решение –

, что можно подтвердить графиком:

К задаче 1

Ответ: .

Задача 2. Решить неравенство

   

Выпишем возможные ограничения:

   

Из всего вышеприведенного следует:

   

Само неравенство преобразуем с помощью метода рационализации:

   

Теперь, если , то

   

Решаем первое неравенство:

   

Или

   

Корни

Решение (с учетом, что ) – .

Решаем второе:

   

   

   

   

   

Корни

Решение (с учетом, что ) – .

Теперь возвращаемся к исходной системе. Там мы предположили, что . Теперь рассмотрим вторую ситуацию: . Тогда

   

Решаем первое неравенство:

   

Если , то правая часть принимает значения от 0 до 1 (не включая 1), а левая

   

То есть неравенство выполняется.

Если , то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, то есть неравенство опять выполнено.

Тогда все являются решением.

Решаем второе неравенство:

   

   

   

   

С учетом, что рассматривается область , решением будет  .

Общее решение неравенства – объединение решений обоих случаев:

Ответ: .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *