Два сложных неравенства

[latexpage]

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе – просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал.

Задача 1. Решить неравенство

$$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+x^2}<(4x-1)\sqrt{4x^2-4x+2}$$

Заметим, что правая и левая части в некотором роде «похожи» – произведение корня и некоторой скобки.

Преобразуем немного:

$$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+\mid x \mid ^2}<(1-2 (1-2x))\sqrt{(1-2x)^2+1}$$

Пусть $t_1=\mid x\mid$, $t_2=1-2x$. Тогда справа и слева – одна и та же функция $f(t)=(1-2t)\sqrt{1+t^2}$.

Выясним, как ведет себя такая функция. Для этого продифференцируем ее:

$$f’(t)=-2\sqrt{1+t^2}+(1-2t)\cdot 0,5\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\cdot 2t=-2\sqrt{1+t^2}+\frac{t-2t^2}{\sqrt{1+t^2}}$$

Понятно, что производная отрицательна при любых $t$. Следовательно, функция убывает везде. Тогда

$$f(t_1)<f(t_2)$$

Означает, что

$$t_1>t_2$$

Тогда

$$\mid x\mid>1-2x$$

Это равносильно при $x\geqslant 0$

$$x>1-2x$$

$$3x>1$$

$$x>\frac{1}{3}$$

И при $x<0$

$$-x>1-2x$$

$$x>1$$

Что не соответствует условию раскрытия модуля. Поэтому решение –

$x>\frac{1}{3}$, что можно подтвердить графиком:

К задаче 1

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Задача 2. Решить неравенство

$$log_{\mid x\mid } (\sqrt{9-x^2}-x-1) \geqslant 1$$

Выпишем возможные ограничения:

$$\begin{Bmatrix}{ \mid x\mid >0}\\{\mid x\mid \neq 1}\\{ 9-x^2 \geqslant 0}\\{\sqrt{9-x^2}-x-1 >0}\end{matrix}$$

Из всего вышеприведенного следует:

$$\begin{Bmatrix}{  x \neq 0}\\{ x\neq \pm 1}\\{ -3\leqslant x \leqslant 3}\\{\sqrt{9-x^2} > x+1}\end{matrix}$$

Само неравенство преобразуем с помощью метода рационализации:

$$(\mid x\mid-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-\mid x\mid)\geqslant 0$$

Теперь, если $x>0$, то

$$\begin{Bmatrix}{  9-x^2>x^2+2x+1}\\{ (x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1-x) \geqslant 0}\end{matrix}$$

Решаем первое неравенство:

$$2x^2+2x-8<0$$

Или

$$x^2+x-4<0$$

Корни $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$

Решение (с учетом, что $x>0$) – $x \in (0; \frac{\sqrt{17}-1}{2})$.

Решаем второе:

$$(x-1)( \sqrt{9-x^2}-2x-1) \geqslant 0$$

$$x=1$$

$$\sqrt{9-x^2}=2x+1$$

$$9-x^2=4x^2+4x+1$$

$$5x^2+4x-8=0$$

Корни $x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{44}}{5}$

Решение (с учетом, что $x>0$) – $x \in [ \frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1)$.

Теперь возвращаемся к исходной системе. Там мы предположили, что $x>0$. Теперь рассмотрим вторую ситуацию: $x<0$. Тогда

$$\begin{Bmatrix}{  \sqrt{9-x^2}>x+1}\\{ (-x-1)( \sqrt{9-x^2}-x-1+x) \geqslant 0}\end{matrix}$$

Решаем первое неравенство:

$$ \sqrt{9-x^2}>x+1$$

Если $x \in [-1;0)$, то правая часть принимает значения от 0 до 1 (не включая 1), а левая

$$\sqrt{8}\leqslant \sqrt{9-x^2}<3$$

То есть неравенство выполняется.

Если $x \in [-3;-1)$, то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, то есть неравенство опять выполнено.

Тогда все $x \in [-3;0)$ являются решением.

Решаем второе неравенство:

$$x=-1$$

$$ \sqrt{9-x^2}=1$$

$$x^2=8$$

$$x_{1,2}=\pm 2\sqrt{2}$$

С учетом, что рассматривается область $[-3; 0)$, решением будет  $x \in [-2\sqrt{2};-1)$.

Общее решение неравенства – объединение решений обоих случаев:

Ответ: $x \in[-2\sqrt{2};-1)\cup [\frac{\sqrt{44}-2}{5}; 1)$.