Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 15 (С3)

Два логарифмических неравенства

Неравенства несложные, но требующие большого внимания: наличествует корень, и нужно не забыть при его извлечении поставить знак модуля, а потом грамотно этот модуль раскрыть. Очень хороши для подготовки к заданию 15 профильного ЕГЭ.

Задача 1. Решите неравенство:

   

Избавимся от степеней в первом логарифме:

   

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:

   

Так как логарифм по переменному основанию, то будем иметь два случая: первый – и второй – .

В первом случае получим неравенство:

   

   

   

   

Пришла пора снимать модуль. Подмодульное выражение меняет знак в точке:

   

   

Тогда при получим:

   

   

   

   

Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.

Задача 1. Рисунок 1.

Получаем решение: – это решение попадает в интервал, на котором мы раскрывали модуль, берем его в предварительный ответ (предварительный – поскольку еще не определены допустимые значения подлогарифмических выражений) .

Тогда при получим:

   

   

   

   

Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.

Задача 1. Рисунок 2.

Решение этого неравенства: , но это решение не совпадает с интервалом, на котором раскрывали модуль: при .

Теперь вторая часть решения, при .

   

   

Имеем:

   

   

   

   

Раскрываем модуль. При получим:

   

   

   

   

Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.

Задача 1. Рисунок 3.

Решение этого неравенства: .

Но мы наложили ограничения на : – поэтому именно этот интервал, попадающий в решение, и будет итоговым предварительным (до определения ОДЗ) решением данного неравенства.

При получим:

   

   

   

   

Решение – , но здесь мы не попали в интервал раскрытия модуля, ответ – пустое множество.

Задача 1. Рисунок 4.

Осталось объединить все полученные решения, не забыв про ОДЗ.

Определим допустимые значения подлогарифмических выражений:

   

Расставив точки и знаки интервалов, имеем:

.

Итак, в окончательный ответ берем:

   

Ответ: .

 

 

Задача 2. Решите неравенство:

   

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:

   

Избавимся от корня в основании:

   

   

Извлекаем корень, не забывая о модуле:

   

Избавляемся от логарифма:

   

   

   

   

Подмодульное выражение меняет знак в точке:

   

   

При модуль снимаем со знаком «плюс»:

   

   

   

Разложим числитель на множители:

   

   

   

   

Расставляем точки и знаки интервалов.

Задача 2. Рисунок 1.

Решение этого неравенства: . Это решение попадает в интервал, на котором мы раскрывали модуль.

Теперь раскроем модуль с отрицательным знаком на интервале :

   

   

   

Числитель всегда положителен, так как дискриминант его отрицательный, значит, его знак совпадает со знаком старшей степени . Следовательно, решение неравенства – .

Задача 2. Рисунок 2.

Точка 1,5 – полюс этой функции (корень знаменателя), поэтому она выколота. Решение попадает в интервал раскрытия модуля.

Определим допустимые значения подлогарифмических выражений:

   

Корни – (-1) и 1,5. Следовательно, решением этого неравенства являются .

Задача 2. Рисунок 3.

 

Поэтому из решения надо исключить полученный ранее интервал .

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *