Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Два логарифмических неравенства

Неравенства несложные, но требующие большого внимания: наличествует корень, и нужно не забыть при его извлечении поставить знак модуля, а потом грамотно этот модуль раскрыть. Очень хороши для подготовки к заданию 15 профильного ЕГЭ.

Задача 1. Решите неравенство:

    \[\log_{(7m-7)^2} (2m+1)^2-\log_{7m-7} \frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0\]

Избавимся от степеней в первом логарифме:

    \[\log_{7m-7} \mid2m+1\mid-\log_{7m-7} \frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0\]

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:

    \[\log_{7m-7} \frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>0\]

Так как логарифм по переменному основанию, то будем иметь два случая: первый – 7m-7>1 и второй – 0<7m-7<1.

В первом случае получим неравенство:

    \[\log_{7m-7} \frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>\log_{7m-7} 1\]

    \[\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>1\]

    \[\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}-1>0\]

    \[\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}>0\]

Пришла пора снимать модуль. Подмодульное выражение меняет знак в точке:

    \[2m+1=0\]

    \[m=-0,5\]

Тогда при m \geqslant -0,5 получим:

    \[\frac{(2m+1)(7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}>0\]

    \[\frac{7m-7-(-3m+8)}{(-3m+8)}>0\]

    \[\frac{7m-7+3m-8)}{(-3m+8)}>0\]

    \[\frac{10m-15)}{(-3m+8)}>0\]

Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.

Задача 1. Рисунок 1.

Получаем решение: m \in (1,5; \frac{8}{3}) – это решение попадает в интервал, на котором мы раскрывали модуль, берем его в предварительный ответ (предварительный – поскольку еще не определены допустимые значения подлогарифмических выражений) .

Тогда при m < -0,5 получим:

    \[\frac{(2m+1)(7-7m)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}>0\]

    \[\frac{7-7m-(-3m+8)}{(-3m+8)}>0\]

    \[\frac{-1-4m}{(-3m+8)}>0\]

    \[\frac{1+4m}{(-3m+8)}<0\]

Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.

Задача 1. Рисунок 2.

Решение этого неравенства: m \in (-\frac{1}{4}; \frac{8}{3}), но это решение не совпадает с интервалом, на котором раскрывали модуль: при m < -0,5.

Теперь вторая часть решения, при 0<7m-7<1.

    \[7<7m<8\]

    \[1<m<\frac{8}{7}\]

Имеем:

    \[\log_{7m-7} \frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>\log_{7m-7} 1\]

    \[\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}<1\]

    \[\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}-1<0\]

    \[\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}<0\]

Раскрываем модуль. При m \geqslant -0,5 получим:

    \[\frac{(2m+1)(7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}<0\]

    \[\frac{7m-7-(-3m+8)}{(-3m+8)}<0\]

    \[\frac{7m-7+3m-8)}{(-3m+8)}<0\]

    \[\frac{10m-15)}{(-3m+8)}<0\]

Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.

Задача 1. Рисунок 3.

Решение этого неравенства: m \in (-\infty; 1,5) \cup(\frac{8}{3}; +\infty).

Но мы наложили ограничения на m: 1<m<\frac{8}{7} – поэтому именно этот интервал, попадающий в решение, и будет итоговым предварительным (до определения ОДЗ) решением данного неравенства.

При m < -0,5 получим:

    \[\frac{(2m+1)(7-7m)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}<0\]

    \[\frac{7-7m-(-3m+8)}{(-3m+8)}<0\]

    \[\frac{-1-4m}{(-3m+8)}<0\]

    \[\frac{1+4m}{(-3m+8)}>0\]

Решение – m \in (-\frac{1}{4}; \frac{8}{3}), но здесь мы не попали в интервал раскрытия модуля, ответ – пустое множество.

Задача 1. Рисунок 4.

Осталось объединить все полученные решения, не забыв про ОДЗ.

Определим допустимые значения подлогарифмических выражений:

    \[\frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0\]

Расставив точки и знаки интервалов, имеем:

m \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup(1; \frac{8}{3}).

Итак, в окончательный ответ берем:

    \[m \in (1; \frac{8}{7}) \cup (1,5; \frac{8}{3})\]

Ответ: m \in (1; \frac{8}{7}) \cup (1,5; \frac{8}{3}).

 

 

Задача 2. Решите неравенство:

    \[\log_{\sqrt[7]{2}} \sqrt{ (-3z-3)^3(-2z+3)}-\log_{\sqrt[7]{2}} \sqrt{\frac{(-2z+3)^3}{-3z-3}} -14\geqslant 0\]

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:

    \[\log_{\sqrt[7]{2}} \sqrt{\frac{ (-3z-3)^4}{(-2z+3)^2}} \geqslant 14\]

Избавимся от корня в основании:

    \[7\log_2 \sqrt{\frac{ (-3z-3)^4}{(-2z+3)^2}} \geqslant 14\]

    \[\log_2 \sqrt{\frac{ (-3z-3)^4}{(-2z+3)^2}} \geqslant 2\]

Извлекаем корень, не забывая о модуле:

    \[\log_2 {\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid}} \geqslant 2\]

Избавляемся от логарифма:

    \[\log_2 {\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid}} \geqslant \log_2 4\]

    \[\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid} \geqslant  4\]

    \[\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid}-4 \geqslant  0\]

    \[\frac{ (-3z-3)^2-4\mid 3-2z \mid}{\mid3-2z\mid} \geqslant  0\]

Подмодульное выражение меняет знак в точке:

    \[3-2z=0\]

    \[z=1,5\]

При z <1,5 модуль снимаем со знаком «плюс»:

    \[\frac{ (-3z-3)^2-4(3-2z)}{3-2z} \geqslant  0\]

    \[\frac{ 9z^2+18z+9-12+8z)}{3-2z} \geqslant  0\]

    \[\frac{ 9z^2+26z-3)}{3-2z} \geqslant  0\]

Разложим числитель на множители:

    \[D=26^2-4\cdot9\cdot(-3)=784\]

    \[z_{1,2}=\frac{-26 \pm \sqrt{784}}{18}=\frac{-13 \pm 14}{9}\]

    \[z_1=\frac{1}{9}\]

    \[z_2=-3\]

Расставляем точки и знаки интервалов.

Задача 2. Рисунок 1.

Решение этого неравенства: z \in (-\infty; -3] \cup [\frac{1}{9}; 1,5). Это решение попадает в интервал, на котором мы раскрывали модуль.

Теперь раскроем модуль с отрицательным знаком на интервале z \geqslant 1,5:

    \[\frac{ (-3z-3)^2+4(3-2z)}{2z-3} \geqslant  0\]

    \[\frac{ 9z^2+18z+9+12-8z)}{2z-3} \geqslant  0\]

    \[\frac{ 9z^2+10z+21)}{2z-3} \geqslant  0\]

Числитель всегда положителен, так как дискриминант его отрицательный, значит, его знак совпадает со знаком старшей степени z. Следовательно, решение неравенства – z>1,5.

Задача 2. Рисунок 2.

Точка 1,5 – полюс этой функции (корень знаменателя), поэтому она выколота. Решение попадает в интервал раскрытия модуля.

Определим допустимые значения подлогарифмических выражений:

    \[(-3z-3)^3(-2z+3)>0\]

Корни – (-1) и 1,5. Следовательно, решением этого неравенства являются z \in (-\infty; -1) \cup (1,5; +\infty).

Задача 2. Рисунок 3.

 

Поэтому из решения надо исключить полученный ранее интервал [\frac{1}{9}; 1,5).

Ответ: z \in (-\infty; -3] \cup (1,5; +\infty).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *