Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Два красивых способа решения одной стереометрической задачи

На просторах инета попалась стереометрическая задача, интересная тем, что шестиугольная  пирамида в ней не является правильной по условию – про правильность пирамиды в условии не говорится. Оба предложенных способа решения показались мне интересными.

Задача. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF – правильный шестиугольник ABCDEF.  Точка M – середина ребра BC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей FSM и ASB.

б) В каком отношении плоскость FSM делит отрезок, соединяющий точку A с серединой ребра SD?

Обратим внимание на то, что пирамида не обязательно правильная. Поэтому рассмотрим общий случай, неправильную пирамиду. Первая часть задачи несложная: строим само сечение:

Рисунок 1

а) Построим линию пересечения плоскостей: проведем прямую FM – она принадлежит сечению, а также плоскости основания пирамиды. Также проведем прямую AB – эта прямая принадлежит плоскости  ASB, но также и плоскости основания пирамиды. Прямые FM и AB непременно пересекутся, найдем точку пересечения и обозначим ее Q. Точка Q принадлежит обеим плоскостям – и FSM и ASB. Точка S, аналогично, принадлежит обеим плоскостям и поэтому линия пересечения плоскостей может быть проведена через точки S и Q.

Рисунок 2

Обе плоскости:

Рисунок 3

б) Теперь займемся вторым пунктом. Сначала построим середину ребра SD и соединим с точкой A:

Рисунок 4

Построим точку, где AP проткнет плоскость FSM. Для этого построим проекцию AP в плоскости основания – это прямая AD. Определим точку пересечения AD И  FM – точка L. Соединим L с точкой S, пересечение LS и AP – точка прокола. Теперь наша задача – определить отношение длин отрезков AN и NP. Для этого сначала определим положение точки L.

Рисунок 5

Рисунок 6

Треугольник BMF подобен треугольнику FQL, коэффициент подобия – 2. Поэтому QL=\frac{1}{2}BM. Обозначив сторону основания пирамиды за a, получим QL=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}a=\frac{a}{4}.

Рисунок 7

Теперь очень удобно применить теорему Менелая:

    \[\frac{DL}{LA}\cdot\frac{AN}{NP}\cdot\frac{PS}{SD}=1\]

Так как DL=2a-\frac{3a}{4}=\frac{5a}{4}, и PS=\frac{1}{2}SD, то

    \[\frac{\frac{5a}{4}}{\frac{3a}{4}}\cdot\frac{AN}{NP}\cdot\frac{1}{2}=1\]

Откуда

    \[\frac{AN}{NP}=\frac{3a}{4}\cdot2\cdot\frac{4}{5a}=\frac{6}{5}\]

Ответ: \frac{AN}{NP}=\frac{6}{5}

Второй способ решения этой задачи предложила Степнова Татьяна Вячеславовна. Ее способ основан на отношениях площадей.

Рисунок 8

Обозначим площадь треугольника S_{ASN}=k, площадь треугольника S_{AND}=c. Вследствие равенства SP=PD площади треугольников SPN и PND равны: S_{SPN}=S_{PND}=b. Так как AL=\frac{3a}{4}, а DL=\frac{5a}{4}, то площадь треугольника S_{ANL}=\frac{3c}{8}, а S_{LND}=\frac{5c}{8}.

Площади треугольников ASP и APD равны:

    \[k+b=b+c\]

Откуда k=c.

Искомое отношение \frac{AN}{NP}=\frac{k}{b}=\frac{c }{b}

Площади треугольников ASL и LSD относятся как \frac{\frac{3}{8}}{\frac{5}{8}}=\frac{3}{5}, тогда

    \[\frac{k+\frac{3c}{8}}{2b+\frac{5c}{8}}=\frac{3}{5}\]

    \[\frac{c+\frac{3c}{8}}{2b+\frac{5c}{8}}=\frac{3}{5}\]

    \[\frac{\frac{11c}{8}}{2b+\frac{5c}{8}}=\frac{3}{5}\]

Откуда

    \[\frac{55c}{8}=6b+\frac{15c}{8}\]

    \[\frac{40c}{8}=6b\]

Или

    \[\frac{c}{b}=\frac{6}{5}\]

А это и есть искомое отношение.

 

Ответ: \frac{AN}{NP}=\frac{6}{5}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *