Два красивых способа решения одной стереометрической задачи

На просторах инета попалась стереометрическая задача, интересная тем, что шестиугольная пирамида в ней не является правильной по условию – про правильность пирамиды в условии не говорится. Оба предложенных способа решения показались мне интересными.

Задача. Основание шестиугольной пирамиды $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – правильный шестиугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – середина ребра $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

б) В каком отношении плоскость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ делит отрезок, соединяющий точку $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с серединой ребра $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

Обратим внимание на то, что пирамида не обязательно правильная. Поэтому рассмотрим общий случай, неправильную пирамиду. Первая часть задачи несложная: строим само сечение:

Рисунок 1

а) Построим линию пересечения плоскостей: проведем прямую $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – она принадлежит сечению, а также плоскости основания пирамиды. Также проведем прямую $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – эта прямая принадлежит плоскости $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , но также и плоскости основания пирамиды. Прямые $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ непременно пересекутся, найдем точку пересечения и обозначим ее $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ принадлежит обеим плоскостям – и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , аналогично, принадлежит обеим плоскостям и поэтому линия пересечения плоскостей может быть проведена через точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок 2

Обе плоскости:

Рисунок 3

б) Теперь займемся вторым пунктом. Сначала построим середину ребра $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и соединим с точкой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Рисунок 4

Построим точку, где $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ проткнет плоскость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Для этого построим проекцию $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ в плоскости основания – это прямая $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Определим точку пересечения $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ И $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Соединим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ с точкой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , пересечение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – точка прокола. Теперь наша задача – определить отношение длин отрезков $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Для этого сначала определим положение точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок 5

Рисунок 6

Треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ подобен треугольнику $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , коэффициент подобия – 2. Поэтому $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Обозначив сторону основания пирамиды за $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , получим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок 7

Теперь очень удобно применить теорему Менелая:

Так как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то

Откуда

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Второй способ решения этой задачи предложила Степнова Татьяна Вячеславовна. Ее способ основан на отношениях площадей.

Рисунок 8

Обозначим площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Вследствие равенства $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ площади треугольников $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равны: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Так как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .