Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Два красивых способа решения одной стереометрической задачи

На просторах инета попалась стереометрическая задача, интересная тем, что шестиугольная  пирамида в ней не является правильной по условию – про правильность пирамиды в условии не говорится. Оба предложенных способа решения показались мне интересными.

Задача. Основание шестиугольной пирамиды – правильный шестиугольник .  Точка – середина ребра .

а) Постройте прямую пересечения плоскостей и .

б) В каком отношении плоскость делит отрезок, соединяющий точку с серединой ребра ?

Обратим внимание на то, что пирамида не обязательно правильная. Поэтому рассмотрим общий случай, неправильную пирамиду. Первая часть задачи несложная: строим само сечение:

Рисунок 1

а) Построим линию пересечения плоскостей: проведем прямую – она принадлежит сечению, а также плоскости основания пирамиды. Также проведем прямую – эта прямая принадлежит плоскости  , но также и плоскости основания пирамиды. Прямые и непременно пересекутся, найдем точку пересечения и обозначим ее . Точка принадлежит обеим плоскостям – и и . Точка , аналогично, принадлежит обеим плоскостям и поэтому линия пересечения плоскостей может быть проведена через точки и .

Рисунок 2

Обе плоскости:

Рисунок 3

б) Теперь займемся вторым пунктом. Сначала построим середину ребра и соединим с точкой :

Рисунок 4

Построим точку, где проткнет плоскость . Для этого построим проекцию в плоскости основания – это прямая . Определим точку пересечения И   – точка . Соединим с точкой , пересечение и – точка прокола. Теперь наша задача – определить отношение длин отрезков и . Для этого сначала определим положение точки .

Рисунок 5

Рисунок 6

Треугольник подобен треугольнику , коэффициент подобия – 2. Поэтому . Обозначив сторону основания пирамиды за , получим .

Рисунок 7

Теперь очень удобно применить теорему Менелая:

   

Так как , и , то

   

Откуда

   

Ответ:

Второй способ решения этой задачи предложила Степнова Татьяна Вячеславовна. Ее способ основан на отношениях площадей.

Рисунок 8

Обозначим площадь треугольника , площадь треугольника . Вследствие равенства площади треугольников и равны: . Так как , а , то площадь треугольника , а .

Площади треугольников и равны:

   

Откуда .

Искомое отношение

Площади треугольников и относятся как , тогда

   

   

   

Откуда

   

   

Или

   

А это и есть искомое отношение.

 

Ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *