Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Тригонометрия

Два интересных тригонометрических уравнения

Сегодня решим пару тригонометрических  уравнений, вид которых несколько непривычен рядовому школьнику.

Задача 1. Решить уравнение:

    \[2\arcsin{2x}=\arccos{7x}\]

Для того, чтобы уравнение потеряло свой «страшный» вид, введем обозначения:

    \[\sin{\alpha}=2x\]

    \[\cos{\beta}=7x\]

Помним, что аргумент функции \arcsin {y} изменяется от (-1) до (1), как и аргумент функции \arccos {y}. Поэтому 2x \in (-1;1), 7x \in(-1;1).  То есть x \in (-\frac{1}{7}; \frac{1}{7}). У нас угол \alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], \beta \in [0; \pi].

По условию, \beta=2\alpha. Тогда угол \alpha находится в первом квадранте – это нам пригодится при отборе корней.

Тогда \cos{2\alpha}=7x. Распишем косинус двойного угла:

    \[1-2\sin^2{\alpha}=7x\]

Или, пользуясь второй заменой,

    \[1-8x^2=7x\]

По Виету корни этого уравнения x_1=\frac{1}{8}, x_2=-1 – второй отбрасываем из-за введенных ранее ограничений. Имеем:

    \[\sin{\alpha}=\frac{1}{4}\]

    \[\cos{2\alpha}=\frac{7}{8}\]

Это вполне нас устраивает. Тогда ответ:

Ответ: x=\frac{1}{8}.

Задача 2. Определить самое маленькое положительное значение n:

    \[\sin(n^{\circ}+80^{\circ})+\sin(n^{\circ}-40^{\circ})+\sin(n^{\circ}+70^{\circ})-\cos{25^{\circ}}=0\]

Воспользуемся формулой «сумма синусов» и попробуем сгруппировать слагаемые  с ее помощью:

    \[\sin(n^{\circ}+80^{\circ})+\sin(n^{\circ}-40^{\circ})=2\sin(n^{\circ}+20^{\circ})\cos(60^{\circ})=\sin(n^{\circ}+20^{\circ})\]

Теперь объединим это с третьим слагаемым:

    \[\sin(n^{\circ}+20^{\circ})+\sin(n^{\circ}+70^{\circ})=2\sin(n^{\circ}+45^{\circ})\cos 25^{\circ}\]

Тогда уравнение приходит к виду:

    \[2\sin(n^{\circ}+45^{\circ})\cos 25^{\circ}-\cos{25^{\circ}}=0\]

Очевидно, что \cos{25^{\circ}} – неотрицательное число, вынесем его за скобку и сократим на него:

    \[\sin(n^{\circ}+45^{\circ})=\frac{1}{2}\]

Такое значение синуса имеют точки 30^{\circ} и 150^{\circ}. Тогда имеем две серии корней:

    \[n^{\circ}+45^{\circ}=30^{\circ}+360^{\circ}k\]

    \[n^{\circ}+45^{\circ}=150^{\circ}+360^{\circ}k\]

Или

    \[n^{\circ}=-15^{\circ}+360^{\circ}k\]

    \[n^{\circ}=105^{\circ}+360^{\circ}k\]

При k=0 получим n^{\circ}=105^{\circ} из второй серии, из первой – нет положительных. При k=1 – получим более  105^{\circ}, поэтому ответ:

Ответ: n^{\circ}=105^{\circ}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *