Два интересных тригонометрических уравнения

[latexpage]

Сегодня решим пару тригонометрических  уравнений, вид которых несколько непривычен рядовому школьнику.

Задача 1. Решить уравнение:

$$2\arcsin{2x}=\arccos{7x}$$

Для того, чтобы уравнение потеряло свой «страшный» вид, введем обозначения:

$$\sin{\alpha}=2x$$

$$\cos{\beta}=7x$$

Помним, что аргумент функции $\arcsin {y}$ изменяется от (-1) до (1), как и аргумент функции $\arccos {y}$. Поэтому $2x \in (-1;1)$, $7x \in(-1;1)$.  То есть $x \in (-\frac{1}{7}; \frac{1}{7})$. У нас угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}], \beta \in [0; \pi]$.

По условию, $\beta=2\alpha$. Тогда угол $\alpha$ находится в первом квадранте – это нам пригодится при отборе корней.

Тогда $\cos{2\alpha}=7x$. Распишем косинус двойного угла:

$$1-2\sin^2{\alpha}=7x$$

Или, пользуясь второй заменой,

$$1-8x^2=7x$$

По Виету корни этого уравнения $x_1=\frac{1}{8}, x_2=-1$ – второй отбрасываем из-за введенных ранее ограничений. Имеем:

$$\sin{\alpha}=\frac{1}{4}$$

$$\cos{2\alpha}=\frac{7}{8}$$

Это вполне нас устраивает. Тогда ответ:

Ответ: $x=\frac{1}{8}$.

Задача 2. Определить самое маленькое положительное значение $n$:

$$\sin(n^{\circ}+80^{\circ})+\sin(n^{\circ}-40^{\circ})+\sin(n^{\circ}+70^{\circ})-\cos{25^{\circ}}=0$$

Воспользуемся формулой «сумма синусов» и попробуем сгруппировать слагаемые  с ее помощью:

$$\sin(n^{\circ}+80^{\circ})+\sin(n^{\circ}-40^{\circ})=2\sin(n^{\circ}+20^{\circ})\cos(60^{\circ})=\sin(n^{\circ}+20^{\circ})$$

Теперь объединим это с третьим слагаемым:

$$\sin(n^{\circ}+20^{\circ})+\sin(n^{\circ}+70^{\circ})=2\sin(n^{\circ}+45^{\circ})\cos 25^{\circ}$$

Тогда уравнение приходит к виду:

$$2\sin(n^{\circ}+45^{\circ})\cos 25^{\circ}-\cos{25^{\circ}}=0$$

Очевидно, что $\cos{25^{\circ}}$ – неотрицательное число, вынесем его за скобку и сократим на него:

$$\sin(n^{\circ}+45^{\circ})=\frac{1}{2}$$

Такое значение синуса имеют точки $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$. Тогда имеем две серии корней:

$$ n^{\circ}+45^{\circ}=30^{\circ}+360^{\circ}k$$

$$ n^{\circ}+45^{\circ}=150^{\circ}+360^{\circ}k$$

Или

$$n^{\circ}=-15^{\circ}+360^{\circ}k$$

$$n^{\circ}=105^{\circ}+360^{\circ}k$$

При $k=0$ получим $n^{\circ}=105^{\circ}$ из второй серии, из первой – нет положительных. При $k=1$ – получим более  $105^{\circ}$, поэтому ответ:

Ответ: $n^{\circ}=105^{\circ}$.