Два интересных тригонометрических уравнения

Сегодня решим пару тригонометрических  уравнений, вид которых несколько непривычен рядовому школьнику.

Задача 1. Решить уравнение:

Для того, чтобы уравнение потеряло свой «страшный» вид, введем обозначения:

Помним, что аргумент функции изменяется от (-1) до (1), как и аргумент функции . Поэтому , .  То есть . У нас угол .

По условию, . Тогда угол находится в первом квадранте – это нам пригодится при отборе корней.

Тогда . Распишем косинус двойного угла:

Или, пользуясь второй заменой,

По Виету корни этого уравнения – второй отбрасываем из-за введенных ранее ограничений. Имеем:

Это вполне нас устраивает. Тогда ответ:

Ответ: .

Задача 2. Определить самое маленькое положительное значение :

Воспользуемся формулой «сумма синусов» и попробуем сгруппировать слагаемые  с ее помощью:

Теперь объединим это с третьим слагаемым:

Тогда уравнение приходит к виду:

Очевидно, что – неотрицательное число, вынесем его за скобку и сократим на него:

Такое значение синуса имеют точки и . Тогда имеем две серии корней:

Или

При получим из второй серии, из первой – нет положительных. При – получим более  , поэтому ответ:

Ответ: .