Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (12 (С1))

Два интересных тригонометрических уравнения с отбором

В этой статье всего два уравнения. Но оба – очень интересные. Оба – из пособия Ященко, 50 вариантов, 2019 год.

Задача 1. а) Решите уравнение:

    \[\cos x+\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}=0\]

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку \left[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi\right]

Решение:

    \[\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}= -\cos x\]

Делаем вывод, что косинус не должен оказаться положительным.

    \[\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)= \cos^2 x\]

    \[\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)=1- \sin^2 x\]

    \[\sin^2 x +\frac{2-\sqrt{2}}{2}\sin x  +\frac{2-\sqrt{2}}{2}=1\]

    \[\sin^2 x +\frac{2-\sqrt{2}}{2}\sin x  +1-\frac{\sqrt{2}}{2}=1\]

    \[\sin^2 x +\frac{2-\sqrt{2}}{2}\sin x  -\frac{\sqrt{2}}{2}=0\]

    \[\sin^2 x +\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\sin x  -\frac{\sqrt{2}}{2}=0\]

Получили квадратное уравнение. Найдем его дискриминант.

    \[D=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}+\frac{1}{2}-2\sqrt{2}=1+\sqrt{2}+\frac{1}{2}=\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\]

Корни:

    \[\sin x=\frac{\left(-1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+ \left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Или

    \[\sin x=\frac{\left(-1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)- \left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}=-1\]

Тогда, с учетом отрицательности косинусов полученных углов

    \[x_1=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in Z\]

    \[x_2=\frac{3\pi}{2}+2\pi n, n \in Z\]

Отберем корни на окружности: точка \frac{3\pi}{2} совпадает с точкой -4,5\pi. Чтобы попасть в нужную точку, совпадающую с \frac{3\pi}{4}, нужно отступить на \frac{\pi}{4} от -5\pi назад (в отрицательном направлении), т.е. -5\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{21\pi}{4}.

Ответ: а) \frac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in Z, \frac{3\pi}{2}+2\pi n, n \in Z

б) -5,5\pi; -\frac{21\pi}{4}.

Задача 2. а) Решите уравнение:

    \[(4\sin^2 x-1)\cdot\sqrt{x^2-64\pi^2}=0\]

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку \left[25; 30\right]

Решение:

Если

    \[\sqrt{x^2-64\pi^2}=0\]

То

    \[x=8\pi\]

    \[x=-8\pi\]

Если

    \[4\sin^2 x-1=0\]

То при -8\pi <x<8\pi.

Тогда

    \[\sin x=\frac{1}{2}\]

    \[\sin x=-\frac{1}{2}\]

Теперь важно правильно записать ответ:

От точки 8\pi можно двигаться только вперед, поэтому первый корень – 7\pi + \frac{\pi}{6}+ \pi n, n \in N. Заметьте, что n – натуральное, ибо от точки 8\pi – ни шагу назад! Аналогично можно записать следующий корень – 7\pi + \frac{5\pi}{6}+ \pi n, n \in N.

А вот из точки -8\pi можно двигаться только назад, в отрицательном направлении. Третий корень – -7\pi - \frac{\pi}{6}- \pi n, n \in N.

Четвертый корень – -7\pi - \frac{5\pi}{6}- \pi n, n \in N.

б) Определим, где находится точка 25. Это примерно 8\pi, проверяем:

    \[8\cdot 3,14=25,12\]

Точка 8\pi, таким образом, в интервал попадает. Также и точка 8\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{49\pi}{6} тоже обязательно попадет, и точка 8\pi+\frac{5\pi}{6}=\frac{53\pi}{6}. Так как 5>\pi, то и точка 8\pi+\frac{7\pi}{6}=\frac{55\pi}{6} – тоже принадлежит интервалу. Теперь проверим точку 8\pi+\frac{11\pi}{6}=\frac{59\pi}{6}=30,9 – а вот она уже не попала.

Итак, ответ:  а) \frac{43\pi}{6}+ \pi n, n \in N, \frac{47\pi}{6}+ \pi n, n \in N, - \frac{43\pi}{6}- \pi n, n \in N, - \frac{43\pi}{6}- \pi n, n \in N.

б) \frac{49\pi}{6}, \frac{53\pi}{6}, \frac{55\pi}{6}, 8\pi.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *