Довольно сложное логарифмическое неравенство

Логарифмическое неравенство, довольно сложное, да вот, сами судите:

Решить неравенство:

$\log_{5-4x-x^2} (5-9x-2x^2)\leqslant\log_{1-x} (1-2x)$

Разложим квадратные трехчлены на множители:

$5-4x-x^2=0$

$D=16+4\cdot 5=36$

Корни

$x_1=-5; x_2=1$

$5-9x-2x^2=0$

$D=81+4\cdot 2\cdot 5=121$

Корни

$x_1=-5; x_2=\frac{1}{2}$

Тогда неравенство будет выглядеть так:

$\log_{(1-x)(x+5)} {(x+5)(1-2x)}\leqslant\log_{1-x} (1-2x)$

Переносим влево:

$\log_{(1-x)(x+5)} {(x+5)(1-2x)}- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0$

Переходим к логарифму по другому основанию:

$\frac{\log_{1-x} (x+5)(1-2x)} {\log_{1-x} (1-x)(x+5) }- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{\log_{1-x} (x+5)+\log_{1-x} (1-2x)} {1+\log_{1-x} (x+5) }- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0$

$\frac{\log_{1-x} (x+5)-\log_{1-x} (1-2x)\cdot\log_{1-x} (x+5)} {1+\log_{1-x} (x+5) } \leqslant 0$

$\frac{\log_{1-x} (x+5)(1-\log_{1-x} (1-2x))} {\log_{1-x} (1-x)(x+5) } \leqslant 0$

По методу рационализации:

$\frac{(1-x-1) (x+5-1)(1-x-1)(1-x-(1-2x))} {(1-x-1) ((1-x)(x+5)-1) } \leqslant 0$

$\frac{(-x) (x+4)x} {(4-4x-x^2) } \leqslant 0$

$\frac{ (x+4)x^2} {(x^2+4x-4) } \leqslant 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен:

$x^2+4x-4=0$

$D=16+16=32$

Корни:

$x_1=-2+2\sqrt{2}; x_2=-2-\sqrt{2}$

Тогда

$\frac{ (x+4)x^2} {(x+2-2\sqrt{2})(x+2+2\sqrt{2})} \leqslant 0$

Отмечаем точки и расставляем знаки:

Решение без учета ОДЗ

Определяем ОДЗ (для эксперта пишем – «ограничения»)

$1-2x>0$

$x<\frac{1}{2}$

Также

$1-x>0$

$x<1$

$1-x\neq 1$

$x\neq 0$

Также

$5-4x-x^2\neq 1$

$x\neq -2+2\sqrt{2}; x\neq -2-\sqrt{2}$

Еще

$5-4x-x^2>0$

$-5<x<1$

И, наконец,

$5-9x-2x^2>0$

$-5<x<\frac{1}{2}$

С учетом ОДЗ записываем ответ:

Ответ: $x \in (-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4; 0)\cup (0; 0,5)$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Июн
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Довольно сложное логарифмическое неравенство

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы