Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Довольно сложное логарифмическое неравенство

Логарифмическое неравенство, довольно сложное, да вот, сами судите:

Решить неравенство:

    \[\log_{5-4x-x^2} (5-9x-2x^2)\leqslant\log_{1-x} (1-2x)\]

Разложим квадратные трехчлены на множители:

    \[5-4x-x^2=0\]

    \[D=16+4\cdot 5=36\]

Корни

    \[x_1=-5; x_2=1\]

    \[5-9x-2x^2=0\]

    \[D=81+4\cdot 2\cdot 5=121\]

Корни

    \[x_1=-5; x_2=\frac{1}{2}\]

Тогда неравенство будет выглядеть так:

    \[\log_{(1-x)(x+5)} {(x+5)(1-2x)}\leqslant\log_{1-x} (1-2x)\]

Переносим влево:

    \[\log_{(1-x)(x+5)} {(x+5)(1-2x)}- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0\]

Переходим к логарифму по другому основанию:

    \[\frac{\log_{1-x} (x+5)(1-2x)} {\log_{1-x} (1-x)(x+5) }- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0\]

Приводим к общему знаменателю:

    \[\frac{\log_{1-x} (x+5)+\log_{1-x} (1-2x)} {1+\log_{1-x} (x+5) }- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0\]

    \[\frac{\log_{1-x} (x+5)-\log_{1-x} (1-2x)\cdot\log_{1-x} (x+5)} {1+\log_{1-x} (x+5) } \leqslant 0\]

    \[\frac{\log_{1-x} (x+5)(1-\log_{1-x} (1-2x))} {\log_{1-x} (1-x)(x+5) } \leqslant 0\]

По методу рационализации:

    \[\frac{(1-x-1) (x+5-1)(1-x-1)(1-x-(1-2x))} {(1-x-1) ((1-x)(x+5)-1) } \leqslant 0\]

    \[\frac{(-x) (x+4)x} {(4-4x-x^2) } \leqslant 0\]

    \[\frac{ (x+4)x^2} {(x^2+4x-4) } \leqslant 0\]

Разложим на множители квадратный трехчлен:

    \[x^2+4x-4=0\]

    \[D=16+16=32\]

Корни:

    \[x_1=-2+2\sqrt{2}; x_2=-2-\sqrt{2}\]

Тогда

    \[\frac{ (x+4)x^2} {(x+2-2\sqrt{2})(x+2+2\sqrt{2})} \leqslant 0\]

Отмечаем точки и расставляем знаки:

Решение без учета ОДЗ

Определяем ОДЗ (для эксперта пишем  – «ограничения»)

    \[1-2x>0\]

    \[x<\frac{1}{2}\]

Также

    \[1-x>0\]

    \[x<1\]

И

    \[1-x\neq 1\]

    \[x\neq 0\]

Также

    \[5-4x-x^2\neq 1\]

    \[x\neq -2+2\sqrt{2}; x\neq -2-\sqrt{2}\]

Еще

    \[5-4x-x^2>0\]

    \[-5<x<1\]

И, наконец,

    \[5-9x-2x^2>0\]

    \[-5<x<\frac{1}{2}\]

С учетом ОДЗ записываем ответ:

Ответ: x \in (-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4; 0)\cup (0; 0,5)

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *