Довольно сложное логарифмическое неравенство

[latexpage]

Логарифмическое неравенство, довольно сложное, да вот, сами судите:

Решить неравенство:

$$\log_{5-4x-x^2} (5-9x-2x^2)\leqslant\log_{1-x} (1-2x)$$

Разложим квадратные трехчлены на множители:

$$5-4x-x^2=0$$

$$D=16+4\cdot 5=36$$

Корни

$$x_1=-5; x_2=1$$

$$5-9x-2x^2=0$$

$$D=81+4\cdot 2\cdot 5=121$$

Корни

$$x_1=-5; x_2=\frac{1}{2}$$

Тогда неравенство будет выглядеть так:

$$\log_{(1-x)(x+5)} {(x+5)(1-2x)}\leqslant\log_{1-x} (1-2x)$$

Переносим влево:

$$\log_{(1-x)(x+5)} {(x+5)(1-2x)}- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0$$

Переходим к логарифму по другому основанию:

$$\frac{\log_{1-x} (x+5)(1-2x)} {\log_{1-x} (1-x)(x+5) }- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\log_{1-x} (x+5)+\log_{1-x} (1-2x)} {1+\log_{1-x} (x+5) }- \log_{1-x} (1-2x) \leqslant 0$$

$$\frac{\log_{1-x} (x+5)-\log_{1-x} (1-2x)\cdot\log_{1-x} (x+5)} {1+\log_{1-x} (x+5) } \leqslant 0$$

$$\frac{\log_{1-x} (x+5)(1-\log_{1-x} (1-2x))} {\log_{1-x} (1-x)(x+5) } \leqslant 0$$

По методу рационализации:

$$\frac{(1-x-1) (x+5-1)(1-x-1)(1-x-(1-2x))} {(1-x-1) ((1-x)(x+5)-1) } \leqslant 0$$

$$\frac{(-x) (x+4)x} {(4-4x-x^2) } \leqslant 0$$

$$\frac{ (x+4)x^2} {(x^2+4x-4) } \leqslant 0$$

Разложим на множители квадратный трехчлен:

$$ x^2+4x-4=0$$

$$D=16+16=32$$

Корни:

$$x_1=-2+2\sqrt{2}; x_2=-2-\sqrt{2}$$

Тогда

$$\frac{ (x+4)x^2} {(x+2-2\sqrt{2})(x+2+2\sqrt{2})} \leqslant 0$$

Отмечаем точки и расставляем знаки:

Решение без учета ОДЗ

Определяем ОДЗ (для эксперта пишем  – «ограничения»)

$$1-2x>0$$

$$x<\frac{1}{2}$$

Также

$$1-x>0$$

$$x<1$$

И

$$1-x\neq 1$$

$$x\neq 0$$

Также

$$5-4x-x^2\neq 1$$

$$x\neq -2+2\sqrt{2}; x\neq -2-2\sqrt{2}$$

Еще

$$5-4x-x^2>0$$

$$-5<x<1$$

И, наконец,

$$5-9x-2x^2>0$$

$$-5<x<\frac{1}{2}$$

С учетом ОДЗ записываем ответ:

Ответ: $x \in (-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4; 0)\cup (0; 0,5)$