Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Второй закон Ньютона, Динамика

Динамика: сложные задачи

Предлагаю решение нескольких задач из книги “Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач”. Возможно, в дальнейшем на сайте появятся и решения других задач из этой книги. Задачи интересные, и все как одна “решабельные”, то есть никаких подвохов в них нет.

Задача 1. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем движется вниз. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол наклона плоскости к горизонту.

К задаче 1

Так как  график составлен из двух отрезков прямых, то ускорение шайбы постоянно на обоих отрезках. Определим его. При движении вверх скорость шайбы изменилась с 6 м/с до 0 за 4 с, следовательно, ускорение равно м/с. На пути вниз скорость шайбы с нуля доросла до 4 м/с за 4 с, следовательно, ускорение равно м/с.

К задаче 1 – движение вверх

К задаче 1 – движение вниз

Реакция опоры при движении шайбы равна

   

От реакции опоры напрямую зависит сила трения. Запишем уравнение по второму закону Ньютона для движения шайбы вверх (сразу учтем, что ускорение отрицательно, поскольку шайба тормозит):

   

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для движения шайбы вниз:

   

Складывая  уравнения, имеем:

   

Откуда

   

   

Ответ: .

Задача 2. Два шарика одинакового диаметра, имеющие массы г и г, связаны между собой легкой нерастяжимой нитью, длина которой значительно превышает диаметр шариков. Шарики сбросили с достаточно большой высоты. Спустя некоторое время после этого вследствие сопротивления воздуха скорость падения шариков стала постоянной. Найти натяжение нити Т при установившемся падении шариков. Ускорение свободного падения м/с .

К задаче 2

Шарики при падении «выстроятся»: снизу расположится более тяжелый, за ним «потянется» более легкий. «Потянется» в прямом смысле, посредством нити.

Для первого шарика уравнение для установившегося движения:

   

Для второго шарика:

   

Складывая, имеем:

   

   

Подставим в любое уравнение полученную силу сопротивления:

   

Ответ: Н.

Задача 3. Два одинаковых груза массой кг  связаны между собой нитью, перекинутой через блок с неподвижной осью. На один из грузов кладут перегрузок массой кг. С какой силой Р будет давить перегрузок на груз ? Массой блока и нити, а также трением в оси блока пренебречь, нить считать нерастяжимой‚ ускорение свободного падения принять равным м/с.

К задаче 3

Запишем уравнение по второму закону для груза с перегрузком:

   

Для груза без перегрузка:

   

Из второго уравнения имеем :

   

Подставим в первое:

   

   

   

Теперь, зная ускорение, легко отыщем силу давления перегрузка на груз:

   

Ответ: .

Задача 4. В системе, показанной на рисунке, грузы массами кг и кг прикреплены к концам невесомой нерастяжимой нити. На такой же нити, один конец которой закреплен, а другой прикреплен к грузу массой ,  висит подвижный блок. К оси этого блока на легких нерастяжимых нитях подвешен груз массой кг. Отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Пренебрегая трением и массой блоков, найти модуль и направление ускорения груза .  Ускорение свободного падения принять равным м/с.

К задаче 4

Это одна из задач, решение которых строится на факте нерастяжимости нити. Именно этот факт будет важен, так как решение будем основывать на том, что сумма путей, пройденных грузами, постоянна, и максимально равна длине нити. Пусть координаты грузов по оси , и соответственно. Пусть в некоторый момент времени их координаты стали , и . Путь, пройденный телом 1:

   

А нить при этом «сократилась» на .

Путь, пройденный телом 2:

   

А нить при этом «сократилась» на .

Путь, пройденный телом 3:

   

А нить при этом «удлинилась» на .

Запишем пути, пройденные телами, через их ускорения:

   

   

   

Можно записать, что

   

Следовательно, ускорения тел 2 и 3 одинаковы, , а у тела 1 тогда .

Теперь можно перейти к динамике. Запишем уравнения по второму закону Ньютона для всех тел. При этом обратим внимание, что разные участки нити будут по-разному натянуты. Это происходит из-за наличия груза 2, он является своеобразным «перегрузком»:

Силы

   

   

   

Перейдем везде к ускорению , ведь оно – искомое:

   

   

   

Из последнего уравнения

   

А из первого

   

Тогда, подставляя все во второе, получим:

   

   

   

«Минус» указывает направление ускорения: оно направлено вверх, против .

   

Ответ: м/с, направлено вверх.

Задача 5. Через гладкий блок, закрепленный на гладкой неподвижной наклонной  плоскости, составляющей с горизонтом угол , перекинута легкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к бруску массой кг, лежащему на плоскости, а свисающий конец пропущен через узкое отверстие в грузе массой кг, как показано  на рисунке. Если одновременно отпустить брусок и груз, нить будет проскальзывать через отверстие с постоянным ускорением м/с относительно груза. Найти силу натяжения нити. Ускорение свободного падения принять равным м/с.

К задаче 5

Запишем уравнение по второму закону для обоих грузов:

   

   

Теперь определимся с ускорениями: так как нить проскальзывает относительно груза , то

   

Тогда, подставляя силу натяжения нити, имеем:

   

   

   

Теперь можно определять силу натяжения:

   

   

   

   

Ответ: Н

Задача 6. Маленькую шайбу массой г запустили со скоростью м/с в направлении по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой г и радиусом м. Найдите модуль силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.

По закону сохранения импульса

   

   

Если перейти в систему отсчета «сфера», то скорость шайбы в ней будет равна

   

Известно, что при движении по окружности угловая скорость такого движения равна  , следовательно,

   

Угловая скорость через период:

   

Период – время одного оборота:

   

Следовательно,

   

Аналогично

   

Теперь можем найти, с какой силой шайба будет давить на сферу:

   

   

Ответ: Н.


Задача 7.  На горизонтальном диске на расстоянии см от оси лежит маленькая шайба. Диск медленно раскручивают так, что его угловая скорость равномерно возрастает со временем. Через время с после начала раскручивания шайба начала скользить по диску. Найти коэффициент трения шайбы о диск, если за время диск сделал оборотов.

К задаче 7

Сила трения удерживает шайбу от соскальзывания. Однако диск разгоняется, следовательно, есть тангенциальное ускорение, и скорость  шайбы растет, что вызывает рост нормального ускорения. Наконец, общее ускорение становится столь большим, что сила, им обусловленная, превышает силу трения, и шайба соскальзывает.

Условие соскальзывания

   

Где .

Выясним, каковы нормальное и тангенциальное ускорения.

Скорость шайбы растет и становится равной к моменту соскальзывания. Угловая скорость становится равной за то же время. Тогда

   

   

Путь, пройденный телом – пять кругов – равен .

   

Угловая скорость определяет, какой угол преодолело тело за промежуток времени. У нас пять кругов, следовательно, тело прошло радиан за время , тогда

   

Нормальное ускорение тела

   

В свою очередь, полное ускорение равно

   

Тогда

   

Ответ: .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *