Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Второй закон Ньютона, Динамика

Динамика: сложные задачи

Предлагаю решение нескольких задач из книги “Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач”. Возможно, в дальнейшем на сайте появятся и решения других задач из этой книги. Задачи интересные, и все как одна “решабельные”, то есть никаких подвохов в них нет.

Задача 1. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем движется вниз. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол наклона плоскости к горизонту.

К задаче 1

Так как  график составлен из двух отрезков прямых, то ускорение шайбы постоянно на обоих отрезках. Определим его. При движении вверх скорость шайбы изменилась с 6 м/с до 0 за 4 с, следовательно, ускорение равно м/с. На пути вниз скорость шайбы с нуля доросла до 4 м/с за 4 с, следовательно, ускорение равно м/с.

К задаче 1 – движение вверх

К задаче 1 – движение вниз

Реакция опоры при движении шайбы равна

   

От реакции опоры напрямую зависит сила трения. Запишем уравнение по второму закону Ньютона для движения шайбы вверх:

   

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для движения шайбы вниз:

   

Складывая оба уравнения, имеем:

   

Откуда

   

   

Ответ: .

Задача 2. Два шарика одинакового диаметра, имеющие массы г и г, связаны между собой легкой нерастяжимой нитью, длина которой значительно превышает диаметр шариков. Шарики сбросили с достаточно большой высоты. Спустя некоторое время после этого вследствие сопротивления воздуха скорость падения шариков стала постоянной. Найти натяжение нити Т при установившемся падении шариков. Ускорение свободного падения м/с .

К задаче 2

Шарики при падении «выстроятся»: снизу расположится более тяжелый, за ним «потянется» более легкий. «Потянется» в прямом смысле, посредством нити.

Для первого шарика уравнение для установившегося движения:

   

Для второго шарика:

   

Складывая, имеем:

   

   

Подставим в любое уравнение полученную силу сопротивления:

   

Ответ: Н.

Задача 3. Два одинаковых груза массой кг  связаны между собой нитью, перекинутой через блок с неподвижной осью. На один из грузов кладут перегрузок массой кг. С какой силой Р будет давить перегрузок на груз ? Массой блока и нити, а также трением в оси блока пренебречь, нить считать нерастяжимой‚ ускорение свободного падения принять равным м/с.

К задаче 3

Запишем уравнение по второму закону для груза с перегрузком:

   

Для груза без перегрузка:

   

Из второго уравнения имеем :

   

Подставим в первое:

   

   

   

Теперь, зная ускорение, легко отыщем силу давления перегрузка на груз:

   

Ответ: .

Задача 4. В системе, показанной на рисунке, грузы массами кг и кг прикреплены к концам невесомой нерастяжимой нити. На такой же нити, один конец которой закреплен, а другой прикреплен к грузу массой ,  висит подвижный блок. К оси этого блока на легких нерастяжимых нитях подвешен груз массой кг. Отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Пренебрегая трением и массой блоков, найти модуль и направление ускорения груза .  Ускорение свободного падения принять равным м/с.

К задаче 4

Это одна из задач, решение которых строится на факте нерастяжимости нити. Именно этот факт будет важен, так как решение будем основывать на том, что сумма путей, пройденных грузами, постоянна, и максимально равна длине нити. Пусть координаты грузов по оси , и соответственно. Пусть в некоторый момент времени их координаты стали , и . Путь, пройденный телом 1:

   

А нить при этом «сократилась» на .

Путь, пройденный телом 2:

   

А нить при этом «сократилась» на .

Путь, пройденный телом 3:

   

А нить при этом «удлинилась» на .

Запишем пути, пройденные телами, через их ускорения:

   

   

   

Можно записать, что

   

Следовательно, ускорения тел 2 и 3 одинаковы, , а у тела 1 тогда .

Теперь можно перейти к динамике. Запишем уравнения по второму закону Ньютона для всех тел. При этом обратим внимание, что разные участки нити будут по-разному натянуты. Это происходит из-за наличия груза 2, он является своеобразным «перегрузком»:

Силы

   

   

   

Перейдем везде к ускорению , ведь оно – искомое:

   

   

   

Из последнего уравнения

   

А из первого

   

Тогда, подставляя все во второе, получим:

   

   

   

«Минус» указывает направление ускорения: оно направлено вверх, против .

   

Ответ: м/с, направлено вверх.

Задача 5. Через гладкий блок, закрепленный на гладкой неподвижной наклонной  плоскости, составляющей с горизонтом угол , перекинута легкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к бруску массой кг, лежащему на плоскости, а свисающий конец пропущен через узкое отверстие в грузе массой кг, как показано  на рисунке. Если одновременно отпустить брусок и груз, нить будет проскальзывать через отверстие с постоянным ускорением м/с относительно груза. Найти силу натяжения нити. Ускорение свободного падения принять равным м/с.

К задаче 5

Запишем уравнение по второму закону для обоих грузов:

   

   

Теперь определимся с ускорениями: так как нить проскальзывает относительно груза , то

   

Тогда, подставляя силу натяжения нити, имеем:

   

   

   

Теперь можно определять силу натяжения:

   

   

   

   

Ответ: Н

Задача 6. Маленькую шайбу массой г запустили со скоростью м/с в направлении по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой г и радиусом м. Найдите модуль силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.

По закону сохранения импульса

   

   

Если перейти в систему отсчета «сфера», то скорость шайбы в ней будет равна

   

Известно, что при движении по окружности угловая скорость такого движения равна  , следовательно,

   

Угловая скорость через период:

   

Период – время одного оборота:

   

Следовательно,

   

Аналогично

   

Теперь можем найти, с какой силой шайба будет давить на сферу:

   

   

Ответ: Н.


Задача 7.  На горизонтальном диске на расстоянии см от оси лежит маленькая шайба. Диск медленно раскручивают так, что его угловая скорость равномерно возрастает со временем. Через время с после начала раскручивания шайба начала скользить по диску. Найти коэффициент трения шайбы о диск, если за время диск сделал оборотов.

К задаче 7

Сила трения удерживает шайбу от соскальзывания. Однако диск разгоняется, следовательно, есть тангенциальное ускорение, и скорость  шайбы растет, что вызывает рост нормального ускорения. Наконец, общее ускорение становится столь большим, что сила, им обусловленная, превышает силу трения, и шайба соскальзывает.

Условие соскальзывания

   

Где .

Выясним, каковы нормальное и тангенциальное ускорения.

Скорость шайбы растет и становится равной к моменту соскальзывания. Угловая скорость становится равной за то же время. Тогда

   

   

Путь, пройденный телом – пять кругов – равен .

   

Угловая скорость определяет, какой угол преодолело тело за промежуток времени. У нас пять кругов, следовательно, тело прошло радиан за время , тогда

   

Нормальное ускорение тела

   

В свою очередь, полное ускорение равно

   

Тогда

   

Ответ: .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *