Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Второй закон Ньютона, Динамика

Динамика: сложные задачи

Предлагаю решение нескольких задач из книги “Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач”. Возможно, в дальнейшем на сайте появятся и решения других задач из этой книги. Задачи интересные, и все как одна “решабельные”, то есть никаких подвохов в них нет.

Задача 1. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем движется вниз. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол \alpha наклона плоскости к горизонту.

К задаче 1

Так как  график составлен из двух отрезков прямых, то ускорение шайбы постоянно на обоих отрезках. Определим его. При движении вверх скорость шайбы изменилась с 6 м/с до 0 за 4 с, следовательно, ускорение равно a_1=1,5 м/с^2. На пути вниз скорость шайбы с нуля доросла до 4 м/с за 4 с, следовательно, ускорение равно a_2=1 м/с^2.

К задаче 1 – движение вверх

К задаче 1 – движение вниз

Реакция опоры при движении шайбы равна

    \[N=mg \cos {\alpha}\]

От реакции опоры напрямую зависит сила трения. Запишем уравнение по второму закону Ньютона для движения шайбы вверх (сразу учтем, что ускорение отрицательно, поскольку шайба тормозит):

    \[ma_1=F_{tr}+mg \sin {\alpha}\]

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для движения шайбы вниз:

    \[ma_2=mg \sin {\alpha}-F_{tr}\]

Складывая  уравнения, имеем:

    \[m(a_1+a_2)=2 mg \sin {\alpha}\]

Откуда

    \[\sin {\alpha}=\frac{ a_1+a_2}{2g}\]

    \[\alpha=\arcsin{\frac{ a_1+a_2}{2g}}=\arcsin{\frac{ 1,5+1}{20}}=\arcsin{0,125}=7,2^{\circ}\]

Ответ: 7^{\circ}.

Задача 2. Два шарика одинакового диаметра, имеющие массы m_1 = 300 г и m_2 = 100 г, связаны между собой легкой нерастяжимой нитью, длина которой значительно превышает диаметр шариков. Шарики сбросили с достаточно большой высоты. Спустя некоторое время после этого вследствие сопротивления воздуха скорость падения шариков стала постоянной. Найти натяжение нити Т при установившемся падении шариков. Ускорение свободного падения g = 10 м/с^2 .

К задаче 2

Шарики при падении «выстроятся»: снизу расположится более тяжелый, за ним «потянется» более легкий. «Потянется» в прямом смысле, посредством нити.

Для первого шарика уравнение для установившегося движения:

    \[Mg-T-F_{sopr}=0\]

Для второго шарика:

    \[mg+T-F_{sopr}=0\]

Складывая, имеем:

    \[2 F_{sopr}=(M+m)g\]

    \[F_{sopr}=\frac{(M+m)g}{2}\]

Подставим в любое уравнение полученную силу сопротивления:

    \[T=Mg- F_{sopr}=Mg-\frac{(M+m)g}{2}=\frac{(M-m)g}{2}=\frac{(0,3-0,1)10}{2}=1\]

Ответ: T=1 Н.

Задача 3. Два одинаковых груза массой M =1 кг  связаны между собой нитью, перекинутой через блок с неподвижной осью. На один из грузов кладут перегрузок массой m=0,1 кг. С какой силой Р будет давить перегрузок на груз M? Массой блока и нити, а также трением в оси блока пренебречь, нить считать нерастяжимой‚ ускорение свободного падения принять равным g= 10 м/с^2.

К задаче 3

Запишем уравнение по второму закону для груза с перегрузком:

    \[(M+m)a=(M+m)g-T\]

Для груза без перегрузка:

    \[Ma=T-Mg\]

Из второго уравнения имеем T:

    \[T=M(a+g)\]

Подставим в первое:

    \[(M+m)a=(M+m)g-M(a+g)\]

    \[(2M+m)a=mg\]

    \[a=\frac{m}{2M+m}g\]

Теперь, зная ускорение, легко отыщем силу давления перегрузка на груз:

    \[P=(g-a)m=\frac{2Mmg}{2M+m}\]

Ответ: P=\frac{2Mmg}{2M+m}.

Задача 4. В системе, показанной на рисунке, грузы массами m_2 = 1 кг и m_3= 5 кг прикреплены к концам невесомой нерастяжимой нити. На такой же нити, один конец которой закреплен, а другой прикреплен к грузу массой m_2,  висит подвижный блок. К оси этого блока на легких нерастяжимых нитях подвешен груз массой m_1 = 6 кг. Отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Пренебрегая трением и массой блоков, найти модуль и направление ускорения груза m_1.  Ускорение свободного падения принять равным g= 10 м/с^2.

К задаче 4

Это одна из задач, решение которых строится на факте нерастяжимости нити. Именно этот факт будет важен, так как решение будем основывать на том, что сумма путей, пройденных грузами, постоянна, и максимально равна длине нити. Пусть координаты грузов по оси y y_1, y_2 и y_3 соответственно. Пусть в некоторый момент времени их координаты стали y_1', y_2' и y_3'. Путь, пройденный телом 1:

    \[S_1= y_1'- y_1\]

А нить при этом «сократилась» на 2S_1.

Путь, пройденный телом 2:

    \[S_2= y_2'- y_2\]

А нить при этом «сократилась» на S_2.

Путь, пройденный телом 3:

    \[S_3= y_3'- y_3\]

А нить при этом «удлинилась» на S_3.

Запишем пути, пройденные телами, через их ускорения:

    \[S_1=\frac{a_1t^2}{2}\]

    \[S_2=\frac{a_2t^2}{2}\]

    \[S_3=\frac{a_3t^2}{2}\]

Можно записать, что

    \[2S_1=S_2=S_3\]

Следовательно, ускорения тел 2 и 3 одинаковы, a_2=a_3, а у тела 1 тогда 2a_1=a_2.

Теперь можно перейти к динамике. Запишем уравнения по второму закону Ньютона для всех тел. При этом обратим внимание, что разные участки нити будут по-разному натянуты. Это происходит из-за наличия груза 2, он является своеобразным «перегрузком»:

Силы

    \[-m_1a_1=m_1g-2T_2\]

    \[-m_2a_2=m_2g-T+T_2\]

    \[m_3a_3=m_3g-T\]

Перейдем везде к ускорению a_1, ведь оно – искомое:

    \[-m_1a_1=m_1g-2T_2\]

    \[-2m_2a_1=m_2g-T+T_2\]

    \[2m_3a_1=m_3g-T\]

Из последнего уравнения

    \[T= m_3(g-2a_1)\]

А из первого

    \[2T_2=m_1(g+a)\]

Тогда, подставляя все во второе, получим:

    \[-2m_2a_1=m_2g- m_3(g-2a_1)+\frac{ m_1(g+a)}{2}\]

    \[-a_1(m_3+m_2+\frac{m_1}{2})=(m_2-m_3+\frac{m_1}{2})g\]

    \[a_1=-\frac{ 2m_2-2m_3+m_1}{4m_3+4m_2+m_1}g\]

«Минус» указывает направление ускорения: оно направлено вверх, против g.

    \[a_1=-\frac{ 2-10+6}{20+4+6}g=-0,67\]

Ответ: a_1=0,67 м/с^2, направлено вверх.

Задача 5. Через гладкий блок, закрепленный на гладкой неподвижной наклонной  плоскости, составляющей с горизонтом угол \alpha= 30^{\circ}, перекинута легкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к бруску массой M = 5 кг, лежащему на плоскости, а свисающий конец пропущен через узкое отверстие в грузе массой m= 1 кг, как показано  на рисунке. Если одновременно отпустить брусок и груз, нить будет проскальзывать через отверстие с постоянным ускорением a= 3 м/с^2 относительно груза. Найти силу T натяжения нити. Ускорение свободного падения принять равным g= 10 м/с^2.

К задаче 5

Запишем уравнение по второму закону для обоих грузов:

    \[Ma_M=Mg\sin{\alpha}-T\]

    \[ma_m=mg-T\]

Теперь определимся с ускорениями: так как нить проскальзывает относительно груза m, то

    \[a_M=a-a_m\]

Тогда, подставляя силу натяжения нити, имеем:

    \[M(a-a_m)=Mg\sin{\alpha}-m(g-a_m)\]

    \[Ma+ma- Mg\sin{\alpha}=ma_m+Ma_m\]

    \[a_m=\frac{mg+Ma- Mg\sin{\alpha}}{m+M}\]

Теперь можно определять силу натяжения:

    \[T=mg-ma_m=mg-\frac{m(mg+Ma- Mg\sin{\alpha})}{m+M}\]

    \[T=\frac{mgM-maM+ Mmg\sin{\alpha})}{m+M}\]

    \[T=\frac{mM}{M+m}(g(1+\sin{\alpha})-a)\]

    \[T=\frac{5}{6}(10(1+0,5)-3)=10\]

Ответ: T=10 Н

Задача 6. Маленькую шайбу массой m = 100 г запустили со скоростью \upsilon_0= 0,6 м/с в направлении по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой M = 500 г и радиусом r = 0,5 м. Найдите модуль силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.

По закону сохранения импульса

    \[u(m+M)=\upsilon_0m\]

    \[u=\frac{\upsilon_0m }{m+M}\]

Если перейти в систему отсчета «сфера», то скорость шайбы в ней будет равна

    \[\upsilon_{sh}=\upsilon_0-u=\upsilon_0-\frac{\upsilon_0m }{m+M}=\frac{\upsilon_0M }{m+M}\]

Известно, что при движении по окружности угловая скорость такого движения равна  \upsilon =\omega r, следовательно,

    \[R_{sh}=\frac{\upsilon_{sh} }{\omega }\]

Угловая скорость через период:

    \[\omega=\frac{2\pi}{T}\]

Период – время одного оборота:

    \[T=\frac{2 \pi r}{\upsilon_0}\]

Следовательно,

    \[R_{sh}=\frac{Mr }{m+M}\]

Аналогично

    \[R_{sf}=\frac{mr }{m+M}\]

Теперь можем найти, с какой силой шайба будет давить на сферу:

    \[F=ma_n=\frac{m\ upsilon_{sh}^2}{R_{sh}}=m\frac{\upsilon_0^2M^2}{(m+M)^2}\frac{m+M}{Mr}=\frac{\upsilon_0^2Mm}{(m+M)r}\]

    \[F=\frac{0,6^2\cdot0,5\cdot0,1}{0,6\cdot0,5}=0,6\]

Ответ: F=0,6 Н.


Задача 7.  На горизонтальном диске на расстоянии R = 50 см от оси лежит маленькая шайба. Диск медленно раскручивают так, что его угловая скорость равномерно возрастает со временем. Через время t=20 с после начала раскручивания шайба начала скользить по диску. Найти коэффициент трения шайбы о диск, если за время t диск сделал n= 5 оборотов.

К задаче 7

Сила трения удерживает шайбу от соскальзывания. Однако диск разгоняется, следовательно, есть тангенциальное ускорение, и скорость  шайбы растет, что вызывает рост нормального ускорения. Наконец, общее ускорение становится столь большим, что сила, им обусловленная, превышает силу трения, и шайба соскальзывает.

Условие соскальзывания

    \[ma=mg\mu\]

Где a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}.

Выясним, каковы нормальное и тангенциальное ускорения.

Скорость шайбы растет и становится равной \upsilon к моменту соскальзывания. Угловая скорость становится равной \omega за то же время. Тогда

    \[S=\frac{a_t t^2}{2}\]

    \[a_t=\frac{2S}{t^2}\]

Путь, пройденный телом – пять кругов – равен S=n\cdot2 \pi R.

    \[a_t=\frac{ 4n\cdot \pi R }{t^2}\]

Угловая скорость определяет, какой угол преодолело тело за промежуток времени. У нас пять кругов, следовательно, тело прошло 2 \pi n радиан за время t, тогда

    \[\omega=\frac{2 \pi n }{t}\]

Нормальное ускорение тела

    \[a_n=\omega^2 R=\frac{4 \pi^2 n^2R }{t^2}\]

В свою очередь, полное ускорение равно

    \[a=\sqrt{\frac{16 \pi^4 n^4R^2 }{t^4}+\frac{ 16n^2\cdot \pi^2 R^2 }{t^4}}=\frac{4R\pi n}{t^2}\sqrt{\pi^2n^2+1}\]

Тогда

    \[\mu=\frac{a}{g}=\frac{4\cdot0,5\cdot \pi \cdot5}{20^2\cdot10}\sqrt{\pi^2\cdot25+1}=0,5\]

Ответ: \mu=0,5.

 

Комментариев - 2

  • Никита
    |

    добрый вечер, в задаче № 3 в разделе сложных задач по динамике, я думаю что формула силы давления в данном случае будет иметь вид P= m*(g+a), а не P= m*(g-a) , так как ускорение груза с перегрузом будет направлено вниз . Если я не прав, прошу объяснить в чем моя ошибка.

    Ответить
    • Анна
      |

      Конечно, ускорение направлено вниз. Поэтому для перегрузка можно записать

          \[ma=mg-N\]

      Или

          \[N=mg-ma=m(g-a)\]

      По третьему закону сила реакции опоры равна силе, с которой перегрузок давит на груз.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *