Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Волновая оптика

Дифракционная решетка

 

Задача 1. Световые волны от двух когерентных источников с длиной воины \lambda= 400 нм распространяются навстречу друг другу. Какой будет результат интерференции, если разность хода будет: а) \Delta d= 2мкм; б} \Delta d=2,2 мкм?
Определим количество полуволн  в разности хода для каждой разности хода:

    \[n_1=\frac{2\delta }{\lambda}=\frac{4\cdot10^{-6}}{400\cdot10^{-9}}=10\]

    \[n_2=\frac{2\delta }{\lambda}=\frac{4,4\cdot10^{-6}}{400\cdot10^{-9}}=11\]

В первом случае число полуволн четно, следовательно, произойдет усиление света. Во втором случае (число полуволн нечетно) свет ослабляется.

Задача 2. Как изменится интерференционная картина от двух когерентных источников на экране, если: а) не изменяя расстояния между источниками света, удалить их от экрана; б) не изменяя расстояние до экрана, сблизить источники света; в) источники света будут испускать свет меньшей длины волны?
Используем формулу d \sin \varphi=m \lambda. Рассмотрим полосы первого порядка, тогда m=1. При малых углах часто принимают, что \sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi, а \operatorname{tg} \varphi=\frac{\Delta x }{L}. Тогда

    \[d \sin \varphi= \lambda=d \operatorname{tg} \varphi\]

    \[\frac{d\Delta x }{L}= \lambda\]

    \[\Delta x=\frac{L\lambda }{d}\]

Величина \Delta x=\frac{L \lambda}{d}, где d – расстояние между источниками, L – расстояние от источников до экрана, \lambda – длина волны, называется шириной интерференционной полосы. Понятно, что при увеличении расстояния L она увеличится, при уменьшении d – также увеличится, при уменьшении длины волны  – уменьшится.

Ширина интерференционной полосы

К задаче 3

Задача 3. Два когерентных источника S_1 и S_2 испускают монохроматический свет с длиной волны \lambda = 600 нм. На каком расстоянии от точки O будет первый максимум освещенности, если OC = 4 м и S_1S_2=1 мм?
Воспользуемся выводом формулы и самой формулой из предыдущей задачи. Тогда

    \[\Delta x=\frac{L\lambda }{d}=\frac{4\cdot 600\cdot10^{-9} }{10^{-3}}=2,4\cdot 10^{-3}\]

Ответ: \Delta x=2,4 мм

 

К задаче 4

Задача 4. Два когерентных источника S_1 и S_2, излучающие свет с длиной волны \lambda = 0,5 мкм, находятся на расстоянии a = 2 мм друг от друга. Параллельно линии, соединяющей источники, расположен экран на расстоянии L = 2 м от них. Что будет наблюдаться в точке А экрана: свет или темнота?

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

    \[d \sin \varphi= m\lambda\]

При малых углах часто принимают, что \sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{d}{L}=\frac{2\cdot10^{-3}}{2}=10^{-3}

Тогда

    \[d\sin \varphi = m\lambda\]

Таким образом, если m –  целое, то будет наблюдаться максимум:

    \[m=\frac{d\sin \varphi }{\lambda}=\frac{2\cdot10^{-6}}{0,5 \cdot10^{-6}}=4\]

Ответ: m=4 – целое, будет наблюдаться свет.

 

Задача 5. Почему в центральной части спектра, полученного на экране при освещении дифракционной решетки белым светом, всегда наблюдается белая полоса?
В центральной части спектра \sin \varphi=0, поэтому 0=m \lambda, тогда длина волны может быть любой.

 

Задача 6. Дифракционная решетка содержит 100 штрихов на 1 мм. Найти длину волны монохроматического света, падающего на решетку, если угол между двумя максимумами первого порядка \alpha=8^{\circ}.
Формула дифракционной решетки:

    \[d\sin \varphi = m\lambda\]

Угол, данный в условии – угол между двумя максимумами, то есть

    \[\varphi=\frac{\alpha}{2}=4^{\circ}\]

Выразим длину волны:

    \[\lambda=\frac{ d\sin \varphi }{m}\]

    \[m=1\]

Определим d:

    \[d=\frac{l}{n}\]

    \[\lambda=\frac{ l\sin \varphi }{n m}=\frac{ 10^{-3}\sin 4^{\circ}}{100}=7\cdot 10^{-7}\]

Ответ: \lambda=700 нм

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *