Дифракционная решетка

Задача 1. Световые волны от двух когерентных источников с длиной воины $\lambda= 400$ нм распространяются навстречу друг другу. Какой будет результат интерференции, если разность хода будет: а) $\Delta d= 2$ мкм; б} $\Delta d=2,2$ мкм?
Определим количество полуволн в разности хода для каждой разности хода:

$n_1=\frac{2\delta }{\lambda}=\frac{4\cdot10^{-6}}{400\cdot10^{-9}}=10$

$n_2=\frac{2\delta }{\lambda}=\frac{4,4\cdot10^{-6}}{400\cdot10^{-9}}=11$

В первом случае число полуволн четно, следовательно, произойдет усиление света. Во втором случае (число полуволн нечетно) свет ослабляется.

Задача 2. Как изменится интерференционная картина от двух когерентных источников на экране, если: а) не изменяя расстояния между источниками света, удалить их от экрана; б) не изменяя расстояние до экрана, сблизить источники света; в) источники света будут испускать свет меньшей длины волны?
Используем формулу $d \sin \varphi=m \lambda$ . Рассмотрим полосы первого порядка, тогда $m=1$ . При малых углах часто принимают, что $\sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi$ , а $\operatorname{tg} \varphi=\frac{\Delta x }{L}$ . Тогда

$d \sin \varphi= \lambda=d \operatorname{tg} \varphi$

$\frac{d\Delta x }{L}= \lambda$

$\Delta x=\frac{L\lambda }{d}$

Величина $\Delta x=\frac{L \lambda}{d}$ , где $d$ – расстояние между источниками, $L$ – расстояние от источников до экрана, $\lambda$ – длина волны, называется шириной интерференционной полосы. Понятно, что при увеличении расстояния $L$ она увеличится, при уменьшении $d$ – также увеличится, при уменьшении длины волны – уменьшится.

Ширина интерференционной полосы

К задаче 3

Задача 3. Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$ испускают монохроматический свет с длиной волны $\lambda = 600$ нм. На каком расстоянии от точки $O$ будет первый максимум освещенности, если $OC = 4$ м и $S_1S_2=1$ мм?
Воспользуемся выводом формулы и самой формулой из предыдущей задачи. Тогда

$\Delta x=\frac{L\lambda }{d}=\frac{4\cdot 600\cdot10^{-9} }{10^{-3}}=2,4\cdot 10^{-3}$

Ответ: $\Delta x=2,4$ мм

К задаче 4

Задача 4. Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$ , излучающие свет с длиной волны $\lambda = 0,5$ мкм, находятся на расстоянии $a = 2$ мм друг от друга. Параллельно линии, соединяющей источники, расположен экран на расстоянии $L = 2$ м от них. Что будет наблюдаться в точке А экрана: свет или темнота?

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$d \sin \varphi= m\lambda$

При малых углах часто принимают, что $\sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{d}{L}=\frac{2\cdot10^{-3}}{2}=10^{-3}$

Тогда

$d\sin \varphi = m\lambda$

Таким образом, если $m$ – целое, то будет наблюдаться максимум:

$m=\frac{d\sin \varphi }{\lambda}=\frac{2\cdot10^{-6}}{0,5 \cdot10^{-6}}=4$

Ответ: $m=4$ – целое, будет наблюдаться свет.

Задача 5. Почему в центральной части спектра, полученного на экране при освещении дифракционной решетки белым светом, всегда наблюдается белая полоса?
В центральной части спектра $\sin \varphi=0$ , поэтому $0=m \lambda$ , тогда длина волны может быть любой.

Задача 6. Дифракционная решетка содержит 100 штрихов на 1 мм. Найти длину волны монохроматического света, падающего на решетку, если угол между двумя максимумами первого порядка $\alpha=8^{\circ}$ .
Формула дифракционной решетки: