Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Волновая оптика

Дифракционная решетка

В этой статье собраны решения нескольких задач по волновой оптике. Задачи из пособия «1000 задач» Демидовой М.Ю.

 

Задача 1. На дифракционную решетку с периодом 0,004 мм падает по нормали плоская монохроматическая волна. Количество дифракционных максимумов, наблюдаемых с помощью этой решетки, равно 19. Какова длина падающей волны света? Ответ округлите до десятков.

Решение. Используем уравнение дифракционной решетки.

    \[d\sin \varphi =m \lambda\]

    \[\lambda=\frac{ d\sin \varphi }{ m}\]

Надо сказать, что число максимумов справа и слева от центрального одинаково, и, если исключить центральный, то \frac{18}{2}=9. Этот девятый максимум расположен под максимальным углом, синус которого близок к 1.

    \[\lambda=\frac{ 4\cdot10^{-6}\cdot 1 }{ 9}=0,44\cdot10^{-6}\]

Ответ: 440 нм.

Задача 2. На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на мм, перпендикулярно ей падает плоская монохроматическая волна. Какова длина падающей волны, если максимум 4-го порядка наблюдается в направлении, перпендикулярном падающей волне?

Решение. Порядок решетки равен

    \[d=\frac{l}{N}=\frac{0,001}{500}=2\cdot10^{-6}\]

Снова угол равен максимальному, то есть 90^{\circ}. Тогда из уравнения решетки

    \[\lambda=\frac{ d\sin \varphi }{ m}=\frac{ 2\cdot10^{-6}\cdot 1}{ 4}=500\cdot10^{-9}\]

Ответ: 500 нм.

Задача 3. Дифракционная решетка с периодом 10^{-5} м расположена параллельно экрану на расстоянии 1,8 м от него. Какого порядка максимум в спектре будет наблюдаться на экране на расстоянии 10,44 см от центра дифракционной картины при освещении решетки нормально падающим пучком света длиной волны 580 нм? Считать \sin \alpha \approx \operatorname{tg}\alpha.

Решение. Применяем уравнение решетки. Но, с учетом малости угла, заменяем синус на тангенс:

    \[d\sin \varphi = d\operatorname{tg}\alpha =m \lambda\]

    \[m=\frac{ d\operatorname{tg}\alpha }{\lambda }=\frac{ d x}{L\lambda }=\frac{ 10^{-5}\cdot10,44}{180\cdot580\cdot 10^{-9}}=1\]

Ответ: m=1.

 

Задача 4. Дифракционная решетка с периодом 10^{-5} м расположена параллельно экрану на расстоянии 1,8 м от него. Между решеткой и экраном вплотную к решетке расположена линза, которая фокусирует свет, проходящий через решетку, на экране. Какого порядка максимум в спектре будет наблюдаться на экране на расстоянии 20,88 см от центра дифракционной картины при освещении решетки нормально падающим пучком света длиной волны 580 нм? Угол отклонения лучей решеткой считать малым, так что \sin \alpha \approx \operatorname{tg}\alpha.

Решение. Те же (почти)  числа, такая же, как №3, задача. Делаем вывод, что ответ – 2.

Задача 5. На дифракционную решетку, имеющую период 3\cdot 10^{-5} м, падает нормально параллельный пучок белого света. Спектр наблюдается на экране на расстоянии 3 м от решетки. Каково расстояние между красным и фиолетовым участками спектра первого порядка (первой цветной полоски на экране), если длины волн красного и фиолетового света соответственно равны 8\cdot 10^{-7} м и 4\cdot 10^{-7} м? Считать \sin \alpha \approx \operatorname{tg}\alpha.

Решение. Запишем два уравнения решетки.

    \[d\operatorname{tg}\alpha =m \lambda\]

    \[d\frac{x}{L} =m \lambda\]

Для красного света

    \[d\frac{x_1}{L} =m \lambda_1\]

Для фиолетового

    \[d\frac{x_2}{L} =m \lambda_2\]

Выражаем x_1 и x_2 и находим их разность:

    \[x_1=\frac{ m \lambda_1 L}{d}\]

    \[x_2=\frac{ m \lambda_2 L}{d}\]

    \[\Delta x=x_2-x_1=\frac{ m L}{d}(\lambda_2-\lambda_1)= \frac{ 1\cdot 3 }{3\cdot 10^{-5}}(8\cdot 10^{-7}-4\cdot 10^{-7})=0,04\]

Ответ: 4 см.

Задача 6. Дифракционная решетка, имеющая 750 штрихов на 1 см, расположена параллельно экрану на расстоянии 1,5 м от него. На решетку перпендикулярно ее плоскости направляют пучок монохроматического света. Определите длину волны света, если расстояние на экране между вторыми максимумами, расположенными слева и справа от центрального (нулевого), равно 22,5 см. Ответ в микрометрах округлите до десятых. Считать \sin \alpha \approx \operatorname{tg}\alpha.

Решение: порядок решетки

    \[d=\frac{l}{N}=\frac{0,01}{750}=1,3\cdot10^{-5}\]

Если расстояние между симметрично расположенными вторыми максимумами равно 22,5 см, то от центра такой максимум расположен в 11,25 см. Применяем уравнение решетки с учетом малости углов.

    \[d\operatorname{tg}\alpha =m \lambda\]

    \[d\frac{x}{L} =m \lambda\]

    \[\lambda=\frac{d\cdot x}{m\cdot L}=\frac{l\cdot x}{N\cdot m\cdot L}=\frac{0,01\cdot 0,1125}{750\cdot 2\cdot 1,5}=5\cdot10^{-7}\]

Ответ: 0,5 мкм.

Задача 7. Плоская монохроматическая световая волна падает по нормали на дифракционную решетку с периодом 5 мкм. Параллельно решетке позади нее размещена собирающая линза с фокусным расстоянием 20 см. Дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы. Расстояние между ее главными максимумами 1-го и 2-го порядков равно 18 мм. Найдите длину падающей волны. Ответ в нанометрах округлите до целых. Считать \sin \alpha \approx \operatorname{tg}\alpha.

Решение. Применяем уравнение решетки с учетом малости углов.

    \[d\operatorname{tg}\alpha =m \lambda\]

    \[d\frac{x}{L} =m \lambda\]

Запишем его для обоих случаев (для максимумов первого и второго порядков):

    \[d\frac{x_1}{L} =m_1 \lambda\]

    \[d\frac{x_2}{L} =m_2 \lambda\]

Выражаем x_1 и x_2 и находим их разность:

    \[x_1=\frac {m_1 \lambda L}{d}\]

    \[x_2=\frac {m_2 \lambda L}{d}\]

    \[\Delta x=x_2-x_1=\frac {m_2 \lambda L}{d}-\frac {m_1 \lambda L}{d}=\frac { \lambda L}{d} (m_2- m_1)\]

Откуда

    \[\lambda=\frac{\Delta x  d}{L(m_2- m_1)}= \frac{0,018\cdot 5\cdot 10^{-6}}{0,2}=0,45\cdot 10^{-6}\]

Ответ: 450 нм.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *