Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Волновая оптика

Дифракционная решетка – 2

В этой статье собраны задачи на использование формулы дифракционной решетки.

К задаче 1

Задача 1. При наблюдении через дифракционную решетку красный край спектра первого порядка виден на расстоянии l = 3,5 см от середины экрана. Расстояние от дифракционной решетки до экрана L = 50 см. Период решетки d = 10^{-2} мм. Определить длину волны красного цвета.
Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

    \[d \sin \varphi= m\lambda\]

В ней m=1 – так как в задаче упомянут красный край спектра первого порядка.

При малых углах принимают, что \sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{l}{L}=\frac{3,5\cdot10^{-2}}{50\cdot10^{-2}}=0,07

    \[\lambda= d \sin \varphi=10^{-5}\cdot0,07=7\cdot 10^{-7}\]

Ответ: \lambda=7\cdot 10^{-7}.

 

Задача 2. Дифракционную решетку, на каждый миллиметр которой нанесено n = 75 штрихов, освещают монохроматическим светом с длиной волны \lambda = 500 нм. При этом на экране видны светлые полосы на равных расстояниях друг от друга. Расстояние от центральной светлой полосы на экране до второй полосы h = 1,25 см. Определить расстояние L от решетки до экрана.

К задаче 2

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

    \[d \sin \varphi= m\lambda\]

В ней m=2 – так как в задаче упомянут максимум второго порядка (первая полоса – максимум первого порядка).

При малых углах принимают, что \sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{h}{L}

Тогда

    \[d \frac{h}{L}= m\lambda\]

Порядок решетки найдем как \frac{10^{-3}}{n}. Выразим L:

    \[L=\frac{dh}{m\lambda }=\frac{10^{-3}h}{n\lambda m }=\frac{10^{-3}\cdot1,25\cdot10^{-2}}{150\cdot500\cdot 10^{-9}}=0,16\]

Ответ: L=16 см.

 

Задача 3. Определить угол отклонения лучей красного света \lambda =  0,7 мкм в спектре первого порядка, полученном с помощью дифракционной решетки, период которой d= 0,02 мм.

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

    \[d \sin \varphi= m\lambda\]

В ней m=1. Определим синус искомого угла:

    \[\sin \varphi=\frac{\lambda }{d}=\frac{0,7\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-5}}=3,5\cdot10^{-2}\]

Определим сам угол:

    \[\varphi=\operatorname{arcsin}{\varphi}=\operatorname{arcsin}{3,5\cdot10^{-2}}=2^{\circ}\]

Ответ: \varphi=2^{\circ}.

Задача 4. При помощи дифракционной решетки с периодом d = 0,022 мм получен первый дифракционный максимум на расстоянии l_1 = 3,6 см от центрального максимума и на расстоянии l_2 = 1.8 м от решетки. Найти длину световой волны.

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

    \[d \sin \varphi= m\lambda\]

В ней m=1. При малых углах принимают, что \sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{l_1}{l_2}, тогда

    \[\lambda=\frac{ d \sin \varphi}{m}=\frac{dl_1}{l_2}=\frac{2,2\cdot10^{-5}\cdot3,6\cdot10^{-2}}{1,8}=4,4\cdot 10^{-7}\]

Ответ: \lambda=440 нм.

 

Задача 5. При освещении дифракционной решетки светом с длиной волны \lambda_1= 590 нм спектр третьего порядка виден под углом \alpha_1= 10^{\circ}12'. Определить длину волны \lambda_2 линии, для которой спектр второго порядка будет виден под углом \alpha_2=6^{\circ}18'.

Здесь формулу для дифракционной решетки придется применить дважды. Сначала определим порядок решетки:

    \[d \sin \varphi_1= m_1\lambda_1\]

    \[d=\frac{ m_1\lambda_1}{\sin \varphi_1}\]

Теперь найдем длину волны:

    \[d \sin \varphi_2= m_2\lambda_2\]

    \[\lambda_2=\frac{ d \sin \varphi_2}{m_2}=\frac{ m_1 \lambda_1 \sin \varphi_2}{ m_2\sin \varphi_1}=\frac{3\cdot 590\cdot 10^{-9}\sin 10^{\circ}12'}{2\cdot\sin 6^{\circ}18'}=548,5\cdot 10^{-9}\]

Ответ: \lambda_2=550 нм.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *