Дифференцированный платеж с нарушенной схемой

[latexpage]

Решим экономическую задачу «с нарушенной схемой» – в последнее время такие задачи чаще встречаются, чем задачи, решаемые строго по схеме. Потому что по схеме – с дифференцированными платежами или  с аннуитетными –  все уже давно научились, а кто не научился – тот вызубрил формулы. И организаторы ЕГЭ, понимая это, усложняют задачи.

15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1 000 000 рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа $n$-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу $(n + 1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Составим таблицу. Пусть $S$ – сумма кредита, $a=40000$ – та сумма, на которую уменьшается долг 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й.

$$S-na=200$$

$$n\cdot 40000=1000-200=800$$

$$n=20$$

«Соберем» все выплаты из второго столбца, получим:

$$20a+200+2r+0,01r(S+S-a+S-2a+\ldots+S-19a)=1378$$

$$1000+2r+0,01r(20S-a(1+2+\ldots+19))=1378$$

$$2r+0,01r(20S-190a)=378$$

$$2r+0,01r(20000-190\cdot40)=378$$

$$2r+200r-76r=378$$

$$126r=378$$

$$r=3$$

Ответ: 3%