Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 9 класс

Деление многочленов “уголком”


Сегодня учимся делить многочлены “уголком”, так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен [pmath]2x^4-x^3-x^2+3x-30[/pmath] на двучлен [pmath]x+2[/pmath] (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос – можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье “Схема Горнера”). Итак, за работу!

Выписываем наш многочлен и рядом, “на полочке” – двучлен, на который будем делить – все как с числами:

 

Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим [pmath]2x^4[/pmath] на [pmath]x[/pmath]):

Результат деления записываем под полочку – это первый “кусочек” ответа:

Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен [pmath]2x^3[/pmath]  на двучлен [pmath]x+2[/pmath], который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:

А теперь на второе:

Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена – кубы под кубы, квадраты – под квадраты и т. п.  Теперь производим вычитание:

И сносим вниз следующий одночлен ([pmath]-x^2[/pmath]):

Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления [pmath]-5x^3[/pmath] на [pmath]x[/pmath] записываем под полочку, получилось [pmath]-5x^2[/pmath] (не забудем про минус!):

И опять умножаем полученный одночлен ([pmath]-5x^2[/pmath]) на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:

Теперь на второе:

 

И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:

 

И вот мы опять на новом уровне! Но… здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:

 

Умножаем почленно, сначала [pmath]9x[/pmath] на [pmath]x[/pmath], потом [pmath]9x[/pmath] на [pmath]2[/pmath]:

 

Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление [pmath]-15x[/pmath] на [pmath]x[/pmath], результат (-15) – пишем под полку.

Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:

Деление закончилось без остатка – то есть исходный многочлен поделился на [pmath]x+2[/pmath] нацело. Ответ: [pmath]2x^3-5x^2-x^2+9x-15[/pmath]. Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени – получили в ответе многочлен третьей степени.

Попробуем еще раз?

Разделим многочлен [pmath]6x^3+7x^2-6x+1[/pmath] на [pmath]2x^2+3x-1[/pmath].

Выполняем те же шаги: сравниваем старшие степени делимого и делителя. Производим деление:

Полученное частное записываем под полочку. Умножаем его почленно на слагаемые делителя: на [pmath]2x^2[/pmath], затем на  [pmath]3x[/pmath], и наконец на  [pmath]-1[/pmath]:

 

Выполняем вычитание, “спускаем” вниз очередное слагаемое делимого. После этого все начинаем сначала: сравниваем старшие члены делимого и делителя…:

 

Дальше – можно уже без комментариев:

 

И наконец:

 

Ответ: [pmath]3x-1[/pmath]. Заметим, что исходный многочлен был третьей степени, деление производили на квадратный трехчлен – получили в ответе двучлен первой степени. Вообще степень делимого многочлена понижается всегда на степень делителя.

Пример 3:

 

 

Во всех примерах получалось разделить многочлен на многочлен без остатка, однако так бывает не всегда. Вот, например, случай, когда остаток от деления ненулевой:

 

Деление необходимо продолжать, пока степень делимого не станет равной, а лучше – меньшей, чем у делителя.

Задача:

при делении многочлена [pmath]x^2-5x+6[/pmath] на двучлен [pmath]x-9[/pmath] образовался остаток 42. Найти результат деления.

Решение: рассмотрим случай, когда остается остаток от деления. Если [pmath]P[/pmath] разделить на [pmath]Q[/pmath] и при этом остается остаток N, то это можно записать так: [pmath]P=QV+N[/pmath]. Тогда V можно найти так: [pmath](P-N)/Q=V[/pmath]. Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на [pmath]x-9[/pmath] (без остатка):

 

Теперь произведем деление:

Ответ:  [pmath]x+4[/pmath].

Еще задача:

при делении многочлена [pmath]2x^5+4x^4-5x^3-9x^2+3[/pmath] на двучлен [pmath]2x^2-5[/pmath] образовался остаток [pmath]x^2+3[/pmath]. Найти результат деления.

Решение:  V можно найти так: [pmath](P-N)/Q=V[/pmath]. Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на [pmath]2x^2-5[/pmath] (без остатка):

 

Теперь можно делить:

 

Ответ:  [pmath]x^3+2x^2[/pmath].

Достоинства способа: делить можно что угодно на что угодно, лишь бы степень делимого не была меньше, чем степень делителя. Делить можно на двучлен, на трехчлен и т.д. Делить можно даже в том случае, если остается остаток.

Комментариев - 8

  • Ольга
    |

    спасибо большое,очень помогло.Все легко и понятно расписано

    Ответить
  • |

    …на двучлен x-2…, а в рассматриваемом примере деление на x+2

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо.

      Ответить
  • Лита
    |

    спасибо! самое доходчивое объяснение!

    Ответить
  • проб
    |

    норм так

    Ответить
  • Татьяна
    |

    спасибо огромное)))

    Ответить
  • Фаварисова Зоя Николаевна
    |

    Спасибо огромное! Очень помогли. Точно.Самое доходчивое объяснение.

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *