Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 9 класс

Деление многочленов “уголком”


Сегодня учимся делить многочлены “уголком”, так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен 2x^4-x^3-x^2+3x-30 на двучлен x-2 (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос – можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье “Схема Горнера”). Итак, за работу!

Выписываем наш многочлен и рядом, “на полочке” – двучлен, на который будем делить – все как с числами:

 

Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим 2x^4 на x):

Результат деления записываем под полочку – это первый “кусочек” ответа:

Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен 2x^3  на двучлен x+2, который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:

А теперь на второе:

Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена – кубы под кубы, квадраты – под квадраты и т. п.  Теперь производим вычитание:

И сносим вниз следующий одночлен (-x^2):

Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления -5x^3 на x записываем под полочку, получилось -5x^2 (не забудем про минус!):

И опять умножаем полученный одночлен (-5x^2) на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:

Теперь на второе:

 

И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:

 

И вот мы опять на новом уровне! Но… здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:

 

Умножаем почленно, сначала 9x на x, потом 9x на 2:

 

Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление -15x на x, результат (-15) – пишем под полку.

Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:

Деление закончилось без остатка – то есть исходный многочлен поделился на x+2 нацело. Ответ: 2x^3-5x^2-x^2+9x-15. Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени – получили в ответе многочлен третьей степени.

Попробуем еще раз?

Разделим многочлен 6x^3+7x^2-6x+1 на 2x^2+3x-1.

Выполняем те же шаги: сравниваем старшие степени делимого и делителя. Производим деление:

Полученное частное записываем под полочку. Умножаем его почленно на слагаемые делителя: на 2x^2, затем на  3x, и наконец на  -1:

 

Выполняем вычитание, “спускаем” вниз очередное слагаемое делимого. После этого все начинаем сначала: сравниваем старшие члены делимого и делителя…:

 

Дальше – можно уже без комментариев:

 

И наконец:

 

Ответ: 3x-1. Заметим, что исходный многочлен был третьей степени, деление производили на квадратный трехчлен – получили в ответе двучлен первой степени. Вообще степень делимого многочлена понижается всегда на степень делителя.

Пример 3:

 

 

Во всех примерах получалось разделить многочлен на многочлен без остатка, однако так бывает не всегда. Вот, например, случай, когда остаток от деления ненулевой:

 

Деление необходимо продолжать, пока степень делимого не станет равной, а лучше – меньшей, чем у делителя.

Задача:

при делении многочлена x^2-5x+6 на двучлен x-9 образовался остаток 42. Найти результат деления.

Решение: рассмотрим случай, когда остается остаток от деления. Если P разделить на Q и при этом остается остаток N, то это можно записать так: P=QV+N. Тогда V можно найти так: (P-N)/Q=V. Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на x-9 (без остатка):

 

Теперь произведем деление:

Ответ:  x+4.

Еще задача:

при делении многочлена 2x^5+4x^4-5x^3-9x^2+3 на двучлен 2x^2-5 образовался остаток x^2+3. Найти результат деления.

Решение:  V можно найти так: (P-N)/Q=V. Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на 2x^2-5 (без остатка):

 

Теперь можно делить:

 

Ответ:  x^3+2x^2.

Достоинства способа: делить можно что угодно на что угодно, лишь бы степень делимого не была меньше, чем степень делителя. Делить можно на двучлен, на трехчлен и т.д. Делить можно даже в том случае, если остается остаток.

Один комментарий

  • Ольга
    |

    спасибо большое,очень помогло.Все легко и понятно расписано

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *