Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 11, Движение с постоянной скоростью, ОГЭ 22 (ГИА С2)

Чудак, который плавал в Неве, да еще фляжку потерял…

Попалась мне интересная задача, из любопытства я ее решила и захотела поделиться решением с вами. Первая задача в этой статье – разминочная, достаточно простая, а вторая, которая и является «гвоздем программы»,  была предложена на олимпиаде по математике для 7 класса. Думаю, даже и одиннадцатиклассникам, которые готовятся к ЕГЭ, не вредно будет такую задачу решить.

Задача 1. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 12 часов раньше, чем велосипедист в А, а встретились они через 2 часа 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?


 

Попробуем составить уравнения по условию задачи. Самое простое, что видится – это встреча ездоков. Раз встретились, значит, вдвоем проехали всю дистанцию между А и В. Двигались они при этом со скоростью сближения, то есть с их суммарной скоростью. Отсюда появляется первое уравнение задачи:

   

Где – расстояние между А и В, а и – скорости мотоциклиста и велосипедиста.

Понадобится еще одно уравнение, и из условия, что «мотоциклист приехал в В на 12 часов раньше, чем велосипедист в А» мы понимаем, что во втором уравнении должны появиться времена, которые ездоки потратили на свои поездки, и их сравнение.

Запишем время движения мотоциклиста: и велосипедиста: . Теперь составим уравнение. Так как мотоциклист «приехал в В на 12 часов раньше», то это значит, что после его прибытия на место прошло еще 12 часов, прежде чем своей цели достиг и велосипедист. Тогда:

   

Из этого уравнения можно, приведя слагаемые к общему знаменателю, «вытащить» скорость велосипедиста:

   

   

Подставим теперь эту скорость в первое уравнение задачи:

   

   

Снова приводим к общему знаменателю после того, как все перенесем в левую часть уравнения, и получаем квадратное уравнение в числителе:

   

Решения будет два, однако один из корней – отрицательный, и по смыслу задачи мы его отбросим. Решение не привожу – это всем доступно – а ответ получился , откуда следует, что за час мотоциклист преодолевал треть дистанции, то есть все расстояние проехал за три часа: , ну а время движения велосипедиста, как мы знаем, на 12 часов больше, то есть 15 часов.

Ответ: время движения велосипедиста – 15 часов.

 

Задача 2. Один странный человек решил искупаться в Неве и поплыл против ее течения. С собой у него была фляжка (пустая). У Дворцового моста фляжка отцепилась от его пояса и поплыла по течению, а человек этого не заметил. По прошествии 20 минут пловец все же заметил потерю фляги и повернул назад в надежде догнать ее. И догнал-таки в двух километрах ниже  Дворцового моста по течению. Определите скорость течения Невы.


 

Чтобы решить эту задачу, нужно хорошо представить себе, как все происходило. Разобраться нам помогут рисунки. Итак, после того, как фляга отцепилась, как далеко уплыл наш чудак, прежде чем обнаружил пропажу? Он плыл 20 минут, то есть часа. Плыл он против течения, то есть его собственная скорость уменьшалась течением и была такой: . Тогда он проплыл расстояние – от красного до голубого флажка.

Движение чудака по Неве

Когда он обнаружил потерю и развернулся, то поплыл с другой скоростью, быстрее, так как плыл уже по течению: . До места,  где фляга была поймана, ему нужно вернуться сначала в место, где он ее потерял, то есть проплыть то же расстояние обратно, да еще 2 км: – от голубого до зеленого флажка. Чтобы проплыть такое расстояние, ему понадобилось бы время: .

Движение чудака в обратную сторону

Пока он плавал туда 20 минут, да обратно, фляга все время плыла (дрейфовала) по течению, следовательно, со скоростью течения, и уплыла на 2 км: , ну а раз пловец ее поймал, значит, можно приравнять время дрейфа фляги и время пловца:

   

Полученное уравнение пугает наличием двух неизвестных, но попробуем решать это уравнение по всем правилам, а там видно будет. Переносим все влево и приводим к общему знаменателю:

   

Упрощаем числитель:

   

Так как дробь равна 0, то нулю равен, очевидно, ее числитель: . Сокращая на , получаем: – это и есть нужный нам ответ.

Ответ: скорость течения Невы – 3 км/час.

Более красивое, физическое, решение этой задачи было предложено в комментариях Тасей. Действительно, если перейти в систему отсчета “Нева”, то относительно воды пловец будет двигаться с одной и той же скоростью, и поэтому затратит на путь туда и обратно одно и то же время. Отсюда очень просто определить скорость течения. Молодец, Тася!

Комментариев - 3

  • Тася
    |

    Не самое лучшее решение, ИМХО. Гораздо элегантнее перейти в систему отсчёта Невы. Тогда фляга покоится, а чудак плывёт сначала в одну сторону, а потом с той же скоростью обратно. Значит дорога туда и обратно занимают одинаковое время. То есть туда-обратно он сплавал за 40 мин. Теперь возвращаемся в систему отсчёта Земли. Шляпа проплыла 2 км за 40 мин. (со скоростью течения). Делим, получаем скорость. Все пляшут. Пловец пьёт из фляги невскую водичку.

    Ответить
    • Анна
      |

      Как физик – физику: браво! Вы умничка, и очень красиво ее решили. Беда в том, что семиклассники еще не знают про относительность движения и не могут перейти в систему отсчета “Нева”. Я-то решала ее с их точки зрения, но дополню запись вашим решением с вашего одобрения.

      Ответить
  • Тася
    |

    Конечно, добавляйте :) Да, не подумала, что в 7 классе не знают, что такое система отсчёта. Но, может, они знают что-то типа “скорости сближения/удаления”? (Ну или могут догадаться о чём-то подобном – задачка-то всё-таки олимпиадная.) Мне кажется, я что-то такое в школе слышала…

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *