Попробуем разобраться с неравенствами и сравнением чисел.
1. О числах a и b известно, что a < b. Какое из следующих неравенств неверно?
1) 2)
3)
4)
Первое неравенство верно, так как мы вычитаем одно и то же число из сравниваемых чисел. По этой же причине верно и последнее – здесь мы прибавили к обоим числам одно и то же число. Второе неравенство: понятно, что, если одно число меньше другого, то и его восьмая часть также будет меньше восьмой части второго числа. Поскольку все неравенство еще и умножено на (-1), то знак его изменен на противоположный, поэтому неравенство 2 – верно. А вот в третьем неравенстве знак не изменили, оно – неверно.
Ответ: 3.
2. О числах a, b, c и d известно, что a = b, b>c, d<c. Сравните числа d и a.
1) 2)
3)
Здесь нам может помочь числовая прямая. Давайте поместим сравниваемые числа на нее и затем уже проведем сравнение:
Сразу становится очевиден ответ: , ответ 3.
3. Тройка чисел удовлетворяют неравенству:
. Какому из следующих неравенств не удовлетворяет эта тройка чисел? В ответе запишите номер неравенства.
1)
2)
3)
4)
Требуется указать неверное неравенство. Итак, если перенести y за знак неравенства (вправо), то очевидно, что второе правильно. Теперь перенесем в исходном неравенстве z через знак неравенства влево, получим, что первое – неверно, так как знак изменен. Если сделать оба переноса (у- вправо, z – влево) – получим 4 неравенство, которое является верным. Осталось третье. Оно получено из первого умножением на (-1). Знак его при этом такой же, как и в первом неравенстве, и значит, 4 – верно.
Ответ: 1.
4. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию .
1)
2)
3)
4)
Перенесем b влево за знак неравенства. Получим: . Но раз эта разность меньше 0, значит, она заведомо меньше 2, так как
.
Таким образом, 3) – верно всегда. Первое неравенство при этом может быть соблюдено, а может и не быть: это зависит от конкретных значений a и b. Нам же нужно выбрать тот вариант, который верен всегда. Если неравенство умножить на (-1), то получим:
, тогда очевидно, что 4 вариант ответа – неверный. Неравенство второго варианта ответа также может быть соблюдено или нет, и по этой причине мы его отбрасываем.
Ответ: 3.
5. На координатной прямой отмечено число а. Расположите в порядке возрастания числа .
Число а – больше ноля (положительно), но меньше 2. Поэтому, если из него вычесть 2 – переместиться на 2 влево- то получим отрицательное число. Если число, которое меньше 2, разделить на 2 – то получим число меньше 1 (правильная дробь). Тогда можем расположить наши числа так: .
6. На координатной прямой расположены числа a и b. Какое из следующих утверждений является неверным?
1)
2)
3)
4)
Число а – отрицательно, а b – положительно. Причем расстояние от 0 до а больше, чем от 0 до b – значит, по модулю a больше b. Рассмотрим варианты ответа, первый: если из отрицательного числа вычесть положительное (смещаемся от а влево) – получим отрицательное число, то есть разность – отрицательна (вариант 3 верен). Умножив ее на отрицательное число а, получим положительное число – вариант 1 верен. Второй вариант: число b возводится в четную степень – получим положительное число, умножив которое на а – получим отрицательное. Вариант 2 верен. И, наконец, 4 вариант: произведение положительного на отрицательное не может быть положительно.
Ответ: 4.
7. На координатной прямой расположены числа a, b и с. Какая из разностей отрицательна?
1)
2)
3)
Отрицательна та разность, где из меньшего числа вычитают большее: это разность 1.
Ответ: 1.
8. На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих неравенств верно?
1)
2)
3)
4)
Запишем неравенство исходя из рисунка: число b левее, значит, оно меньше: . Если сравниваемые числа уменьшить на одно и то же число, или разделить на положительное число – неравенство все равно соблюдается. Тогда ни 3), ни 4) не являются верными. Умножим неравенство
на (-1) – знак неравенства изменится и мы получим:
– это как раз неравенство из первого варианта ответа, значит, оно верно. Во втором варианте к большему числу прибавляют большее, оно также является верным.
Ответ: 1, 2.
9. На координатной прямой отмечено число а. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1)
2)
3)
4)
Число а больше 4, но меньше 5. Тогда третье неравенство верно, а четвертое – нет. Можем даже утверждать, что это число больше 4,5. Тогда, если вычесть из этого числа 5 – получим отрицательное число, меньшее 1 по модулю, а если вычесть 4 – получим положительное, также меньшее 1 по модулю. При возведении в квадрат числа, которое меньше 1 по модулю, получим число, меньшее даже, чем исходное. Поэтому ни , ни
не могут никак быть больше 1 – первое и второе неверно.
Ответ: 3.
10. Одно из чисел отмечено на координатной прямой точкой А. Какое это число?
Наше число больше двух, но меньше 3 – значит, его квадрат где-то между 4 и 9. Таким образом, сразу отпадают числа . Так как число А все-таки ближе к 2, то выбираем
. Число
должно лежать ближе к 3: можем его записать
Ответ:
11. Известно, что . Выберите наименьшее из чисел.


3)


Если число а меньше одного, то в четвертом варианте имеем неправильную дробь – число, большее 1. Третий вариант дает нам отрицательное число, модуль которого меньше 1. При возведении в квадрат и в куб положительного числа, меньшего по модулю, чем 1, получим: квадрат числа меньше самого числа, куб – меньше квадрата – но и куб, и квадрат – положительны. Тогда наименьшим будет отрицательное число .
Ответ: 3.
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Вот в том и вопрос, что при решении задачи 20 используется геометрия треугольника...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...