Магнитное поле: частицы в поле-1

В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле. Частицы будут двигаться по спиралям и окружностям, скапливаться на поверхностях пластинок, в свою очередь перемещающихся в поле. Эта статья – первая из целой серии статей о магнитном поле. В этих статьях мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди!

Задача 1. В однородное магнитное поле с индукцией $B=10$ мТл влетает электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов $U=3,52$ кВ, перпендикулярно линиям магнитного поля. Электрон начал двигаться по окружности радиуса 2 см. Определить $\frac{q}{m}$ .

Записываем второй закон Ньютона для электрона:

$ma=B\mid q\mid \upsilon \sin{\alpha}$

Нормальное ускорение равно

$a=\frac{\upsilon^2}{R}$

Тогда, с учетом, что $\alpha=90^{circ}$ ,

$\frac{m\upsilon^2}{R}= B\mid q\mid \upsilon$

$\frac{m\upsilon}{R}= B\mid q\mid$

$\upsilon=\frac{BRq}{m}$

$\upsilon^2=\frac{B^2R^2q^2}{m^2}$

Электрон был разогнан полем, то есть поле совершило работу и благодаря этому у электрона появилась кинетическая энергия:

$A=Uq=\frac{m\upsilon^2}{2}$

Откуда

$\upsilon^2=\frac{2U\mid q \mid}{m}$

Приравниваем квадраты скоростей

$\frac{2U\mid q \mid}{m}= \frac{B^2R^2q^2}{m^2}$

Откуда

$\frac{q}{m}=\frac{2U}{B^2R^2}$

Ответ: $\frac{q}{m}=\frac{2U}{B^2R^2}$ .

Задача 2. Бусинке массой $m$ , $q>0$ , надетой на спицу, сообщили скорость $\upsilon_0$ . Коэффициент трения бусинки о спицу $\mu$ . Силовые линии поля составляют угол $\alpha$ со спицей, $\sin{\alpha}=\frac{3}{5}$ . Какое расстояние пройдет бусинка до остановки? Силой тяжести пренебречь.

К задаче 2

На бусинку будет действовать сила Лоренца

$F_l=Bq\upsilon\sin{\alpha}$

Эта сила будет направлена перпендикулярно спице, и со стороны спицы на бусинку будет действовать сила нормальной реакции опоры, равная силе Лоренца:

$N=F_l= Bq\upsilon\sin{\alpha}$

Сила трения бусинки о спицу тогда

$F_{tr}=\mu Bq\upsilon\sin{\alpha}$

И, так как скорость меняется, сила трения тоже не остается постоянной. Следовательно, по второму закону

$ma= F_{tr}=\mu Bq\upsilon\sin{\alpha}$

И ускорение тоже переменно.

Вспомним задачи на суммирование – они вышли на сайте серией «Метод телескопирования». Очевидно, здесь придется применять тот же метод.

$a=\frac{\mu Bq\upsilon\sin{\alpha} }{m}$

По определению:

$a=-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$

Приравняем:

$\frac{\mu Bq\upsilon\sin{\alpha} }{m}=-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$

Домножим на $\Delta t$ :

$-\Delta \upsilon=\frac{\mu Bq\upsilon\sin{\alpha} \Delta t }{m}$

Но $\upsilon \Delta t=\Delta S$ – малое перемещение.

Тогда

$-\Delta \upsilon=\frac{\mu Bq\sin{\alpha} \Delta S }{m}$

$\Delta S=-\frac{m\Delta \upsilon }{\mu Bq\sin{\alpha}}$

Просуммируем теперь правую и левую части:

$S=\sum \Delta S=-\sum \frac{m\Delta \upsilon }{\mu Bq\sin{\alpha}}=-\frac{m(0- \upsilon_0) }{\mu Bq\sin{\alpha}}=\frac{m \upsilon_0}{\mu Bq\sin{\alpha}}$

Ответ: $S=\frac{m \upsilon_0}{\mu Bq\sin{\alpha}}$ .

Задача 3. В области $A$ создано однородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. В это поле влетает альфа-частица со скоростью $\upsilon$ под углом $\alpha$ к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля, и каково ее время движения?

К задаче 3

Записываем второй закон Ньютона для частицы:

$ma=B\mid q\mid \upsilon \sin{\alpha}$

Нормальное ускорение равно

$a=\frac{\upsilon^2}{R}$

Тогда, с учетом, что $\alpha=90^{circ}$ ,

$\frac{m\upsilon^2}{R}= B\mid q\mid \upsilon$

$\frac{m\upsilon}{R}= B\mid q\mid$

$R =\frac{m\upsilon }{Bq}$

Глубина проникновения

$H=R-R\cos{\alpha}$

$H=\frac{m\upsilon }{Bq}(1-\cos{\alpha})$

Определим теперь время:

$2\alpha=\omega t$

$t=\frac{2\alpha}{\omega}=\frac{2\alpha R}{\upsilon}$

Ответ: $H=\frac{m\upsilon }{Bq}(1-\cos{\alpha})$ , $t=\frac{2\alpha R}{\upsilon}$ .

Задача 4. В области $A$ создано неоднородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. Индукция изменяется по закону $B=\beta x$ . В это поле влетает частица массой $m$ и зарядом $q$ со скоростью $\upsilon$ перпендикулярно к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля?

К задаче 4

Теперь траектория частицы уже не будет окружностью. Так как сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, ее работа равна нулю. Поэтому

$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}$

То есть

$\upsilon_0=\upsilon$

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $y$ :

$F_l\cos{\alpha}=ma_y$

Сила Лоренца

$F_l=Bq\upsilon \sin 90^{\circ}= Bq\upsilon$

С другой стороны,

$a_y=\frac{\Delta \upsilon_y}{\Delta t}$

Тогда

$Bq\upsilon\cos{\alpha}=m\frac{\Delta \upsilon_y}{\Delta t}$

Ускорение по оси $y$ меняется.

Домножаем на $\Delta t$ :

$Bq\upsilon_x \Delta t=m\Delta \upsilon_y$

Произведение $\upsilon_x \Delta t=\Delta S_x$ ,

$B q\Delta S_x= m\Delta \upsilon_y$

Подставляем закон изменения индукции:

$\beta x q\Delta S_x= m\Delta \upsilon_y$

И суммируем выражение:

$\beta q \sum x \Delta S_x= m\sum \Delta \upsilon_y$

$\beta q \sum x \Delta x= m\sum \Delta \upsilon_y$

$\frac{1}{2}\beta q \sum x \Delta (x^2)= m\sum \Delta \upsilon_y$

$\frac{1}{2}\beta q (h^2-0^2)= m(\upsilon_1-0)$

$\frac{1}{2}\beta q h^2= m\upsilon_0$

$h=\sqrt{\frac{2m\upsilon_0}{\beta q}}$

Ответ: $h=\sqrt{\frac{2m\upsilon_0}{\beta q}}$ .

Задача 5. На нити длиной $l$ висит шарик массой $m$ и с зарядом $q$ . Ему сообщают необходимую скорость $\upsilon$ , чтобы он мог совершить оборот в вертикальной плоскости. Линии магнитного поля с индукцией $B$ направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Определить $B$ .

К задаче 5

Записываем второй закон Ньютона:

$ma=F_l+mg$

Где центростремительное ускорение

$a=\frac{\upsilon^2}{R}=\frac{u^2}{l}$

Запишем силу Лоренца с учетом, что в самой верхней точке траектории скорость $u$ :

$F_l=B q u\sin{90^{\circ}}=B q u$

Тогда второй закон будет выглядеть так:

$mg+B q u=\frac{mu^2}{l}$

$B=\frac{mu}{lq}-\frac{mg}{Bq}$

Запишем закон сохранения энергии:

$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu^2}{2}+mg\cdot 2l$

Откуда

$u^2=\upsilon^2-4gl$

Подставим в выражение для $B$ :

$B=\frac{m}{q\sqrt{\upsilon^2-4gl }}\left(\frac{\upsilon^2}{l}-5g\right)$

Ответ: $B=\frac{m}{q\sqrt{\upsilon^2-4gl }}\left(\frac{\upsilon^2}{l}-5g\right)$ .

Задача 6. Частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов, влетает в область, где присутствуют как электрическое, так и магнитное поле, линии которых перпендикулярны как друг другу, так и скорости частицы, и движется с постоянной скоростью. Определить отношение заряда к массе для этой частицы.

К задаче 6

Так как частица движется прямолинейно, то $a=0$ . По второму закону Ньютона тогда

$\vec{F}_l+\vec{F}_e=0$

$F_l=F_e$

$Bq\upsilon=Eq$

Или

$B\upsilon=E$

$\upsilon=\frac{E}{B}$

По закону сохранения энергии

$\frac{m\upsilon^2}{2}=qU$

Подставим скорость

$\frac{m E^2}{2B^2}=qU$

Тогда

$\frac{q}{m}=\frac{E^2}{2B^2U}$

Ответ: $\frac{q}{m}=\frac{E^2}{2B^2U}$

Задача 7. Тонкая пластинка в виде параллелепипеда находится в однородном магнитном поле, линии которого направлены вверх. Пластинка движется вправо со скоростью $\upsilon$ . Определить поверхностную плотность заряда $\sigma$ на гранях пластинки. Толщина пластинки много меньше длины.

К задаче 7

Так как пластинка движется со скоростью, то на заряды, находящиеся в ее толще (электроны), действует сила Лоренца. Она будет направлена от одной грани пластинки к другой, на рисунке показано, как. Эта сила заставит заряды распределиться по граням. Поэтому напряженность поля, созданная такими «обкладками» будет возрастать. Наконец, когда $F_e=F_l$ , перераспределение зарядов закончится. Поверхностная плотность тогда

$\sigma=\frac{Q}{S}$

$Eq=Bq\upsilon$

$E=B\upsilon$

По принципу суперпозиции

$E_{\sum}=\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}+\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}=\frac{Q}{\varepsilon_0 S}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

$B\upsilon=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

$\sigma= B\upsilon\varepsilon_0$

Напряжение

$U= E_{\sum} l= B\upsilon l$

Ответ: $\sigma= B\upsilon\varepsilon_0$ .

Задача 8. Электрон влетел в область однородного поля с индукцией $B$ . В точке $A$ у электрона скорость $\upsilon_0$ , направленная под углом $\alpha$ к линиям поля. При каких значениях индукции поля электрон попадет в точку $C$ ?

К задаче 8

Траектория частицы, влетевшей в поле таким образом, будет спиралью, или винтовой линией с шагом $\Delta$ .

$\Delta=\upsilon_0 \cos{\alpha} T$

Если в расстояние $AC$ уложится целое число шагов $\Delta$ , то условие задачи будет выполнено: мы попадем в точку $C$ .

Второй закон Ньютона:

$F_l=ma$

$Bq\upsilon_0 \sin {\alpha}=m\frac{\upsilon_0^2 \sin^2 {\alpha}}{R}$

$R=\frac{m\upsilon_0 \sin {\alpha}}{Bq}$

Период обращения

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2 \pi m}{B q}$

Откуда угловая скорость

$\omega=\frac{\upsilon_0 \sin {\alpha}}{R}=\frac{Bq}{m}$

Условие попадания в точку $C$ : $L=N\Delta$ , $N \in Z$ .

$L= N\Delta=N\upsilon_0\cos{\alpha} T=N\frac{\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot 2 \pi m}{Bq}$

$B=N\frac{2\pi m\upsilon_0\cos{\alpha}}{Lq}; N\in Z$

Ответ: $B=N\frac{2\pi m\upsilon_0\cos{\alpha}}{Lq}; N\in Z$

Задача 9. Электрон движется по окружности радиуса $R=0,05$ м в однородном магнитном поле с индукцией $B=0,5$ Тл. Параллельно магнитному полю включают однородное электрическое поле с $E=250$ В/м. За какое время после этого кинетическая энергия электрона возрастет в 2 раза?