Магнитное поле: частицы в поле-1

В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле.  Частицы  будут двигаться по спиралям и окружностям, скапливаться на поверхностях пластинок, в свою очередь перемещающихся в поле. Эта статья – первая из целой серии статей о магнитном поле. В этих статьях мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди!

Задача 1. В однородное магнитное поле с индукцией мТл влетает электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов кВ, перпендикулярно линиям магнитного поля. Электрон начал двигаться по окружности радиуса 2 см. Определить .

Записываем второй закон Ньютона для электрона:

   

Нормальное ускорение равно

   

Тогда, с учетом, что ,

   

   

   

   

Электрон был разогнан полем, то есть поле совершило работу и благодаря этому у электрона появилась кинетическая энергия:

   

Откуда

   

Приравниваем квадраты скоростей

   

Откуда

   

Ответ: .

 

Задача 2. Бусинке массой , , надетой на спицу, сообщили скорость . Коэффициент трения бусинки о спицу . Силовые линии поля составляют угол со спицей, . Какое расстояние пройдет бусинка до остановки? Силой тяжести пренебречь.

На бусинку будет действовать сила Лоренца

   

Эта сила будет направлена перпендикулярно спице, и со стороны спицы на бусинку будет действовать сила нормальной реакции опоры, равная силе Лоренца:

   

Сила трения бусинки  о спицу тогда

   

И, так как скорость меняется, сила трения тоже не остается постоянной. Следовательно, по второму закону

   

И ускорение тоже переменно.

Вспомним задачи на суммирование – они вышли на сайте серией «Метод телескопирования». Очевидно, здесь придется применять тот же метод.

   

По определению:

   

Приравняем:

   

Домножим на :

   

Но  – малое перемещение.

Тогда

   

   

Просуммируем теперь правую и левую части:

   

Ответ: .

 

Задача 3. В области создано однородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. В это поле влетает альфа-частица со скоростью под углом к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля, и каково ее время движения?

Записываем второй закон Ньютона для частицы:

   

Нормальное ускорение равно

   

Тогда, с учетом, что ,

   

   

   

Глубина проникновения

   

   

Определим теперь время:

   

   

Ответ: , .

 

Задача 4. В области создано неоднородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. Индукция изменяется по закону . В это поле влетает частица массой и зарядом со скоростью перпендикулярно  к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля?

Теперь траектория частицы уже не будет окружностью. Так как сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, ее работа равна нулю. Поэтому

   

То есть

   

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось :

   

Сила Лоренца

   

С другой стороны,

   

Тогда

   

Ускорение по оси меняется.

Домножаем на :

   

Произведение ,

   

Подставляем закон изменения индукции:

   

И суммируем выражение:

   

   

 

   

   

   

   

Ответ: .

Задача 5. На нити длиной висит шарик массой и с зарядом . Ему сообщают необходимую скорость , чтобы он мог совершить оборот в вертикальной плоскости. Линии магнитного поля с индукцией направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Определить .

Записываем второй закон Ньютона:

   

Где центростремительное ускорение

   

Запишем силу Лоренца с учетом, что в самой верхней точке траектории скорость  :

   

Тогда второй закон будет выглядеть так:

   

   

Запишем закон сохранения энергии:

   

Откуда

   

Подставим в выражение для :

   

Ответ: .

 

Задача 6. Частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов, влетает в область, где присутствуют как электрическое, так и магнитное поле, линии которых перпендикулярны как друг другу, так и скорости частицы, и движется с постоянной скоростью. Определить отношение заряда к массе для этой частицы.

Так как частица движется прямолинейно, то . По второму закону Ньютона тогда

   

   

   

Или

   

   

По закону сохранения энергии

   

Подставим скорость

   

Тогда

   

Ответ:

Задача 7. Тонкая пластинка в виде параллелепипеда находится в однородном магнитном поле, линии которого направлены вверх. Пластинка движется вправо со скоростью . Определить поверхностную плотность заряда на гранях пластинки. Толщина пластинки много меньше длины.

Так как пластинка движется со скоростью, то на заряды, находящиеся в ее толще (электроны), действует сила Лоренца. Она будет направлена от одной грани пластинки к другой, на рисунке показано, как. Эта сила заставит заряды распределиться по граням. Поэтому напряженность поля, созданная такими «обкладками» будет возрастать. Наконец, когда , перераспределение зарядов закончится.  Поверхностная плотность тогда

   

   

   

По принципу суперпозиции

   

   

   

Напряжение

   

Ответ: .

 

Задача 8. Электрон влетел в область однородного поля с индукцией . В точке у электрона скорость , направленная под углом к линиям поля. При каких значениях индукции поля электрон попадет в точку ?

Траектория частицы, влетевшей в поле таким образом, будет спиралью, или винтовой линией с шагом .

   

Если в расстояние уложится целое число шагов , то условие задачи будет выполнено: мы попадем в точку .

Второй закон Ньютона:

   

   

   

Период обращения

   

Откуда угловая скорость

   

Условие попадания в точку : , .

   

   

Ответ:

Задача 9. Электрон движется по окружности радиуса м в однородном магнитном поле с индукцией Тл. Параллельно магнитному полю включают однородное электрическое поле с В/м. За какое время после этого кинетическая энергия электрона возрастет в 2 раза?

Второй закон Ньютона:

   

   

   

Когда включим электрическое поле, движение будет равноускоренным (поле действует с постоянной силой).

   

   

   

   

   

Траектория будет винтовой линией с увеличивающимся шагом. Из треугольника скоростей

   

По закону сохранения энергии (а у нас энергия по условию возросла вдвое)

   

   

Откуда

   

   

   

   

   

Ответ: .