[latexpage]
В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле. Частицы будут двигаться по спиралям и окружностям, скапливаться на поверхностях пластинок, в свою очередь перемещающихся в поле. Эта статья – первая из целой серии статей о магнитном поле. В этих статьях мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди! Конспект занятий Пенкина М.А.
Задача 1. В однородное магнитное поле с индукцией $B=10$ мТл влетает электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов $U=3,52$ кВ, перпендикулярно линиям магнитного поля. Электрон начал двигаться по окружности радиуса 2 см. Определить $\frac{q}{m}$.
Записываем второй закон Ньютона для электрона:
$$ma=B\mid q\mid \upsilon \sin{\alpha}$$
Нормальное ускорение равно
$$a=\frac{\upsilon^2}{R}$$
Тогда, с учетом, что $\alpha=90^{\circ}$,
$$\frac{m\upsilon^2}{R}= B\mid q\mid \upsilon$$
$$\frac{m\upsilon}{R}= B\mid q\mid $$
$$\upsilon=\frac{BRq}{m}$$
$$\upsilon^2=\frac{B^2R^2q^2}{m^2}$$
Электрон был разогнан полем, то есть поле совершило работу и благодаря этому у электрона появилась кинетическая энергия:
$$A=Uq=\frac{m\upsilon^2}{2}$$
Откуда
$$\upsilon^2=\frac{2U\mid q \mid}{m}$$
Приравниваем квадраты скоростей
$$\frac{2U\mid q \mid}{m}= \frac{B^2R^2q^2}{m^2}$$
Откуда
$$\frac{q}{m}=\frac{2U}{B^2R^2}$$
Ответ: $\frac{q}{m}=\frac{2U}{B^2R^2}$.
Задача 2. Бусинке массой $m$, $q>0$, надетой на спицу, сообщили скорость $\upsilon_0$. Коэффициент трения бусинки о спицу $\mu$. Силовые линии поля составляют угол $\alpha$ со спицей, $\sin{\alpha}=\frac{3}{5}$. Какое расстояние пройдет бусинка до остановки? Силой тяжести пренебречь.

К задаче 2
На бусинку будет действовать сила Лоренца
$$F_l=Bq\upsilon\sin{\alpha}$$
Эта сила будет направлена перпендикулярно спице, и со стороны спицы на бусинку будет действовать сила нормальной реакции опоры, равная силе Лоренца:
$$N=F_l= Bq\upsilon\sin{\alpha}$$
Сила трения бусинки о спицу тогда
$$F_{tr}=\mu Bq\upsilon\sin{\alpha}$$
И, так как скорость меняется, сила трения тоже не остается постоянной. Следовательно, по второму закону
$$ma= F_{tr}=\mu Bq\upsilon\sin{\alpha}$$
И ускорение тоже переменно.
Вспомним задачи на суммирование – они вышли на сайте серией «Метод телескопирования». Очевидно, здесь придется применять тот же метод.
$$a=\frac{\mu Bq\upsilon\sin{\alpha} }{m}$$
По определению:
$$a=-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$
Приравняем:
$$\frac{\mu Bq\upsilon\sin{\alpha} }{m}=-\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$
Домножим на $\Delta t$:
$$-\Delta \upsilon=\frac{\mu Bq\upsilon\sin{\alpha} \Delta t }{m}$$
Но $\upsilon \Delta t=\Delta S$ – малое перемещение.
Тогда
$$-\Delta \upsilon=\frac{\mu Bq\sin{\alpha} \Delta S }{m}$$
$$\Delta S=-\frac{m\Delta \upsilon }{\mu Bq\sin{\alpha}}$$
Просуммируем теперь правую и левую части:
$$S=\sum \Delta S=-\sum \frac{m\Delta \upsilon }{\mu Bq\sin{\alpha}}=-\frac{m(0- \upsilon_0) }{\mu Bq\sin{\alpha}}=\frac{m \upsilon_0}{\mu Bq\sin{\alpha}}$$
Ответ: $S=\frac{m \upsilon_0}{\mu Bq\sin{\alpha}}$.
Задача 3. В области $A$ создано однородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. В это поле влетает альфа-частица со скоростью $\upsilon$ под углом $\alpha$ к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля, и каково ее время движения?

К задаче 3
Записываем второй закон Ньютона для частицы:
$$ma=B\mid q\mid \upsilon \sin{\alpha}$$
Нормальное ускорение равно
$$a=\frac{\upsilon^2}{R}$$
Тогда, с учетом, что $\alpha=90^{\circ}$,
$$\frac{m\upsilon^2}{R}= B\mid q\mid \upsilon$$
$$\frac{m\upsilon}{R}= B\mid q\mid $$
$$R =\frac{m\upsilon }{Bq}$$
Глубина проникновения
$$H=R-R\cos{\alpha}$$
$$H=\frac{m\upsilon }{Bq}(1-\cos{\alpha})$$
Определим теперь время:
$$2\alpha=\omega t$$
$$t=\frac{2\alpha}{\omega}=\frac{2\alpha R}{\upsilon}$$
Ответ: $H=\frac{m\upsilon }{Bq}(1-\cos{\alpha})$, $t=\frac{2\alpha R}{\upsilon}$.
Задача 4. В области $A$ создано неоднородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. Индукция изменяется по закону $B=\beta x$. В это поле влетает частица массой $m$ и зарядом $q$ со скоростью $\upsilon$ перпендикулярно к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля?

К задаче 4
Теперь траектория частицы уже не будет окружностью. Так как сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, ее работа равна нулю. Поэтому
$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$
То есть
$$\upsilon_0=\upsilon$$
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $y$:
$$F_l\cos{\alpha}=ma_y$$
Сила Лоренца
$$F_l=Bq\upsilon \sin 90^{\circ}= Bq\upsilon $$
С другой стороны,
$$a_y=\frac{\Delta \upsilon_y}{\Delta t}$$
Тогда
$$ Bq\upsilon\cos{\alpha}=m\frac{\Delta \upsilon_y}{\Delta t}$$
Ускорение по оси $y$ меняется.
Домножаем на $\Delta t$:
$$ Bq\upsilon_x \Delta t=m\Delta \upsilon_y$$
Произведение $\upsilon_x \Delta t=\Delta S_x$,
$$B q\Delta S_x= m\Delta \upsilon_y$$
Подставляем закон изменения индукции:
$$\beta x q\Delta S_x= m\Delta \upsilon_y$$
И суммируем выражение:
$$\beta q \sum x \Delta S_x= m\sum \Delta \upsilon_y$$
$$\beta q \sum x \Delta x= m\sum \Delta \upsilon_y$$
$$\frac{1}{2}\beta q \sum x \Delta (x^2)= m\sum \Delta \upsilon_y$$
$$\frac{1}{2}\beta q (h^2-0^2)= m(\upsilon_1-0)$$
$$\frac{1}{2}\beta q h^2= m\upsilon_0$$
$$h=\sqrt{\frac{2m\upsilon_0}{\beta q}}$$
Ответ: $h=\sqrt{\frac{2m\upsilon_0}{\beta q}}$.
Задача 5. На нити длиной $l$ висит шарик массой $m$ и с зарядом $q$. Ему сообщают необходимую скорость $\upsilon$, чтобы он мог совершить оборот в вертикальной плоскости. Линии магнитного поля с индукцией $B$ направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Определить $B$.

К задаче 5
Записываем второй закон Ньютона:
$$ma=F_l+mg$$
Где центростремительное ускорение
$$a=\frac{u^2}{l}$$
Запишем силу Лоренца с учетом, что в самой верхней точке траектории скорость $u$:
$$F_l=B q u\sin{90^{\circ}}=B q u$$
Тогда второй закон будет выглядеть так:
$$mg+B q u=\frac{mu^2}{l}$$
$$B=\frac{mu}{lq}-\frac{mg}{Bq}$$
Запишем закон сохранения энергии:
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu^2}{2}+mg\cdot 2l$$
Откуда
$$u^2=\upsilon^2-4gl$$
Подставим в выражение для $B$:
$$B=\frac{m}{q\sqrt{\upsilon^2-4gl }}\left(\frac{\upsilon^2}{l}-5g\right)$$
Ответ: $B=\frac{m}{q\sqrt{\upsilon^2-4gl }}\left(\frac{\upsilon^2}{l}-5g\right)$.
Задача 6. Частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов, влетает в область, где присутствуют как электрическое, так и магнитное поле, линии которых перпендикулярны как друг другу, так и скорости частицы, и движется с постоянной скоростью. Определить отношение заряда к массе для этой частицы.

К задаче 6
Так как частица движется прямолинейно, то $a=0$. По второму закону Ньютона тогда
$$\vec{F}_l+\vec{F}_e=0$$
$$F_l=F_e$$
$$Bq\upsilon=Eq$$
Или
$$B\upsilon=E$$
$$\upsilon=\frac{E}{B}$$
По закону сохранения энергии
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=qU$$
Подставим скорость
$$\frac{m E^2}{2B^2}=qU$$
Тогда
$$\frac{q}{m}=\frac{E^2}{2B^2U}$$
Ответ: $\frac{q}{m}=\frac{E^2}{2B^2U}$
Задача 7. Тонкая пластинка в виде параллелепипеда находится в однородном магнитном поле, линии которого направлены вверх. Пластинка движется вправо со скоростью $\upsilon$. Определить поверхностную плотность заряда $\sigma$ на гранях пластинки. Толщина пластинки много меньше длины.

К задаче 7
Так как пластинка движется со скоростью, то на заряды, находящиеся в ее толще (электроны), действует сила Лоренца. Она будет направлена от одной грани пластинки к другой, на рисунке показано, как. Эта сила заставит заряды распределиться по граням. Поэтому напряженность поля, созданная такими «обкладками» будет возрастать. Наконец, когда $F_e=F_l$, перераспределение зарядов закончится. Поверхностная плотность тогда
$$\sigma=\frac{Q}{S}$$
$$Eq=Bq\upsilon$$
$$E=B\upsilon$$
По принципу суперпозиции
$$E_{\sum}=\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}+\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}=\frac{Q}{\varepsilon_0 S}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
$$B\upsilon=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
$$\sigma= B\upsilon\varepsilon_0$$
Напряжение
$$U= E_{\sum} l= B\upsilon l$$
Ответ: $\sigma= B\upsilon\varepsilon_0$.
Задача 8. Электрон влетел в область однородного поля с индукцией $B$. В точке $A$ у электрона скорость $\upsilon_0$, направленная под углом $\alpha$ к линиям поля. При каких значениях индукции поля электрон попадет в точку $C$?

К задаче 8
Траектория частицы, влетевшей в поле таким образом, будет спиралью, или винтовой линией с шагом $\Delta$.
$$\Delta=\upsilon_0 \cos{\alpha} T$$
Если в расстояние $AC$ уложится целое число шагов $\Delta$, то условие задачи будет выполнено: мы попадем в точку $C$.
Второй закон Ньютона:
$$F_l=ma$$
$$ Bq\upsilon_0 \sin {\alpha}=m\frac{\upsilon_0^2 \sin^2 {\alpha}}{R}$$
$$R=\frac{m\upsilon_0 \sin {\alpha}}{Bq}$$
Период обращения
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2 \pi m}{B q}$$
Откуда угловая скорость
$$\omega=\frac{\upsilon_0 \sin {\alpha}}{R}=\frac{Bq}{m}$$
Условие попадания в точку $C$: $L=N\Delta$, $N \in Z$.
$$L= N\Delta=N\upsilon_0\cos{\alpha} T=N\frac{\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot 2 \pi m}{Bq}$$
$$B=N\frac{2\pi m\upsilon_0\cos{\alpha}}{Lq}; N\in Z$$
Ответ: $B=N\frac{2\pi m\upsilon_0\cos{\alpha}}{Lq}; N\in Z$
Задача 9. Электрон движется по окружности радиуса $R=0,05$ м в однородном магнитном поле с индукцией $B=0,5$ Тл. Параллельно магнитному полю включают однородное электрическое поле с $E=250$ В/м. За какое время после этого кинетическая энергия электрона возрастет в 2 раза?

К задаче 9
Второй закон Ньютона:
$$F_l=ma_n$$
$$ Bq\upsilon_0 =m\frac{\upsilon_0^2 }{R}$$
$$R=\frac{m\upsilon_0 }{Bq}$$
Когда включим электрическое поле, движение будет равноускоренным (поле действует с постоянной силой).
$$F_e=Eq$$
$$F_e=ma_z$$
$$ Eq= ma_z$$
$$a_z=\frac{Eq}{m}=const$$
$$\upsilon_z=a_z t$$
Траектория будет винтовой линией с увеличивающимся шагом. Из треугольника скоростей
$$\upsilon^2=\upsilon_0^2+\upsilon_z^2$$
По закону сохранения энергии (а у нас энергия по условию возросла вдвое)
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=2\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$
$$\upsilon^2=2\upsilon_0^2$$
Откуда
$$\upsilon_z=\upsilon_0$$
$$\upsilon_0=\frac{Eq}{m}t=a_z t$$
$$t=\frac{m\upsilon_0}{Eq}$$
$$\upsilon_0=\frac{BqR}{m}$$
$$t=\frac{B R}{E}$$
Ответ: $t=\frac{B R}{E}$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...