В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле. Частицы будут двигаться по спиралям и окружностям, скапливаться на поверхностях пластинок, в свою очередь перемещающихся в поле. Эта статья – первая из целой серии статей о магнитном поле. В этих статьях мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди!
Задача 1. В однородное магнитное поле с индукцией мТл влетает электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов
кВ, перпендикулярно линиям магнитного поля. Электрон начал двигаться по окружности радиуса 2 см. Определить
.
Записываем второй закон Ньютона для электрона:
Нормальное ускорение равно
Тогда, с учетом, что ,
Электрон был разогнан полем, то есть поле совершило работу и благодаря этому у электрона появилась кинетическая энергия:
Откуда
Приравниваем квадраты скоростей
Откуда
Ответ: .
Задача 2. Бусинке массой ,
, надетой на спицу, сообщили скорость
. Коэффициент трения бусинки о спицу
. Силовые линии поля составляют угол
со спицей,
. Какое расстояние пройдет бусинка до остановки? Силой тяжести пренебречь.

К задаче 2
На бусинку будет действовать сила Лоренца
Эта сила будет направлена перпендикулярно спице, и со стороны спицы на бусинку будет действовать сила нормальной реакции опоры, равная силе Лоренца:
Сила трения бусинки о спицу тогда
И, так как скорость меняется, сила трения тоже не остается постоянной. Следовательно, по второму закону
И ускорение тоже переменно.
Вспомним задачи на суммирование – они вышли на сайте серией «Метод телескопирования». Очевидно, здесь придется применять тот же метод.
По определению:
Приравняем:
Домножим на :
Но – малое перемещение.
Тогда
Просуммируем теперь правую и левую части:
Ответ: .
Задача 3. В области создано однородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. В это поле влетает альфа-частица со скоростью
под углом
к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля, и каково ее время движения?

К задаче 3
Записываем второй закон Ньютона для частицы:
Нормальное ускорение равно
Тогда, с учетом, что ,
Глубина проникновения
Определим теперь время:
Ответ: ,
.
Задача 4. В области создано неоднородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. Индукция изменяется по закону
. В это поле влетает частица массой
и зарядом
со скоростью
перпендикулярно к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля?

К задаче 4
Теперь траектория частицы уже не будет окружностью. Так как сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, ее работа равна нулю. Поэтому
То есть
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось :
Сила Лоренца
С другой стороны,
Тогда
Ускорение по оси меняется.
Домножаем на :
Произведение ,
Подставляем закон изменения индукции:
И суммируем выражение:
Ответ: .
Задача 5. На нити длиной висит шарик массой
и с зарядом
. Ему сообщают необходимую скорость
, чтобы он мог совершить оборот в вертикальной плоскости. Линии магнитного поля с индукцией
направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Определить
.

К задаче 5
Записываем второй закон Ньютона:
Где центростремительное ускорение
Запишем силу Лоренца с учетом, что в самой верхней точке траектории скорость :
Тогда второй закон будет выглядеть так:
Запишем закон сохранения энергии:
Откуда
Подставим в выражение для :
Ответ: .
Задача 6. Частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов, влетает в область, где присутствуют как электрическое, так и магнитное поле, линии которых перпендикулярны как друг другу, так и скорости частицы, и движется с постоянной скоростью. Определить отношение заряда к массе для этой частицы.

К задаче 6
Так как частица движется прямолинейно, то . По второму закону Ньютона тогда
Или
По закону сохранения энергии
Подставим скорость
Тогда
Ответ:
Задача 7. Тонкая пластинка в виде параллелепипеда находится в однородном магнитном поле, линии которого направлены вверх. Пластинка движется вправо со скоростью . Определить поверхностную плотность заряда
на гранях пластинки. Толщина пластинки много меньше длины.

К задаче 7
Так как пластинка движется со скоростью, то на заряды, находящиеся в ее толще (электроны), действует сила Лоренца. Она будет направлена от одной грани пластинки к другой, на рисунке показано, как. Эта сила заставит заряды распределиться по граням. Поэтому напряженность поля, созданная такими «обкладками» будет возрастать. Наконец, когда , перераспределение зарядов закончится. Поверхностная плотность тогда
По принципу суперпозиции
Напряжение
Ответ: .
Задача 8. Электрон влетел в область однородного поля с индукцией . В точке
у электрона скорость
, направленная под углом
к линиям поля. При каких значениях индукции поля электрон попадет в точку
?

К задаче 8
Траектория частицы, влетевшей в поле таким образом, будет спиралью, или винтовой линией с шагом .
Если в расстояние уложится целое число шагов
, то условие задачи будет выполнено: мы попадем в точку
.
Второй закон Ньютона:
Период обращения
Откуда угловая скорость
Условие попадания в точку :
,
.
Ответ:
Задача 9. Электрон движется по окружности радиуса м в однородном магнитном поле с индукцией
Тл. Параллельно магнитному полю включают однородное электрическое поле с
В/м. За какое время после этого кинетическая энергия электрона возрастет в 2 раза?

К задаче 9
Второй закон Ньютона:
Когда включим электрическое поле, движение будет равноускоренным (поле действует с постоянной силой).
Траектория будет винтовой линией с увеличивающимся шагом. Из треугольника скоростей
По закону сохранения энергии (а у нас энергия по условию возросла вдвое)
Откуда
Ответ: .
Задачу 2 хорошо через мгновенную ось вращения...
Картинку необходимо заменить: пуля летит сверху вниз. Тогда решение сомнений не...
Какой же это подгон? ОЧень красивое решение. Теорема о трех непараллельных силах,...
За такое решение ученик получит 1 бал вместо...
Тогда это "подгон" под...