Магнитное поле: частицы в поле-1

В этой статье мы рассмотрим задачи, в которых частицы перемещаются в магнитном поле. Частицы будут двигаться по спиралям и окружностям, скапливаться на поверхностях пластинок, в свою очередь перемещающихся в поле. Эта статья – первая из целой серии статей о магнитном поле. В этих статьях мы не только рассмотрим движение частиц по сложным траекториям, но и будем двигать рамки в магнитном поле, словом, самое интересное – впереди!

Задача 1. В однородное магнитное поле с индукцией $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ мТл влетает электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ кВ, перпендикулярно линиям магнитного поля. Электрон начал двигаться по окружности радиуса 2 см. Определить $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Записываем второй закон Ньютона для электрона:

Нормальное ускорение равно

Тогда, с учетом, что $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ,

Электрон был разогнан полем, то есть поле совершило работу и благодаря этому у электрона появилась кинетическая энергия:

Откуда

Приравниваем квадраты скоростей

Откуда

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 2. Бусинке массой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , надетой на спицу, сообщили скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Коэффициент трения бусинки о спицу $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Силовые линии поля составляют угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ со спицей, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Какое расстояние пройдет бусинка до остановки? Силой тяжести пренебречь.

К задаче 2

На бусинку будет действовать сила Лоренца

Эта сила будет направлена перпендикулярно спице, и со стороны спицы на бусинку будет действовать сила нормальной реакции опоры, равная силе Лоренца:

Сила трения бусинки о спицу тогда

И, так как скорость меняется, сила трения тоже не остается постоянной. Следовательно, по второму закону

И ускорение тоже переменно.

Вспомним задачи на суммирование – они вышли на сайте серией «Метод телескопирования». Очевидно, здесь придется применять тот же метод.

По определению:

Приравняем:

Домножим на $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Но $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – малое перемещение.

Тогда

Просуммируем теперь правую и левую части:

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 3. В области $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ создано однородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. В это поле влетает альфа-частица со скоростью $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ под углом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля, и каково ее время движения?

К задаче 3

Записываем второй закон Ньютона для частицы:

Нормальное ускорение равно

Тогда, с учетом, что $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ,

Глубина проникновения

Определим теперь время:

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 4. В области $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ создано неоднородное магнитное поле, линии которого направлены к наблюдателю. Индукция изменяется по закону $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . В это поле влетает частица массой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и зарядом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ со скоростью $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ перпендикулярно к границе области поля. На какое максимальное расстояние углубится частица в область поля?

К задаче 4

Теперь траектория частицы уже не будет окружностью. Так как сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, ее работа равна нулю. Поэтому

То есть

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Сила Лоренца

С другой стороны,

Тогда

Ускорение по оси $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ меняется.

Домножаем на $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Произведение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ,

Подставляем закон изменения индукции:

И суммируем выражение:

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 5. На нити длиной $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ висит шарик массой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и с зарядом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Ему сообщают необходимую скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , чтобы он мог совершить оборот в вертикальной плоскости. Линии магнитного поля с индукцией $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Определить $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

К задаче 5

Записываем второй закон Ньютона:

Где центростремительное ускорение

Запишем силу Лоренца с учетом, что в самой верхней точке траектории скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Тогда второй закон будет выглядеть так:

Запишем закон сохранения энергии:

Откуда

Подставим в выражение для $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 6. Частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов, влетает в область, где присутствуют как электрическое, так и магнитное поле, линии которых перпендикулярны как друг другу, так и скорости частицы, и движется с постоянной скоростью. Определить отношение заряда к массе для этой частицы.

К задаче 6

Так как частица движется прямолинейно, то $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . По второму закону Ньютона тогда

Или

По закону сохранения энергии

Подставим скорость

Тогда

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Задача 7. Тонкая пластинка в виде параллелепипеда находится в однородном магнитном поле, линии которого направлены вверх. Пластинка движется вправо со скоростью $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Определить поверхностную плотность заряда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ на гранях пластинки. Толщина пластинки много меньше длины.

К задаче 7

Так как пластинка движется со скоростью, то на заряды, находящиеся в ее толще (электроны), действует сила Лоренца. Она будет направлена от одной грани пластинки к другой, на рисунке показано, как. Эта сила заставит заряды распределиться по граням. Поэтому напряженность поля, созданная такими «обкладками» будет возрастать. Наконец, когда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , перераспределение зарядов закончится. Поверхностная плотность тогда

По принципу суперпозиции

Напряжение

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 8. Электрон влетел в область однородного поля с индукцией $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . В точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ у электрона скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , направленная под углом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ к линиям поля. При каких значениях индукции поля электрон попадет в точку $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

К задаче 8

Траектория частицы, влетевшей в поле таким образом, будет спиралью, или винтовой линией с шагом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Если в расстояние $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ уложится целое число шагов $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то условие задачи будет выполнено: мы попадем в точку $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Второй закон Ньютона:

Период обращения

Откуда угловая скорость

Условие попадания в точку $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ : $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Задача 9. Электрон движется по окружности радиуса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м в однородном магнитном поле с индукцией $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ Тл. Параллельно магнитному полю включают однородное электрическое поле с $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ В/м. За какое время после этого кинетическая энергия электрона возрастет в 2 раза?