Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Статика

Центр тяжести – подготовка к олимпиадам.

Центр тяжести – такая точка, куда можно сосредоточить всю массу тела. Если подпереть тело под точкой центра тяжести – оно будет пребывать в равновесии.

Задача 1. Однородную тонкостенную сферу радиуса R=10 см разрезали на две части и скрепили так, как показано на рисунке. На какой высоте находится центр тяжести получившегося бокала, если высота его ножки H=5 см? Ответ выразить в см, округлив до целых.

К задаче 1

Решение.

Разделим бокал на плоские горизонтальные полоски высотой h. Площадь пояска полоски равна S=2\pi \cdot r\cdot l, где l=\frac{h}{\sin\alpha} —ширина полоски, r=R\cdot\sin\alpha — ее радиус. Таким образом, получаем, что

    \[S=2\pi\cdot R\cdot \sin\alpha\cdot \frac{h}{\sin\alpha }=2\pi\cdot R\cdot h.\]

Видно, что площадь поверхности полоски не зависит от ее радиуса r. Следовательно, масса полоски пропорциональна лишь ширине полоски h и равномерно распределена по высоте бокала. Таким образом, центр тяжести бокала находится на половине его высоты, то есть на высоте H=R=10 см.

Ответ: 10 см.

 

Задача 2. Стержень спаян из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями 4\rho и \rho. При каком отношении длин стержней \frac{l_2}{l_1} центр тяжести системы будет находиться в плоскости спая? Ответ округлить до целых.

Решение.

Запишем уравнение моментов относительно центра тяжести. Получим, что

    \[4\rho\cdot l_1\cdot \frac{l_1}{2}=\rho\cdot l_2\cdot\frac{l_2}{2}\]

откуда

    \[\frac{l_2}{l_1}=\sqrt\frac{4\rho}{\rho}=2.\]

Ответ: 2.

 

Задача 3. От однородного стержня отрезали кусок длиной L=40 см. На сколько сантиметров сместился центр тяжести стержня?

Решение.

Центр тяжести находится посередине однородного стержня. При изменении общей длины на L, середина сместится на 0,5L. Следовательно, центр тяжести стержня сместится на 20 см.

Ответ: 20 см.

Задача 4. К концам стержня массой m=2 кг и длиной L=120 см подвешены грузы массами m_1=1 кг и m_2=3 кг. На каком расстоянии от точки подвеса тела m_1 надо подпереть стержень, чтобы он оказался в равновесии? Ответ выразить в см, округлив до целых.

Решение.

На систему «стержень + грузы» будет действовать всего 4 силы. Собственная сила тяжести стержня из середины, силы тяжести грузов по краям и сила реакции опоры. Равновесие достигается в том случае, если линия действия силы реакции опоры пройдёт через центр тяжести системы. Положение центра тяжести относительно тела m_1 легко найти по формуле

    \[x=\frac{m\cdot \frac{L}{2}+m_2\cdot L}{m+m_1+m_2}=80.\]

Ответ: 80 см.

Задача 5. Однородная балка массой m=200 кг лежит на упоре на расстоянии \frac{1}{4} её длины от одного из её концов. Какую силу, перпендикулярную балке, надо приложить к короткому концу, чтобы удержать её в горизонтальном положении? Ответ выразить в Н, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

Решение.

На балку будет действовать всего 3 силы: сила тяжести, приложенная в середине, сила нормальной реакции опоры в районе опоры и внешняя сила F, направленная вертикально и приложенная к короткому концу. Уравнение моментов относительно опоры будет выглядеть так: F\cdot L=m\cdot g\cdot L, где L — четверть длины балки. Откуда F=m\cdot g=2000 Н.

Ответ: 2000 Н.

 

Комментариев - 2

  • Елена
    |

    Здравствуйте, Анна!
    В задаче 1 гипотенуза l =h/sin a (не произведение), далее в формуле именно это значение и подставлено.

    Спасибо огромное за вашу работу!

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, верно. Исправлено.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *