Центр тяжести - подготовка к олимпиадам.

Центр тяжести - такая точка, куда можно сосредоточить всю массу тела. Если подпереть тело под точкой центра тяжести - оно будет пребывать в равновесии.

Задача 1.

Однородную тонкостенную сферу радиуса см разрезали на две части и скрепили так, как показано на рисунке. На какой высоте находится центр тяжести получившегося бокала, если высота его ножки см? Ответ выразить в см, округлив до целых.

К задаче 1

Решение.

Разделим бокал на плоские горизонтальные полоски высотой . Площадь пояска полоски равна , где —ширина полоски, — ее радиус. Таким образом, получаем, что

Видно, что площадь поверхности полоски не зависит от ее радиуса . Следовательно, масса полоски пропорциональна лишь ширине полоски и равномерно распределена по высоте бокала. Таким образом, центр тяжести бокала находится на половине его высоты, то есть на высоте см.

Ответ: 10 см.

Задача 2.

Стержень спаян из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями и . При каком отношении длин стержней центр тяжести системы будет находиться в плоскости спая? Ответ округлить до целых.

Решение.

Запишем уравнение моментов относительно центра тяжести. Получим, что

откуда

Ответ: 2.

Задача 3.

От однородного стержня отрезали кусок длиной см. На сколько сантиметров сместился центр тяжести стержня?

Решение.

Центр тяжести находится посередине однородного стержня. При изменении общей длины на , середина сместится на . Следовательно, центр тяжести стержня сместится на 20 см.

Ответ: 20 см.

Задача 4.

К концам стержня массой кг и длиной см подвешены грузы массами кг и кг. На каком расстоянии от точки подвеса тела надо подпереть стержень, чтобы он оказался в равновесии? Ответ выразить в см, округлив до целых.

Решение.

На систему «стержень + грузы» будет действовать всего 4 силы. Собственная сила тяжести стержня из середины, силы тяжести грузов по краям и сила реакции опоры. Равновесие достигается в том случае, если линия действия силы реакции опоры пройдёт через центр тяжести системы. Положение центра тяжести относительно тела легко найти по формуле

Ответ: 80 см.

Задача 5.

Однородная балка массой кг лежит на упоре на расстоянии её длины от одного из её концов. Какую силу, перпендикулярную балке, надо приложить к короткому концу, чтобы удержать её в горизонтальном положении? Ответ выразить в Н, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным м/.

Решение.

На балку будет действовать всего 3 силы: сила тяжести, приложенная в середине, сила нормальной реакции опоры в районе опоры и внешняя сила , направленная вертикально и приложенная к короткому концу. Уравнение моментов относительно опоры будет выглядеть так: , где — четверть длины балки. Откуда Н.

Ответ: 2000 Н.