Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике

Категория: Уравнения (12 (С1))

[latexpage] В этой статье всего два уравнения. Но оба – очень интересные. Оба – из пособия Ященко, 50 вариантов, 2019 год. Задача 1. а) Решите уравнение: $$\cos x+\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}=0$$ б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi\right]$ Решение: $$ \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}= -\cos x $$ Делаем вывод, что косинус не должен оказаться положительным. $$\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)= \cos^2….

| Автор:
| |

[latexpage] Всем понятно, что на экзамене чувствуешь себя иначе, чем в обычной жизни. Без волнения никак. Нервы сдают даже у самых стойких. Поэтому сдавать экзамен нужно учиться: не засиживаться на одной задаче, лучше потом к ней еще раз вернуться; искать разные подходы – не подошел один, подойдет другой; и уметь выходить из сложный ситуаций: вывести….

| Автор:
| |

[latexpage] Решим интересное уравнение. Оно логарифмическое, но оно –  тригонометрическое! Задача. Решить уравнение. $$\log_{\cos 2x-\sin 2x} (1-\cos x-\sin x)=1$$ Уравнение равносильно системе $$\begin{Bmatrix}{ \cos 2x-\sin 2x >0}\\{ \cos 2x-\sin 2x \neq 1}\\{\cos 2x-\sin 2x =1-\cos x-\sin x }\end{matrix}$$   $$\cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x =\cos^2x+\sin^2x -\cos x-\sin x$$ $$2\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0$$ $$2\sin x(\sin x +….

| Автор:
| |

[latexpage] В этой статье приведен еще один редкий способ решения уравнений. Утверждение. Если функция $y=f(x)$ монотонно возрастает, то уравнения $f(x)=x$ и $f(f(x)=x$ имеют одно и то же множество корней. Следствие. Если $n$ – натуральное число, а функция $y=f(x)$ монотонно возрастает, то уравнения $f(x)=x$ и и $f(f(\ldots f(x))\ldots)=x$ имеют одно и то же множество корней. Задача….

| Автор:
| |

[latexpage] В этой статье приведен очень необычный способ решения уравнения. Даже два способа. Оба они тесно связаны с геометрией. Это тот случай, когда геометрия помогает алгебре. Задача. Решить уравнение. $$\sqrt{x^2-5x\sqrt{2}+25}+\sqrt{x^2-12x\sqrt{2}+144}=13$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 и гипотенузой 13. Пусть в нем проведена биссектриса прямого угла, длина которой $x$. Тогда, с одной стороны,….

| Автор:
| |

[latexpage] В этой статье научимся отбирать корни в задании 13 ЕГЭ с помощью двойного неравенства. Решать сами уравнения здесь не будем, только подробно разберем отбор корней. Задача 1. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\frac{\pi}{4}+\pi k$. Отбор нужно произвести на отрезке $[-\pi; 2\pi]$. Таким образом, точки, которые мы отберем,….

| Автор:
| |

[latexpage] Два тригонометрических уравнения, использующих метод введения дополнительного угла. Задача 1. Решить уравнение: $$\sqrt{6}(\sin x+\cos x)+\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=2$$ $$\sqrt{6}\sin x+\sqrt{6}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2$$ $$(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos x=2$$ Вводим дополнительный угол: $A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\varphi)$, $R=\sqrt{A^2+B^2}$, $\sin \varphi=\frac{B}{R}, \cos \varphi=\frac{A}{R}$. Тогда у нас $R=4$, $\sin \varphi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \cos \varphi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Делаем вывод, что $\varphi=\frac{\pi}{12}$, так как $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$$ Если $\sin….

| Автор:
| |

[latexpage] Сегодня – интересное тригонометрическое уравнение. Нашла в группе ВК, на которую я подписана. Задача. Решить уравнение. $$\sin x=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}54^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}72^{\circ}$$ Решение. [spoiler] Известна формула тангенса суммы: $$\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} \beta }$$ Для двух равных углов $$\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}$$ Воспользуемся этой формулой, чтобы получить тангенс $3\alpha$: $$\operatorname{tg}(\alpha+2\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} 2\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} 2\alpha }=\frac{\operatorname{tg}\alpha +\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}$$  ….

| Автор:
| |

[latexpage] В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения. Задача 1. Решить уравнение. $$\mid 2\sqrt{x}+1-x \mid +\mid x-2\sqrt{x}+2 \mid=7$$ Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую: $$ x-2\sqrt{x}=t$$ Тогда $$\mid 1-t \mid +\mid t+2 \mid=7$$ Тогда $t$ – такая точка, сумма расстояний….

| Автор:
| |

[latexpage] Неравенство, которое может сначала испугать, а оказывается, что его может решить и школьник 7 класса, и система с некрасивыми числами рассмотрены в этой статье. 1.Решите неравенство: $$\sqrt{32s^{52752}-16s^{105504}-16}+11s^{466436}-78<0$$ Неравенство выглядит жутковато, но нас не испугать. Мы знаем, что подкоренное выражение неотрицательно. А если приглядеться, то можно под корнем углядеть полный квадрат, а это уже большое….

| Автор:
| |