Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике

Категория: 10-11 класс

[latexpage] Всем понятно, что на экзамене чувствуешь себя иначе, чем в обычной жизни. Без волнения никак. Нервы сдают даже у самых стойких. Поэтому сдавать экзамен нужно учиться: не засиживаться на одной задаче, лучше потом к ней еще раз вернуться; искать разные подходы – не подошел один, подойдет другой; и уметь выходить из сложный ситуаций: вывести….

| Автор:
| |

[latexpage] Два способа решить одну тригонометрическую задачу. Задача 1. Найти $\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}$. Решение алгебраическое. Показать Представим больший угол как сумму двух углов по $36^{\circ}$: $$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \left(\frac{2\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^4 36^{\circ}}{\left(1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2$$ Так как тангенсы смежных углов отличаются знаком, то $$\operatorname{tg} 72^{\circ}=-\operatorname{tg} 108^{\circ}$$ Но $72^{\circ}=2\cdot 36^{\circ}$, а $108^{\circ}=3\cdot 36^{\circ}$. То есть….

| Автор:
| |

[latexpage] Пара алгебраических задач на сообразительность. Для тренировки при решении задачи 21 ОГЭ и задачи 9 ЕГЭ. Задача 1. Если $a^2+12\sqrt{a}=5, a>0$, то $a+2\sqrt{a}=?$ Решение. Показать Пусть $\sqrt{a}=t$, тогда $$t^4+12t=5$$ А ищем мы $t^2+2t$. $$t^4+12t-5=0$$ $$t^4+4t^2+4-4t^2+12t-9=0$$ $$(t^2+2)^2-(2t-3)^2=0$$ Раскроем как разность квадратов: $$(t^2+2-2t+3)( t^2+2+2t-3)=0$$ $$(t^2-2t+5)( t^2+2t-1)=0$$ Либо $$t^2-2t+5=0$$ Тут корней нет. $$t^2+2t-1=0$$ То есть $t^2+2t=1$ Ответ:….

| Автор:
| |

[latexpage] Решение квадратных уравнений методом «переброски» – а вы владеете этим способом? Нет – давайте учиться, это просто! Задача 1. Решить уравнение. $$2x^2-9x+9=0$$ Уравнение неприведенное, и по коэффициентам не решается. Давайте используем для его решения метод переброски. Для этого «перебрасываем» коэффициент $a$ к коэффициенту $c$, и перемножаем их. Получаем новое уравнение: $$x^2-9x+18=0$$ Решение этого уравнения….

| Автор:
| |

[latexpage] Несколько задач на получение уравнения плоскости. Сегодня будем искать уравнение плоскости, параллельной двум векторам. Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точку $P$, являющуюся точкой пересечения диагоналей, и параллельной векторам $\vec{AD_1}$ и $B_1C$. Введем систему координат.  Начало совместим с точкой $A$, оси направим….

| Автор:
| |

[latexpage] Несколько задач на построение плоскости. Теперь будем получать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной заданному вектору. Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$ и параллельной вектору $\vec{BD_1}$. Введем систему координат.  Начало совместим с точкой $A$, оси….

| Автор:
| |

Очень это полезное умение – извлекать корни без калькулятора. На ЕГЭ – точно пригодится. Возможно, и на ОГЭ поможет.

| Автор:
| |

[latexpage] Производная сложной функции – да ведь это же просто! Нужно найти «вложенные» функции и взять производные по очереди от  каждой, и затем перемножить. Задача 1. Определить производную функции: $$y=7^{\arcsin^2 x}$$ Решение: $$y’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7 \cdot(\arcsin^2 x)’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7\cdot2\arcsin^1 x \cdot (\arcsin x)’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7\cdot2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=$$ $$=\frac{2\cdot 7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln….

| Автор:
| |

[latexpage] Задачи достаточно интересные. Первая заставила подумать над решением, вторая – над условием. Интересны они также тем, что присутствуют в части В – под номером 6, для которого в целом являются необычными. Задача 1. В треугольнике $ABC$, в котором угол $\angle A=30^{\circ}$ и  $\angle B=105^{\circ}$, проведена медиана $CM$. Найдите угол $\angle MCA$, ответ дайте в….

| Автор:
| |

[latexpage] Решим сегодня задачу из дополнительных вступительных испытаний в Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова. Задача была предложена в июле этого (2016) года на вступительных экзаменах под номером 8. Найдите наименьшее значение выражения $$\sqrt{106+\log_a^2 \cos ax+ \log_a \cos^{10} ax}+\sqrt{58+\log_a^2 \sin ax- \log_a \sin^6 ax}+\sqrt{5+\log_a^2 \operatorname{tg} ax+ \log_a \operatorname{tg}^2 ax}$$ и все пары $a, x$, при….

| Автор:
| |