Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике

Категория: Математика

[latexpage] В статье приведены решения неравенства с параметром и уравнения с параметром. Задача 1. При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства содержит $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right]$? $$\frac{a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4}{\sin^2 x+a^2+1}<1$$ Решение. Так как $\sin^2 x+a^2+1>0$, домножим на знаменатель. $$ a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4<\sin^2 x+a^2+1$$ $$ a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4<1-\cos^2 x+a^2+1$$ $$\cos^2 x-(a^2-2a+0,5)\cos x-a^2+a+2<0$$ Получили квадратное уравнение относительно $\cos x$. Нас не….

| Автор:
| |

[latexpage] Я называю такие задачи “нелинейными”. Решать можно по-разному, кому какой способ ближе. Задача. Две трубы заполняют водой бассейн объемом 30 м$^3$. Первая закачивает воду со скоростью, обратно пропорциональной объему воды, уже вытекшей из трубы в бассейн. В тот момент, когда из трубы вышло 5 м$^3$ жидкости, скорость заполнения оказалась равна 4 м$^3$/ч. Вторая труба….

| Автор:
| |

[latexpage] Решим две системы с параметром. В обоих случаях необходимо большое число решений. Задача 1. При каких значениях параметра $a$ система $$\begin{Bmatrix}{ 2\mid xy-3y-4x+12\mid=a^2+2a-z-30}\\{ 3a^2-a-z-32=0}\\{ z-x^2-y^2+6x+8y=0}\end{matrix}$$ имеет 4 решения? Решение. $$\begin{Bmatrix}{ 2\mid x-3\mid \cdot\mid y-4\mid=-2a^2+3a+2}\\{ (x-3)^2+(y-4)^2=3a^2-a-7}\\{ z=3a^2-a-32}\end{matrix}$$ Введем новые обозначения: $$\mid x-3\mid=u$$ $$\mid y-4\mid=\upsilon$$ Каждому $u>0$ соответствует 2 решения, 2 значения $x$, каждому $u=0$ –….

| Автор:
| |

[latexpage] Несколько задач на вычисление. Хитрые задачи! Вторая – вполне достойна ДВИ. Задача 1. Вычислить $$\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}$$ Решение. $$\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}=\frac{\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}\cdot 2\sin 20^{\circ}}{2\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 40^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}}{2\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 80^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}}{4\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}=0,125$$ Ответ: 0,125. Задача 2. Вычислить $$\operatorname{tg^2} 36^{\circ}\cdot….

| Автор:
| |

[latexpage] Сегодня решим несколько приятных задач  по геометрии. Очень симпатичные задачки, решения простые и в то же время заставляют думать. Задача 1. Решение. Показать Разобьем фигуру на трапеции: $ABQ_1P_1$, $P_1Q_1Q_2P_2$, $ Q_2P_2P_3Q_3$, $P_3Q_3DC$. Тогда площадь треугольника $ABO$ равна площади треугольника $OQ_1P_1$, площадь треугольника $P_1MQ_1$ таким образом равна 11. Тогда и площадь $MP_2Q_2$ равна 11. Аналогично….

| Автор:
| |

[latexpage] Интересное неравенство. Поскольку экзамен претерпел изменения и неравенств в нем прибавилось, давайте тренироваться! Задача. Решите неравенство. $$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\cdot 2^{\mid x \mid}-1}>\frac{1}{2\cdot 2^{\sqrt{x}+2}-1}$$   $$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \frac{4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \left(4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\log_{0,5}\left(4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1\right)+\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ Вводим….

| Автор:
| |

[latexpage] Еще одна задача с параметром от ЗФТШ. Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x) = \mid a +3 \mid\sqrt[3]{x}$ имеет четыре решения, где $f$ – четная периодическая функция с периодом $T = \frac{16}{3}$, определенная на всей числовой прямой, причем $f(x) = ax^2$, если $0 \leqslant x\leqslant \frac{8}{3}$. Решение. Задано….

| Автор:
| |

[latexpage] Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”. Задача 19. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{Bmatrix}{ \mid y + 6 – x \mid + \mid y +6 +x \mid….

| Автор:
| |

[latexpage] Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”. Задача 17. На координатной плоскости $xOy$ рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств $$\begin{Bmatrix}{ y – x \geqslant \mid x + y….

| Автор:
| |

[latexpage] Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”. Задача 15. Найдите количество решений следующего уравнения в зависимоcти от значений параметра $a$ (где$ \{x\}$ – дробная часть числа $x$: $$a – \{x\} = – \sqrt{2x –….

| Автор:
| |