Большой кредит

[latexpage]

Решим задачу на реструктуризацию кредита (процент меняется по определенным условиям).

Задача.  В мае 2020 года планируется взять кредит в банке на 37,5 млн. рублей на 25 лет. Условия возврата таковы:

— пока долг больше половины исходной суммы, каждый январь он возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего года;

— если долг не превышает половины исходной суммы, каждый январь он возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по апрель необходимо выплатить часть долга;

— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.

Найдите $r$, если полная сумма выплат составила 74,16 млн рублей.

Решение. Тело кредита представим как  $25a$ рублей.

$$a=\frac{S}{25}=\frac{37,5}{25}=1,5$$

То есть долг каждый год будет становиться меньше на 1,5 миллиона. Кроме этого придется платить еще и проценты.

Тогда таблица выплат будет выглядеть так:

«Соберем» все выплаты в одну «кучу»:

$$P=74,16$$

$$P=S+0,08\cdot(25a+24a+\ldots+13a)+\frac{r}{100}\cdot (12a+11a+\ldots+a)$$

$$P=S+0,08\cdot \frac{25a+13a}{2}\cdot 13+\frac{r}{100}\cdot\frac{12a+a}{2}\cdot 12$$

$$P=S+0,08\cdot 19a\cdot 13+\frac{r}{100}\cdot13a\cdot 6$$

$$74,16=37,5+19,76\cdot 1,5+\frac{r}{100}\cdot 78\cdot 1,5$$

$$7,02=\frac{r}{100}\cdot 78\cdot 1,5$$

$$7,02=1,17r$$

$$r=6$$

Ответ: $r=6$.