Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Второй закон Ньютона

Блоки, нити, грузы и перегрузки

Задача 1.  К телу массой M = 10 кг подвешено на веревке тело массой m= 5 кг. Масса веревки m_v = 2 кг. Вся система движется ускоренно вверх под действием силы F = 300 Н, приложенной к верхнему телу (рис.1). Найти натяжение веревки в ее центре T_1 и в точках крепления тел T_m и T_M.

Рисунок 1

Представим всю систему единым телом массой M'=M+m+m_v. Будем действовать на эту систему с силой F. Тогда по второму закону Ньютона

    \[M'a=F-M'g\]

Откуда найдем ускорение системы:

    \[a=\frac{F}{M'}-g=\frac{300}{10+5+2}-10=7,64\]

Теперь вернемся к первому рисунку и запишем уравнения по второму закону Ньютона для верхнего  и нижнего грузов:

    \[Ma=F-Mg-T_M\]

    \[ma=-mg+T_m\]

Откуда

    \[T_M= F-Mg- Ma=300-100-76,4=123,6\]

    \[T_m=ma+mg=5(10+7,6)=88\]

Очевидно, что посередине веревки сила ее натяжения T_1 будет средним арифметическим найденных двух сил:

    \[T_1=\frac{T_M+T_m}{2}=\frac{123,6+88}{2}=105,8\]

Ответ: T_M=123,6 Н, T_m=88 Н, T_1=105,8 Н.

Задача 2. Маляр массой M=72 кг работает в подвесном кресле. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он начинает тянуть веревку с такой силой, что сила давления на кресло уменьшается до F = 400 Н. Масса кресла m =12 кг. Чему равно ускорение маляра? Чему равна нагрузка на блок?

Рисунок 2

Расставим силы. Отметим все силы, действующие не маляра, и силы, действующие на люльку:

Теперь можно написать уравнения:

    \[Ma=N+T-Mg\]

    \[ma=T-mg-N\]

Вычитаем уравнения:

    \[(M-m)a=2N+g(m-M)\]

    \[a=\frac{2N}{M-m}-g=\frac{800}{60}-10=3,3\]

Ответ: a=3,3 м/с^2.

Задача 3. Через легкий неподвижный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить с двумя грузами на концах, массы которых m_1 и m_2, m_1>m_2. Система приходит в движение, причем нить не проскальзывает относительно блока. Определить ускорение грузов, силу натяжения нити и силу давления на ось блока.

Рисунок 3

Понятно, что больший груз перетянет и начнет двигаться вниз, а меньший – подниматься. Запишем для них уравнение по второму закону:

    \[m_1a=m_1g-T\]

    \[m_2a=T-m_2g\]

Сложим уравнения:

    \[(m_1+m_2)a=g(m_1-m_2)\]

Откуда

    \[a=\frac{ g(m_1-m_2)}{ m_1+m_2}\]

Теперь можно найти и силу натяжения нити:

    \[T=m_2(a+g)=\frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}\]

Сила давления на блок равна 2T:

    \[2T=\frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}\]

Ответ: a=\frac{ g(m_1-m_2)}{ m_1+m_2}, T=\frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2},
2T=\frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}.


Задача 4. Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами М . Одновременно на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа  массой 3m, слева m (рис. 2). Определить ускорение системы, силу натяжения нити и силу давления перегрузков на основные грузы.

Рисунок 4

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для обоих грузов с учетом массы перегрузков:

    \[a(M+3m)=(M+3m)g-T\]

    \[a(M+m)= T- (M+m)g\]

Сложение уравнений даст нам

    \[2aM+4am=2mg\]

    \[a=\frac{2mg}{M+2m}\]

Сила натяжения нити найдется подстановкой найденного ускорения в любое уравнение системы:

    \[T=(M+m)(a+g)=\frac{g(m+M)(M+3m)}{M+2m}\]

Определим силу давления меньшего перегрузка массой m на груз M:

    \[ma=N_1-mg\]

    \[N_1=m(a+g)= \frac{gm(M+3m)}{M+2m}\]

Для большего перегрузка

    \[3ma=N_2-3mg\]

    \[N_2=3m(a+g)= \frac{3gm(M+3m)}{M+2m}\]

Ответ: a=\frac{2mg}{M+2m}, T=\frac{g(m+M)(M+3m)}{M+2m}, N_1= \frac{gm(M+3m)}{M+2m}, N_2= \frac{3gm(M+3m)}{M+2m}.

Задача 5. Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены три одинаковых груза массой m = 5 кг каждый (рис. 3). Найти ускорение системы и силу натяжения нити между грузами 1 и 2. Какой путь S пройдут грузы за первые t= 4 с движения? Трением пренебречь.

Рисунок 5

Сначала мысленно объединим два груза слева в один и запишем уравнение по второму закону:

    \[2ma=2mg-T\]

Для правого грузика

    \[ma=T-mg\]

Складываем уравнения:

    \[3ma=mg\]

    \[a=\frac{g}{3}\]

Определим силу натяжения нити между грузиками. Обозначим ее T_1. Тогда для самого нижнего грузика слева:

    \[ma=mg-T_1\]

    \[T_1=m(g-a)=\frac{2mg}{3}=\frac{100}{3}\]

Определяем путь грузиков за 4 с:

    \[S=\frac{at^2}{2}=\frac{10}{3}\cdot\frac{16}{2}=\frac{80}{3}\]

Ответ: a=\frac{10}{3} м/с^2, T_1=\frac{100}{3} Н, S=\frac{80}{3} м.

 

Задача 6. Определить ускорение грузов и силы натяжения всех нитей в системе, изображенной на рисунке. Масса каждого груза m, массой блока пренебречь.

Рисунок 6

Сначала определяем ускорение. Для этого записываем уравнение по второму закону для грузиков справа и слева, пока не вспоминая о том, что их там несколько. Для нас сейчас это  груз массой 2m  справа и 3m слева. Силу натяжения основной нити обозначим T:

    \[3ma=3mg-T\]

    \[2ma=T-2mg\]

Складываем уравнения:

    \[5ma=mg\]

    \[a=\frac{g}{5}\]

Тогда

    \[T=2m(a+g)=\frac{12mg}{5}\]

Рассмотрим теперь грузы, висящие справа. Обозначим натяжение нити между ними T_1. Для нижнего груза справа

    \[ma=T_1-mg\]

    \[T_1=m(a+g)=\frac{6mg}{5}\]

Осталось определить T_2 и T_3. Для верхнего грузика слева

    \[ma=T_2-T+mg\]

Откуда

    \[T_2=T+m(a-g)= \frac{8mg}{5}\]

А для нижнего грузика слева

    \[ma=mg-T-3\]

    \[T_3=m(g-a)= \frac{4mg}{5}\]

Ответ: a=\frac{g}{5}, T=\frac{12mg}{5}, T_1= \frac{6mg}{5}, T_2= \frac{8mg}{5}, T_3= \frac{4mg}{5}.

Задача 7. Два груза массами m_1 = 100 г и m_2 = 50 г соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.). Грузы прижимаются друг к другу с постоянными силами F = 1 Н. Коэффициент трения между ними \mu = 0,1. Найти ускорение, с которым движутся грузы.

Рисунок 7

Записываем уравнение по второму закону:

    \[m_1a=m_1g-T-F_{tr}\]

    \[m_2a=T-m_2g-F_{tr}\]

Тогда

    \[a(m_1+m_2)=g(m_1-m_2)-2F_{tr}\]

    \[a=\frac{ g(m_1-m_2)-2F_{tr}}{ m_1+m_2}=\frac{ g(m_1-m_2)-2\mu F}{ m_1+m_2}=\frac{ 10\cdot0,05-2\cdot1\cdot0,1}{ 0,15}=2\]

Ответ: a=2.

Задача 8. Невесомая нить, перекинутая через неподвижный блок, пропущена через щель (рис.). При движении нити на нее действует постоянная сила трения F. На концах нити подвешены грузы, массы которых m_1 и m_2. Определить ускорение грузов.

Рисунок 8

Давайте предположим, что m_2>m_1. Тогда левый груз начинает движение вверх, правый – вниз. Записываем для них уравнение  по второму закону с учетом наличия силы трения:

    \[m_2a=m_2g-T-F\]

    \[m_1a=T-m_1g\]

Складывая уравнения, имеем:

    \[(m_1+m_2)a=g(m_2-m_1)-F\]

Откуда

    \[a=\frac{ g(m_2-m_1)-F }{ m_1+m_2}\]

Но, если бы m_1>m_2, тогда

    \[a=\frac{ g(m_1-m_2)-F }{ m_1+m_2}\]

Тогда, чтобы учесть обе возможности, запишем ответ так:

Ответ: a=\frac{ g\mid m_1-m_2 \mid-F }{ m_1+m_2}.

Задача 9. Через невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к одному концу которой привязан груз массой m_1 = 100 г, а по другому
скользит кольцо массой m_2 = 250 г (рис.). С каким ускорением движется кольцо, если груз m_1  неподвижен?

Рисунок 9

Сила трения кольца в данном случае и порождает силу натяжения нити, то есть это одна и та же сила. Поэтому для неподвижного груза

    \[T=m_1g\]

А для кольца

    \[m_2a=m_2g-T=m_2g-m_1g\]

    \[a=g-\frac{m_1}{m_2}g=g\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)=10(1-0,4)=6\]

Ответ: 6 м/с^2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *