Бипризмы

[latexpage]

Бипризма Френеля состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника $S$ преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников $S_1$ и $S_2$, являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана  происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

Задача 1. Параллельный пучок света с длиной волны $\lambda$ нормально падает на основание бипризмы с малыми преломляющими углами $\alpha$ (рад). Показатель преломления стекла призмы равен $n$.  За призмой параллельно ее основанию расположен экран, на котором видна интерференционная картина. Найдите ширину интерференционных полос.

К задаче 1

Запишем для показателя преломления призмы:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{1}{n}~~~~~~~~~(*)$$

Так как углы все маленькие, то (*) можно записать так:

$$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}=\frac{1}{n}$$

Откуда найдем угол преломления $\beta$:

$$\alpha n=\alpha+\beta$$

$$\alpha(n-1)=\beta$$

Тангенс угла $\beta$ можно записать как

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\frac{d}{2}}{L}=\frac{d}{2L}$$

$d$ – расстояние между двумя когерентными источниками. Они получаются из-за расщепления пучка бипризмой. Это расстояние между двумя точками бипризмы, через которые пройдут лучи, пришедшие в центральную точку экрана.

Так как угол малый, перейдем от тангенса к самому углу:

$$\beta=\frac{d}{2L}$$

Таким образом,

$$\frac{d}{2L}=\alpha(n-1)$$

$$\frac{L}{d}=\frac{1}{2\alpha(n-1)}$$

Но ширина интерференционных полос равна

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$$

Подставляя в последнюю формулу отношение $\frac{L}{d}$, полученное выше, имеем:

$$\Delta x=\frac{\lambda }{2\alpha(n-1)}$$

Ответ: $\Delta x=\frac{\lambda }{2\alpha(n-1)}$

Задача 2. На бипризму Френеля падает свет от источника $S$. Световые пучки, преломленные разными гранями призмы, частично перекрываются и дают на экране интерференционную картину. Найдите расстояние между соседними интерференционными полосами, если расстояние от источника до призмы 1 м, а от призмы до экрана 4 м; преломляющий угол призмы 0,002 рад. Стекло, из которого изготовлена бипризма, имеет показатель преломления 1,5. Длина световой волны 600 нм.

К задаче 2

Так же, как и в предыдущей задаче, запишем для показателя преломления призмы:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{1}{n}~~~~~~~~~(*)$$

Так как углы все маленькие, то (*) можно записать так:

$$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}=\frac{1}{n}$$

Откуда найдем угол преломления $\beta$:

$$\alpha n=\alpha+\beta$$

$$\alpha(n-1)=\beta$$

Ширина интерференционных полос равна

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$$

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\frac{d}{2}}{a}=\frac{d}{2a}$$

Так как угол малый, перейдем от тангенса к самому углу:

$$\beta=\frac{d}{2a}$$

$$d=2a \beta=2a\alpha(n-1)$$

Здесь d – расстояние между мнимыми источниками, $L=a+b$.

Таким образом,

$$\Delta x=\frac{\lambda (a+b)}{2a\alpha(n-1)}= \frac{6\cdot10^{-7}\cdot 5)}{2\cdot0,002(1,5-1)}=15\cdot10^{-4}$$

Ответ: 0,15 см

Задача 3. Пучок света падает перпендикулярно к поверхности стеклянного клина. Длина волны света 582 нм, угол клина $20’’$. Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла 1,5.

Для двух параллельных лучей толщина клина будет немного отличаться: для одного $h_1$, для другого $h_2$.

К задаче 3

Условие получения темной полосы – $\Delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2}$. Оптическая разность хода будет равна для луча 1

$$\Delta=2n h_1+\frac{\lambda }{2}$$

Полдлины волны добавится за счет отражения от оптически более плотной среды. Приравниваем:

$$2n h_1+\frac{\lambda }{2}= (2k+1) \frac{\lambda}{2}$$

$$2n h_1= k\lambda $$

$$h_1=\frac{k \lambda }{2n}$$

Для луча 2

$$h_2=\frac{m\lambda }{2n}$$

Тангенс угла клина запишем как

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{h_2-h_1}{L}$$

Так как угол мал, то

$$\alpha=\frac{h_2-h_1}{L}=\frac{\lambda }{2nL}(m-k)$$

То есть число темных полос на длину $L$ равно

$$\frac{m-k}{L}=\frac{2n \alpha}{\lambda}$$

Определим угол в 20 секунд – сколько это радиан? Ведь заменить тангенс мы можем только на угол, выраженный в радианах. 20 секунд – это треть минуты, или $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{60}$ градуса, или $\frac{pi}{180^2}$ радиан:

$$\frac{m-k}{L}=\frac{2\cdot1,5\cdot\pi}{582\cdot10^{-9}\cdot180^2}=5\cdot10^{-2}$$

Ответ: 5 полос на 1 см.