Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Волновая оптика

Бипризмы

Бипризма Френеля состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников S_1 и S_2, являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана  происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

Задача 1. Параллельный пучок света с длиной волны \lambda нормально падает на основание бипризмы с малыми преломляющими углами \alpha (рад). Показатель преломления стекла призмы равен n.  За призмой параллельно ее основанию расположен экран, на котором видна интерференционная картина. Найдите ширину интерференционных полос.

К задаче 1

 

Запишем для показателя преломления призмы:

    \[\frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{1}{n}~~~~~~~~~(*)\]

Так как углы все маленькие, то (*) можно записать так:

    \[\frac{\alpha}{\alpha+\beta}=\frac{1}{n}\]

Откуда найдем угол преломления \beta:

    \[\alpha n=\alpha+\beta\]

    \[\alpha(n-1)=\beta\]

Тангенс угла \beta можно записать как

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\frac{d}{2}}{L}=\frac{d}{2L}\]

d – расстояние между двумя когерентными источниками. Они получаются из-за расщепления пучка бипризмой. Это расстояние между двумя точками бипризмы, через которые пройдут лучи, пришедшие в центральную точку экрана.

Так как угол малый, перейдем от тангенса к самому углу:

    \[\beta=\frac{d}{2L}\]

Таким образом,

    \[\frac{d}{2L}=\alpha(n-1)\]

    \[\frac{L}{d}=\frac{1}{2\alpha(n-1)}\]

Но ширина интерференционных полос равна

    \[\Delta x=\frac{\lambda L}{d}\]

Подставляя в последнюю формулу отношение \frac{L}{d}, полученное выше, имеем:

    \[\Delta x=\frac{\lambda }{2\alpha(n-1)}\]

Ответ: \Delta x=\frac{\lambda }{2\alpha(n-1)}

 

Задача 2. На бипризму Френеля падает свет от источника S. Световые пучки, преломленные разными гранями призмы, частично перекрываются и дают на экране интерференционную картину. Найдите расстояние между соседними интерференционными полосами, если расстояние от источника до призмы 1 м, а от призмы до экрана 4 м; преломляющий угол призмы 0,002 рад. Стекло, из которого изготовлена бипризма, имеет показатель преломления 1,5. Длина световой волны 600 нм.

К задаче 2

Так же, как и в предыдущей задаче, запишем для показателя преломления призмы:

    \[\frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{1}{n}~~~~~~~~~(*)\]

Так как углы все маленькие, то (*) можно записать так:

    \[\frac{\alpha}{\alpha+\beta}=\frac{1}{n}\]

Откуда найдем угол преломления \beta:

    \[\alpha n=\alpha+\beta\]

    \[\alpha(n-1)=\beta\]

Ширина интерференционных полос равна

    \[\Delta x=\frac{\lambda L}{d}\]

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\frac{d}{2}}{a}=\frac{d}{2a}\]

Так как угол малый, перейдем от тангенса к самому углу:

    \[\beta=\frac{d}{2a}\]

    \[d=2a \beta=2a\alpha(n-1)\]

Здесь d – расстояние между мнимыми источниками, L=a+b.

Таким образом,

    \[\Delta x=\frac{\lambda (a+b)}{2a\alpha(n-1)}= \frac{6\cdot10^{-7}\cdot 5)}{2\cdot0,002(1,5-1)}=15\cdot10^{-4}\]

Ответ: 0,15 см

Задача 3. Пучок света падает перпендикулярно к поверхности стеклянного клина. Длина волны света 582 нм, угол клина 20''. Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла 1,5.

Для двух параллельных лучей толщина клина будет немного отличаться: для одного h_1, для другого h_2.

К задаче 3

Условие получения темной полосы – \Delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2}. Оптическая разность хода будет равна для луча 1

    \[\Delta=2n h_1+\frac{\lambda }{2}\]

Полдлины волны добавится за счет отражения от оптически более плотной среды. Приравниваем:

    \[2n h_1+\frac{\lambda }{2}= (2k+1) \frac{\lambda}{2}\]

    \[2n h_1= k\lambda\]

    \[h_1=\frac{k \lambda }{2n}\]

Для луча 2

    \[h_2=\frac{m\lambda }{2n}\]

Тангенс угла клина запишем как

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{h_2-h_1}{L}\]

Так как угол мал, то

    \[\alpha=\frac{h_2-h_1}{L}=\frac{\lambda }{2nL}(m-k)\]

То есть число темных полос на длину L равно

    \[\frac{m-k}{L}=\frac{2n \alpha}{\lambda}\]

Определим угол в 20 секунд – сколько это радиан? Ведь заменить тангенс мы можем только на угол, выраженный в радианах. 20 секунд – это треть минуты, или \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{60} градуса, или \frac{pi}{180^2} радиан:

    \[\frac{m-k}{L}=\frac{2\cdot1,5\cdot\pi}{582\cdot10^{-9}\cdot180^2}=5\cdot10^{-2}\]

Ответ: 5 полос на 1 см.

Комментариев - 10

  • Шамиль
    |

    В первой задаче была применена формула для нахождения интерференционных полос (дельта икс равно…). Разве мы можем её применять в данной задаче, учитывая, что выведена она для двух точечных источников, а в нашем случае лучи параллельны?

    Ответить
    • Анна
      |

      Они параллельны до призмы. А после прохождения призмы – нет. И интерферируют так, как будто это лучи двух источников.

      Ответить
      • Шамиль
        |

        Разве один пучок параллельных лучей не разбивается на два сходящихся пучка параллельных лучей? Угол поворота луча в клине не зависит от расстояния до вершины этого клина. Два источника можно сымитировать рассеивающей билинзой, причём с поменянными местами половинками, но в данном случае у нас обыкновенная бипризма.

        Ответить
        • Анна
          |

          Именно так. Два сходящихся пучка параллельных лучей.Что помешает им интерферировать?

          Ответить
          • Шамиль
            |

            До бипризмы они когерентны, от бипризмы до экрана проходят одинаковый путь (видно из равенства треугольников, если не брать в расчёт смещение, связанное с изменением длины волны в стекле), а значит нет никакого смещения фаз, то есть все лучи падают на экран синфазно.

            Ответить
          • Анна
            |

            Пучок показан двумя лучами. Это не значит, что в нем всего два луча. Там есть лучи, которые расположены ближе к оси призмы и дальше от нее. Они проходят различные пути и будут интерферировать. Согласна, что рисунок в данном случае неудачен.

            Ответить
  • Шамиль
    |

    За счёт чего лучи будут проходить разные расстояния, если они все выходят под одним и тем же по модулю углом к нормали бипризмы (которая в приближении параллельна горизонту) и проходят одинаковое расстояния по горизонтальной оси? Я ведь правильно понимаю, что для того, чтобы два луча интерферировали, они должны прийти в одну точку экрана?

    Ответить
    • Анна
      |

      //easy-physic.ru/wp-content/uploads/2017/09/бипризмы4.png – сделала специально для вас рисунок. У зеленого и красного лучей разная длина хода.

      Ответить
  • Рустам
    |

    В первой задаче применяется формула для ширины интерференционных полос и в нем d – расстояние между двумя когерентными источниками. В ранее выведенной формуле L/d=1/2alfa(n-1), d – ширина интерференционной картины на экране. Буквы одинаковые, но ведь смыслы разные

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо, Рустам! Поправила.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *