Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Волновая оптика

Бипризмы

Бипризма Френеля состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников S_1 и S_2, являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана  происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

Задача 1. Параллельный пучок света с длиной волны \lamba нормально падает на основание бипризмы с малыми преломляющими углами \alpha (рад). Показатель преломления стекла призмы равен n.  За призмой параллельно ее основанию расположен экран, на котором видна интерференционная картина. Найдите ширину интерференционных полос.

К задаче 1

Запишем для показателя преломления призмы:

    \[\frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{1}{n}~~~~~~~~~(*)\]

Так как углы все маленькие, то (*) можно записать так:

    \[\frac{\alpha}{\alpha+\beta}=\frac{1}{n}\]

Откуда найдем угол преломления \beta:

    \[\alpha n=\alpha+\beta\]

    \[\alpha(n-1)=\beta\]

Тангенс угла \beta можно записать как

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\frac{d}{2}}{L}=\frac{d}{2L}\]

Так как угол малый, перейдем от тангенса к самому углу:

    \[\beta=\frac{d}{2L}\]

Таким образом,

    \[\frac{d}{2L}=\alpha(n-1)\]

    \[\frac{L}{d}=\frac{1}{2\alpha(n-1)}\]

Но ширина интерференционных полос равна

    \[\Delta x=\frac{\lambda L}{2d}\]

Подставляя в последнюю формулу отношение \frac{L}{d}, полученное выше, имеем:

    \[\Delta x=\frac{\lambda }{2\alpha(n-1)}\]

Ответ: \Delta x=\frac{\lambda }{2\alpha(n-1)}

 

Задача 2. На бипризму Френеля падает свет от источника S. Световые пучки, преломленные разными гранями призмы, частично перекрываются и дают на экране интерференционную картину. Найдите расстояние между соседними интерференционными полосами, если расстояние от источника до призмы 1 м, а от призмы до экрана 4 м; преломляющий угол призмы 0,002 рад. Стекло, из которого изготовлена бипризма, имеет показатель преломления 1,5. Длина световой волны 600 нм.

К задаче 2

Так же, как и в предыдущей задаче, запишем для показателя преломления призмы:

    \[\frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{1}{n}~~~~~~~~~(*)\]

Так как углы все маленькие, то (*) можно записать так:

    \[\frac{\alpha}{\alpha+\beta}=\frac{1}{n}\]

Откуда найдем угол преломления \beta:

    \[\alpha n=\alpha+\beta\]

    \[\alpha(n-1)=\beta\]

Ширина интерференционных полос равна

    \[\Delta x=\frac{\lambda L}{d}\]

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\frac{d}{2}}{a}=\frac{d}{2a}\]

Так как угол малый, перейдем от тангенса к самому углу:

    \[\beta=\frac{d}{2a}\]

    \[d=2a \beta=2a\alpha(n-1)\]

Здесь d – расстояние между мнимыми источниками, L=a+b.

Таким образом,

    \[\Delta x=\frac{\lambda (a+b)}{2a\alpha(n-1)}= \frac{6\cdot10^{-7}\cdot 5)}{2\cdot0,002(1,5-1)}=15\cdot10^{-4}\]

Ответ: 0,15 см

Задача 3. Пучок света падает перпендикулярно к поверхности стеклянного клина. Длина волны света 582 нм, угол клина 20''. Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла 1,5.

Для двух параллельных лучей толщина клина будет немного отличаться: для одного h_1, для другого h_2.

К задаче 3

Условие получения темной полосы – \Delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2}. Оптическая разность хода будет равна для луча 1

    \[\Delta=2n h_1+\frac{\lambda }{2}\]

Полдлины волны добавится за счет отражения от оптически более плотной среды. Приравниваем:

    \[2n h_1+\frac{\lambda }{2}= (2k+1) \frac{\lambda}{2}\]

    \[2n h_1= k\lambda\]

    \[h_1=\frac{k \lambda }{2n}\]

Для луча 2

    \[h_2=\frac{m\lambda }{2n}\]

Тангенс угла клина запишем как

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{h_2-h_1}{L}\]

Так как угол мал, то

    \[\alpha=\frac{h_2-h_1}{L}=\frac{\lambda }{2nL}(m-k)\]

То есть число темных полос на длину L равно

    \[\frac{m-k}{L}=\frac{2n \alpha}{\lambda}\]

Определим угол в 20 секунд – сколько это радиан? Ведь заменить тангенс мы можем только на угол, выраженный в радианах. 20 секунд – это треть минуты, или \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{60} градуса, или \frac{pi}{180^2} радиан:

    \[\frac{m-k}{L}=\frac{2\cdot1,5\cdot\pi}{582\cdot10^{-9}\cdot180^2}=5\cdot10^{-2}\]

Ответ: 5 полос на 1 см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *