Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Биквадратное уравнение с параметром

Уравнение попалось в сети, с параметром. Давайте его решим, особенно интересно условие с прогрессией:

Определить целое число m\neq 0, для которого уравнение

    \[x^4-(3m+2)x^2+m^2=0\]

имеет четыре действительных корня, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии.

Уравнение биквадратное, то есть его можно переписать в виде:

    \[(x^2-a^2)(x^2-b^2)=(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)=0\]

Корни -a; -b; b; a – именно в таком порядке – являются членами арифметической прогрессии. Тогда разность прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами. Понятно, что удобно взять в качестве таких соседей числа -b; b – тогда разность прогрессии b-(-b)=2b. Значит,

    \[a-b=d=2b\]

    \[a=3b\]

Таким образом, наша прогрессия -3b; -b; b; 3b.

По теореме Виета

    \[a^2+b^2=3m+2\]

    \[a^2b^2=m^2\]

Следовательно,

    \[ab=m\]

    \[3b^2=m\]

Тогда

    \[3m+2=a^2+b^2=3m+\frac{m}{3}\]

    \[\frac{m}{3}=2\]

    \[m=6\]

Ответ: m=6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *