Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Биквадратное уравнение с параметром

[latexpage]

Уравнение попалось в сети, с параметром. Давайте его решим, особенно интересно условие с прогрессией:

Определить целое число $m\neq 0$, для которого уравнение

$$x^4-(3m+2)x^2+m^2=0$$

имеет четыре действительных корня, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии.

Уравнение биквадратное, то есть его можно переписать в виде:

$$(x^2-a^2)(x^2-b^2)=(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)=0$$

Корни $-a; -b; b; a$ – именно в таком порядке – являются членами арифметической прогрессии. Тогда разность прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами. Понятно, что удобно взять в качестве таких соседей числа $-b; b$ – тогда разность прогрессии $b-(-b)=2b$. Значит,

$$a-b=d=2b$$

$$a=3b$$

Таким образом, наша прогрессия $-3b; -b; b; 3b$.

По теореме Виета

$$a^2+b^2=3m+2$$

$$a^2b^2=m^2$$

Следовательно,

$$ab=m$$

$$3b^2=m$$

Тогда

$$3m+2=a^2+b^2=3m+\frac{m}{3}$$

$$\frac{m}{3}=2$$

$$m=6$$

Ответ: $m=6$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *