Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ЕГЭ по математике, Математика, ОГЭ (ГИА) по математике

Бесконечные периодические дроби и их перевод в дроби обыкновенные.


Некоторые обыкновенные дроби можно представить в виде конечных десятичных дробей, например:

{1/4}=0,25,

{2/5}=0,4,

{3/8}=0,375.
Но некоторые дроби невозможно представить конечной десятичной дробью, например: {1/3}=0,33333...{1/9}=0,1111...., {pi}=3,14159265....

Как видно, при делении одного на три все время образуется остаток 1, и в частном получается 3. Так как это происходит бесконечно, то дробь и называется бесконечной. В этой дроби остаток всегда одинаковый (1), то есть частное (3) повторяется периодически, и говорят, что это бесконечная периодическая дробь. Это частное, которое все время повторяется, называют периодом, и читают дробь так: “ноль целых и три в периоде”,  записывают кратко так: {1/3}=0,(3).

Существуют и такие дроби, где остаток от деления все время получается разным, и частное разное, и поэтому все цифры, образующие  такое число, разные (число {pi}=3,14159265...). Это непериодическая бесконечная дробь.

Иногда может потребоваться выполнить представление такой вот периодической дроби дробью обыкновенной. Для того, чтобы научиться это делать, посмотрим, как организована бесконечная периодическая дробь:

3{5/11}=3,454545...=3,(45)

Дробь может содержать целую часть (у нас – 3), цифры после запятой, которые не повторяются (у нас их нет), и повторяющуюся цифру или группу цифр (у нас 45), которая называется периодом.

Рассмотрим еще одну:

5{4/65}=5,06153846153...=5,0(615384) – здесь целая часть 5, неповторяющаяся цифра после запятой одна – 0, и период состоит из шести цифр – 615384.

Теперь можем приступать к трансформации бесконечной дроби в обыкновенную!

Потребуется:

1. Посчитать, сколько цифр в периоде и после запятой, но до него.

2. Записать натуральным числом все цифры после запятой, включая период.

3. Записать натуральным числом все цифры после запятой до периода.

4. Записать разность этих двух натуральных чисел.

5. Разделить эту разность на число, в котором столько девяток, сколько цифр в периоде нашей дроби и столько нулей, сколько цифр до периода. Полученную дробь сократить – это дробная часть числа.

6. Не забыть про целую часть числа! Ее надо добавить к полученной дробной части.

Делаем!

Например, нужно представить бесконечную дробь 2,727272...=2,(72) в виде смешанного числа.

1. В периоде 2 цифры (72), до периода цифр нет (0).

2. Записываем период натуральным числом – 72. Записываем натуральным числом цифры до периода – 0.

3. Считаем разность этих чисел: 72-0=72.

4. Делим эту разность на число: 99 – в нем две девятки (по числу цифр периода) и нет нулей, так как до периода в числе никаких цифр нет: {72/99}={8/11} – это дробная часть.

5. Добавляем целую часть к дробной и получаем результат: 2{8/11}

Попробуем еще раз:

Представим в виде смешанного числа дробь 1,791666...=1,791(6)

1. В периоде 1 цифра (6), до периода три цифры  (791).

2. Записываем цифры после запятой, включая период, натуральным числом – 7916. Записываем натуральным числом цифры до периода – 791.

3. Считаем разность этих чисел: 7916-791=7125.

4. Делим эту разность на число 9000 – в нем одна девятка (по числу цифр периода) и три нуля, так как до периода в числе три цифры: {7125/9000}={1425/1800}={285/360}={57/72}={19/24} – это дробная часть.

5. Добавляем целую часть к дробной и получаем результат: 1{19/24}.

Ну и в последний раз тренируемся:

Представим в виде обыкновенной дроби число 0,6428571428571...=0,6(428571)

1. В периоде 6 цифр (428571), до периода одна цифра  (6).

2. Записываем цифры после запятой, включая период, натуральным числом – 6428571. Записываем натуральным числом цифры до периода – 6.

3. Считаем разность этих чисел: 6428571-6=6428565.

4. Делим эту разность на число 9999990 – в нем шесть девяток (по числу цифр периода) и один ноль, так как до периода в числе одна цифра: {6428565/9999990}={1285713/1999998}={428571/666666}={142857/222222}={47619/74074}={4329/6734}={333/518}={9/14} – это результат, так как у числа не было целой части.

Успеха на экзамене!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *