Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Относительность движения

Байдарка и бревно

Хорошая, довольно простая задача (простая в отношении физики процесса), требующая, однако, решения тригонометрического уравнения, сводящегося к квадратному. Если грамотно разложить скорости на проекции – то задача решается просто.

Задача. Турист, сплавлявшийся по реке на байдарке, заметил, что поток несет его к середине упавшего и перегородившего ему путь дерева в тот момент, когда расстояние от носа байдарки до дерева было s=30 м. Оценить, под каким углом к скорости течения он должен направить байдарку, чтобы обойти преграду, если скорость реки u=3 км/ч, скорость байдарки в стоячей воде \upsilon=6 км/ч, длина дерева l=20 м.

Для начала переведем скорости в единицы СИ: м/с.

    \[\upsilon=\frac{6000}{3600}=\frac{60}{36}=\frac{5}{3}\]

    \[u=\frac{3000}{3600}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}\]

Теперь сделаем рисунок:

Рисунок

Становится понятно, что, если турист изменит направление движения на то, которое показано штриховкой, чтобы обойти бревно, то его собственная скорость распадется на две составляющие: продольную и поперечную. Продольная составляющая равна \upsilon \cdot \cos{\alpha}, а поперечная \upsilon \cdot \sin{\alpha}. Не забудем про скорость реки: она сложится с продольной составляющей собственной скорости, и по течению турист будет двигаться с итоговой скоростью \upsilon \cdot \cos{\alpha}+u.

Тогда, чтобы обойти дерево, турист должен успеть за время приближения к преграде, равное t=\frac{s}{\upsilon \cdot \cos{\alpha}+u}, отклонить нос лодки на расстояние, равное половине длины бревна: t=\frac{\frac{l}{2}}{\upsilon \cdot \sin{\alpha}}. Приравняем:

    \[\frac{s}{\upsilon \cdot \cos{\alpha}+u}=\frac{l}{2\upsilon \cdot \sin{\alpha}}\]

    \[2\upsilon \cdot s \cdot \sin{\alpha}=l \upsilon \cdot \cos{\alpha}+lu\]

На этом этапе решения предлагаю подставить числа, поскольку решение в общем виде довольно громоздко.

    \[3\sin{\alpha}=\frac{1}{2}+\cos{\alpha}\]

Возведем в квадрат:

    \[9\sin^2{\alpha}=\frac{1}{4}+\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}\]

    \[9(1-\cos^2{\alpha})=\frac{1}{4}+\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}\]

    \[-10\cos^2{\alpha}-\cos{\alpha}+8\frac{3}{4}=0\]

Решим квадратное уравнение:

    \[D=1-4(-10)( 8\frac{3}{4})=351\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{1 \pm \sqrt{351}}{-20}=0,886\]

Косинус должен получиться положительным, так как угол – острый. Поэтому был взят только положительный корень.

Тогда искомый угол равен \alpha=\arccos(0,886)=28^{\circ}.

Ответ: \alpha=28^{\circ}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *