Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Астрономия

Астрономия: телескопы

В этой статье собраны задачи по астрономии, а именно – про телескопы. Попали они ко мне от одного из учеников. Я так понимаю, собраны они из различных источников – как из учебников, так и с олимпиад по астрономии.

Задача 1. а) Полную Луну фотографируют обычным бытовым фотоаппаратом. Каков будет диаметр её изображения на плёнке, если фокусное расстояние объектива фотоаппарата равно 8 см?

Изображение светила в фокальной плоскости телескопа (обычно говорят: в фокусе телескопа), в том числе и на полученных в ней фотонегативах, имеет при малых угловых размерах  линейные размеры

   

Где – угловые размеры светила, видимые невооруженным взглядом. Для Луны это , тогда

   

Ответ: 0,74 мм.

б) При наблюдениях на телескопе с фокусным расстоянием 2,5 м используется ПЗС-матрица размером 1024×1024 пикселов. Найдите размер одного пиксела, если на матрице получается изображение участка неба с угловыми размерами 20′ × 20′.

Если 1024 пиксела дают изображение длиной 20 минут, то один – . Тогда

   

Ответ: 0,014 мм.

Задача 2. Найдите увеличение телескопа, который имеет объектив с фокусным расстоянием 1600 мм и 10-кратный окуляр.

Фокусное расстояние окуляра примем равным 25 мм – так как расстояние наилучшего зрения 25 см, а кратность 10. Тогда

   

Ответ: .

Задача 3. Найдите увеличение телескопа-рефлектора, зеркало которого имеет радиус кривизны 2 м, а фокусное расстояние окуляра равно 20 мм.

Фокусное расстояние сферического зеркала равно половине радиуса, .

Тогда

   

Ответ: .

Задача 4. Рефрактор системы Галилея, настроенный для глаза с расслабленными мышцами, имеет длину 33 см. Какое увеличение он даёт, если фокусное расстояние объектива равно 36 см?

Так как фокусное расстояние объектива больше полной длины трубы, то окуляром служит отрицательная линза, окуляр размещается перед фокальной плоскостью объектива. Очевидно, фокусное расстояние окуляра равно 3 см. Тогда

   

Ответ: .

Задача 5. 50-кратный рефрактор системы Кеплера настроен для глаза с расслабленными мышцами; при этом расстояние между объективом и окуляром равно 84 см. Каково фокусное расстояние каждой линзы?

В рефракторе Кеплера длина трубы складывается из фокусных расстояний объектива и окуляра. Следовательно,

   

   

Откуда

   

   

   

   

Ответ: мм, мм.

Задача 6. Диаметр объектива телескопа D=20 см, а фокусное расстояние  F=3 м. Каково теоретическое разрешение для визуальных наблюдений? Какое увеличение получится при работе с окуляром, фокусное расстояние которого f= 10 мм?

При работе с указанным окуляром:

   

Глаз лучше всего воспринимает длину волны 0,5 мкм, поэтому

   

Это разрешение в радианах. Определим его в минутах или секундах. Так как в радиане 57,3 градуса, 3438 минут, или 206265 секунд, то из пропорции имеем .

Ответ: , .

Задача 7. Наш глаз видит звезды не слабее . А можно ли заметить звез­ду в 12-кратный бинокль с объективами диаметром 60 мм?

Диаметр зрачка у здорового глаза изменяется в зависимости от освещенности от 2 до 8 мм. Пусть ночью диаметр зрачка составляет около 6 мм. Как видим, диаметр объектива бинокля в 10 раз больше, а значит, количество собранного

им света больше в 100 раз – если бы не было потерь света в оптике (отражение и поглощение в стекле), то такой бинокль усиливал бы разрешающую способность глаза на 5m. Но весь ли собранный свет попадает в зрачок наблюдателя? Диаметр выходного зрачка бинокля составляет мм, поэтому можно считать, что весь. Но даже если половина света теряется,

усиление составит не менее , так что звезды должны быть доступны.

Можно решать задачу и так:

Проницающая сила телескопа (бинокля) рассчитывается как

   

То есть можно различить звезду – эта звезда тусклее, чем , значит, можно.

Ответ: можно.

Задача 8. Диаметр объектива телескопа 14 см, его разрешение при данных метеоусловиях равно 3”, диаметр зрачка наблюдателя 7 мм, а разрешение глаза 2′. В каких пределах целесообразно выбирать увеличение телескопа?

Нижний предел увеличения определяется диаметром выходного зрачка телескопа: он не должен превышать размер адаптировавшегося к темноте (т.е. полностью раскрывшегося) зрачка глаза наблюдателя, в противном случае часть собранного телескопом света не попадет в глаз и будет потеряна. Максимальный диаметр зрачка глаза наблюдателя обычно составляет 5-7 мм, поэтому с хорошим приближением можно считать, что минимальное полезное увеличение телескопа равно диаметру его объектива в миллиметрах, деленному на шесть (в нашей задаче – на 7).

Определим равнозрачковое увеличение

   

Для разделения тесных двойных пар на компоненты наблюдатель всегда старается “выжать” из своего инструмента максимальную разрешающую способность, на которую он способен. Угловое разрешение телескопа в секундах вычисляется как 140″/D, где D — диаметр объектива телескопа в миллиметрах. Этот предел накладывается волновой природой света: даже идеальный телескоп строит изображение точечного источника света в виде так называемой дифракционной картины — диска, окруженного системой колец. С другой стороны, известно, что разрешающая способность невооруженного глаза у большинства людей составляет примерно 60″, в нашей задаче даже 120’’. Следовательно, для соответствия углового разрешения глаза разрешению телескопа последний должен иметь увеличение, равное: . Такое увеличение обычно называют разрешающим.

При наблюдении с этим увеличением глаз работает на пределе своих возможностей. Однако мы легко можем облегчить ему задачу, поставив в телескопе увеличение, в 3—5 раз превышающее разрешающее. Тогда размеры дифракционной картины увеличатся до 360-600 угловых секунд (вместо 120). И глазу будет гораздо легче рассмотреть ее структуру.

Определим также максимальное разрешение телескопа

   

Значит, выбираем разрешение от 20 до 120.

Ответ: от 20 до 120.

 

Задача 9. С каким разрешением работает радиотелескоп РАТАН-600 при наблюдении на волне 30 см?

Диаметр зеркала РАТАН-600 – 576 м, поэтому

   

Это разрешение в радианах. Определим его в минутах или секундах. Так как в радиане 57,3 градуса, 3438 минут, или 206265 секунд, то из пропорции имеем .

Ответ: .

 

Задача 10. Каково теоретическое разрешение межконтинентального радиоинтерферометра, работающего на волне 1 см, если расстояние между антеннами равно радиусу Земли?

   

Это разрешение в радианах. Определим его в минутах или секундах. Так как в радиане 57,3 градуса, 3438 минут, или 206265 секунд, то из пропорции имеем .

Ответ: .

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *